与两条异面直线成等角的直线条数的判定
与两条异面直线成等角的直线条数的判定
一(2)班 杨一帆
过空间一点作与已知异面直线成等角的直线有几条的问题见诸于各种材料。其考查学生的空间想象能力、化归能力、识图能力、分类讨论能力，训练学生逻辑思维的深刻性、完备性。该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题：在空间中，过两条相交直线的交点作与已知两直线成等角的直线有几条？再讨论，画图求解。本文将该类题型归纳总结出几个结论，供同学们参考。
题目1：已知异面直线a,b 成θ角，过空间任意一点o 作直线 ，使 与a ,b 成等角φ，则这样的直线 有 条。
上述问题，运用异面直线所成角的定义，过o 作直线a '∥a,b '∥b,转化为
题目2：已知直线,o b a ='' 且'
'
,b a 成θ角，（注意θ角的范围），过o 作与'
'
,b a 成等角φ的直线 ，则这样的直线 有 条。
解：本题须分两大类讨论（∵θ∈]2
,0(π
）。
第一类：
θ∈)2
,0(π
时，若φ=,2θ
则只能作一条直线 0，满足题设。（此时 0是∠'
'ob
a 的角平分线，如图1）。
图1 图2
若0<φ<
2θ
, 则这样的直线不存在。 若2
2θπφθ-<<，则这样的直线有两条21, ，（如图2）（实际上21, 是 0绕O 在过 0且与'
'
,b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）
若2
θ
πφ-=
，则这样的直线有3条21, ， 01（如图3）（此时 01为∠'
'ob a 的补角
的角平分线，21, 是 0
绕O 点在过 0且与'
',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）
若
,2
2
π
φθ
π<
<-则这样有直线有4条21, ,43, ,（如图4，此时21, 是 0绕O
点在过 0且与'
',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。43, 是 01绕O 点在过 01且与
'',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）
若2
π
φ=，则这样的直线有且只有1条，即过O 垂直于'
',b a 确定的平面的直线。（如图
5）
'
b '
a
O
图3 图4 图5 第二类：2
π
θ=
时，若4
0π
φ<
<，则这样的直线不存在；若4
π
φ=
，则这样的直线有
两条（即为两个直角的角平分线，如图6）；若2
4
π
φπ
<
<，则这样的直线有4条（上种情
形的两条直线旋转而得，如图7）；若2
π
φ=，则这样的直线有且只有1条，（即过O 垂直
于'
'
,b a 确定的平面的直线。如图8）
1 2 1 2 3 4
'
a '
a '
a
'
b '
b '
b
图6 图7 图8 把以上情形总结成下表：
当然，如果直线 与异面直线a,b 所成的角不相等的情形更为复杂，有兴趣的同学自行研究。
以上是我的浅见，如有不正确的地方请批评指正。
【点评】该生初学立体几何，能完成上文实难能可贵，有很好的数学天赋。在讨论中她
忘了2
π
θ=
这一类，经过指导修改形成上文。从该生身上可以看出任何学生都有学习的潜
能，都有学好数学的能力。就看同学们是否愿意学，是否平时多思多想多总结。
指导老师 李云厅
求异面直线间距离的几种常用方法
求异面直线间距离的几种常用方法 1 辅助平面法 (1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度． 例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离． 解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE， ∴VC⊥平面AEB ∴VC⊥AB 取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE． ∴DE是异面直线AB与VC的公垂线． 分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了． 作VF⊥BC，则有
(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离． 例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离． 解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面 直线AB与A C之间的距离． (3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离． 例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．
异面直线所成的角求法总结加分析
异面直线所成的角求法 总结加分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝ 3 ，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2 a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若 BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝ 5 ，GN ＝BM ＝ 6 ， cos∠GNA＝ 10 30 5 62556= ??-+。 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。 证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1， 故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。 设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。
空间直线2--异面直线的概念及夹角
14.2.2 空间直线与直线的位置关系(二) 教学目标： 1. 理解异面直线的定义，会画出两条异面直线； 2．理解异面直线所成的角； 3. 初步了解反证法。 教学重点：异面直线所成的角概念 教学难点：异面直线所成的角概念 教学过程： 1. 引入: 提问：请叙述“公理4”和“等角定理”？ 我们知道：公理4可以用来证明空间两条直线平行；等角定理用来判定空间中两个角相等。那么我们就把在同一平面中的“平行直线的传递性” 和等角定理，推广到空间。那么空间中，任意的两条直线的位置关系该如何界定呢？ 2. 新课 （1）定义 由平面几何知识我们知道：在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交。那么我们就把“不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线”。 怎么理解“不能置于同一平面”？ 不同在任何一个平面内。 请在教室内，找一找异面直线？ （2）画法 在作两条异面直线的直观图时，为了使它们有“异面”的视觉效果，有时需要借助于辅助平面来表示。见课本P10
例1：课本P10 例2 反证法证明两条直线是异面直线。 （3）异面直线所成的角 在长方体中找与同一条棱异面的两条棱，那么这两对异面直线的相对位置是不同的。我们如何进一步区分，如何寻找一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的相对位置（及远近距离）呢？（角）问题1、两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交哪来 的“角”呢？如何规定两条异面直线所成的角呢？ 问题2、能否找出两条相交直线所成的角来刻划两条异面直线所成的角呢？ 根据等角定理这些角都相等，因此，这样作出的角是合理的，唯一的。 归纳： ①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置关系决定的，与角的顶点O的位置的取法无关。 ②正因为点O的位置可以任意选取，这就给我们确定两条异面直线所成的角带来了方便，在运用时，为了简便，可以把点O取在两条异面直线中的其中一条上，甚至取在其中一条的一个已知或特殊点上。 ③要找到两条异面直线所成的角，关键是经过平移把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的锐角（或直角），因此，若两条异面直线所成的角为θ，则 。 ④当两条异面直线所成的角为直角时，则说这两条异面直线相互垂直。两条异面直线a、b相互垂直，记作a⊥b. 两条直线互相垂直，它们不一定相交。 ⑤得出两条异面直线所成角的定义： 经过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条直
必修二示范教案两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 整体设计 教学分析 直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明. 三维目标 1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力. 2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力. 重点难点 教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角 和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢? 思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？ ②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？ ④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？ ⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？ ⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？ 活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. ②数形结合容易得出结论. ③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在. ④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
与两条异面直线成等角的直线条数的判定
与两条异面直线成等角的直线条数的判定 一(2)班 杨一帆 过空间一点作与已知异面直线成等角的直线有几条的问题见诸于各种材料。其考查学生的空间想象能力、化归能力、识图能力、分类讨论能力，训练学生逻辑思维的深刻性、完备性。该种题型的常见解题思路是先用异面直线所成的角的定义转化为以下问题：在空间中，过两条相交直线的交点作与已知两直线成等角的直线有几条？再讨论，画图求解。本文将该类题型归纳总结出几个结论，供同学们参考。 题目1：已知异面直线a,b 成θ角，过空间任意一点o 作直线 ，使 与a ,b 成等角φ，则这样的直线 有 条。 上述问题，运用异面直线所成角的定义，过o 作直线a '∥a,b '∥b,转化为 题目2：已知直线,o b a ='' 且' ' ,b a 成θ角，（注意θ角的范围），过o 作与' ' ,b a 成等角φ的直线 ，则这样的直线 有 条。 解：本题须分两大类讨论（∵θ∈]2 ,0(π ）。 第一类： θ∈)2 ,0(π 时，若φ=,2θ 则只能作一条直线 0，满足题设。（此时 0是∠' 'ob a 的角平分线，如图1）。 图1 图2 若0<φ< 2θ , 则这样的直线不存在。 若2 2θπφθ-<<，则这样的直线有两条21, ，（如图2）（实际上21, 是 0绕O 在过 0且与' ' ,b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。） 若2 θ πφ-= ，则这样的直线有3条21, ， 01（如图3）（此时 01为∠' 'ob a 的补角 的角平分线，21, 是 0 绕O 点在过 0且与' ',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。）
若 ,2 2 π φθ π< <-则这样有直线有4条21, ,43, ,（如图4，此时21, 是 0绕O 点在过 0且与' ',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。43, 是 01绕O 点在过 01且与 '',b a 确定的平面垂直的平面内旋转而得。） 若2 π φ=，则这样的直线有且只有1条，即过O 垂直于' ',b a 确定的平面的直线。（如图 5） ' b ' a O 图3 图4 图5 第二类：2 π θ= 时，若4 0π φ< <，则这样的直线不存在；若4 π φ= ，则这样的直线有 两条（即为两个直角的角平分线，如图6）；若2 4 π φπ < <，则这样的直线有4条（上种情 形的两条直线旋转而得，如图7）；若2 π φ=，则这样的直线有且只有1条，（即过O 垂直 于' ' ,b a 确定的平面的直线。如图8） 1 2 1 2 3 4 ' a ' a ' a ' b ' b ' b 图6 图7 图8 把以上情形总结成下表：
异面直线所成的角练习题
A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．
七年级数学下册 4_4 平行线的判定 判别两直线平行中易错点素材 (新版)湘教版1
判别两直线平行中易错点 判别两直线平行主要根据平行线的判定方法.初学平行线的判别，如果对同位角、内错角的特征理解不同，对条件和性质区分不清，可能出现解题中的错误. 例1如图1，直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°，直线a与直线b平行吗？为什么？ 错解：因为∠1+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可知直线a与直线b平行，即a//b. 分析：判别两直线平行主要根据：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行.要根据这些方法去判别，就必须正确找准同位角、内错角或同旁内角.而本题中的∠1和∠2不是同旁内角，而错解中误认为∠1与∠2是同旁内角了. 正解：因为∠1+∠2=180°，∠1=∠3（对顶角相等）， 所以∠3+∠2=180°，所以a//b（同位角相等，两直线平行）. 图1 图2 例2 如图2,直线a、b、c被直线d所截，a//b，c//b，直线a与直线c平行吗？为什么？错解：因为a//b，c//b，所以a//c（如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也平行）. 分析：本题是已知两条直线都和第三条直线平行，要求说明这两条直线也平行，而错解在直接利用这个结论，由a//b，c//b就得出了a//c，犯了循环说明的错误. 正解：由a//b，可得∠1=∠2，由c//b可得∠3=∠4，因为∠2与∠3是对顶角，根据对顶角相等可得∠2=∠3，这样∠1=∠4，所以a//c（内错角相等，两直线平行）. 例3如图3，直线AB、CD被直线BC所截，且AB//CD，∠ABE=∠DCF，BE与CF平行吗？说明理由. 错解：因为∠ABE=∠DCF，所以BE//CF（内错角相等，两直线平行）. 分析：观察图形可知∠ABE和∠DCF根本不是内错角，所以不能直接根据∠ABE=∠DCF说明BE//CF.要说明EB//CF，观察图形可知∠EBC和∠BCF是内错角，所以应先说明∠EBC=∠BCF.
2.2探索直线平行的条件(二)教学设计
第二章平行线与相交线 2.2探索直线平行的条件（第2课时） 一、教学目标： 1．会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。 2．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。 3．经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。 4．使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系。 二、教学重点： 教学难点： 第一环节：立足基础，温故知新 1．通过以下问题带领学生在复习“三线八角”基本图形和同位角的基础上，进一步学习内错角和同旁内角。 问题1：如图，直线a，b被直线c所截，数一数图中有几个角（不含平角）？ 问题2：写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？ 引导学生从角与截线与被截线的位置关系的角度来描述同位角。 问题3：它们具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？ 问题4：图中∠3与∠5，∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？∠3与∠6，∠4与 ∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。 由此引导学生概括得出内错角与同旁内角的概念。 2．巩固练习1：课本随堂练习1： 观察右图并填空：（1）∠1与是同位角； （2）∠5与是同旁内角； a n m b 3 4 5 2 1 c a b
（3）∠2与是内错角。 练习2：如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角， 你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？ 第二环节：创设情境，提出问题 活动内容： 1．给出实际问题：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否 平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）。小明只有 一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是 否平行，你知道他是怎样做的吗？ 2．画板上下边缘是否平行能利用同位角来判断吗？如果不能，是否可以利用其他角来判断？请你先自主探索，再与同伴交流。 第三环节：大胆探究，各抒己见 活动内容：依次完成以下几个步骤，引导学生从实践到理论探索直线平行的条件1．课本议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ （2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 请你先独立思考，采用你认为适当的方式来说明理由，然后再与同学交流。 2．观察课件中的三线八角，内错角的变化和同旁内角的变化，得出结论： 内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。 3．挑战自我：你能结合图形用推理的方式来说明以上两个结论成立的理由吗？ 如图，直线a，b被直线c所截， a b c 1 3 2 4 1 2 3 5 6 7 8 ＤＣ Ｂ E Ａ F
异面直线典型例题
典型例题一 例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论． 解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面． 故选D ． 说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置 b 异面，b ， c 异面，则 关系是相交、平行或异面．类似地；a ， a ，c 的位置关系是平行、相交或异 面．这些都可以用正方 体模型来判断． 典型例题二 例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行． 分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性． 存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．
因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α， 由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性 假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与 A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行． 说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性． 典型例题三 例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且 λ==AD AH AB AE ，μ==CD CG CB CF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可． 证明：连结BD ， 在ABD ?中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=． 在CBD ?中，μ==CD CG CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=． ∴ FG EH //， ∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．
高中数学《两条异面直线所成的角》练习
高中数学两条异面直线所成的角练习 一、选择题： １．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ 所成的度数是（） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 4．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个 5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（） （A） d与a是不互相垂直的异面直线
（B） d与a是相交直线 （C） d与a是平行直线 （D） d与a是互相垂直的异面直线 6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（） （A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（） （A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（） （A）（B）（C）（D）- 二、填空题： 1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿＿＿＿． 2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是的直线有且仅有＿＿＿＿＿条． ４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ
探索两条直线平行的条件
探索两条直线平行的条件
课题探索直线平行的条件（一） 教学目标(一)知识与技能 1.掌握直线平行的条件：同位角相等. 2.会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线. (二)过程与方法 1.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题. 2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力. (三)情感、态度与价值观 1.在探索和交流的活动中，培养学生与人协作的习惯. 2.培养学生理论联系实际的观点. 教学重（一）教学重点 在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件.
难 点（二）教学难点同位角的概念. 前置作业学生课前准备直尺，一副三角板，三根小木条，两颗钉子。 引入 Ⅰ.创设现实情景，引入新课 ［师］在日常生活中，人们经常用到平行线，那什么是平行线呢？ ［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ［师］好，在上册书中，我们简单了解了平行线，下面我们来复习回顾一下.（展示课件——实物展示平行）判断正误： 1.两条直线不相交，就叫平行 线.( ) 2.与一条直线平行的直线只有一条. ( ) 3.如果直线a、b都和直线c平行，
那么a、b就互相平行.( ) ［生甲］第1句话是错的.只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线. (也可举例：如异面直线.学生只要说清即可). ［生乙］第2句话是错的.因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行. ［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质. ［师］同学们分析得很好.下面我们来看一个生活中的实例 如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行?
空间直线异面关系的判定与度量讲解
空间直线异面关系的判定与度量 考点动向 空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系，这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度． 方法范例 例 如图１－１，已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为１ 和２，4AB =． （Ⅰ）证明PQ ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离． 解析 本题设置的三问，有证有算， 由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答． 解法１ （I ）连结AC BD ，，设AC BD O = ．因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD ． （II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面 ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图１－２）由题设条件，相关各点的 C A B P D Ｑ 图１－１ C 图１－２ 几何精练
坐标分别是(001)P ，， ，0)(002)(0A Q B -，，，，，． 所以(2)(01)AQ PB =--=- ，，． 于是cos AQ PB AQ PB AQ PB <>== ，． 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos 9 ． （III ）由（II ），点D 的坐标是(0-， ，((003)AD PQ =--=- ，，， 设()n x y z = ，，是平面QAD 的一个法向量，由00n AQ n AD ?=??=?? 得00z x y +=+=? ?． 取1x = ，得(11n =- ，．所以点P 到平面QAD 的距离PQ n d n == ． 解法２ （I ）取AD 的中点M ，连结PM QM ，．因为P ABCD -与Q ABCD -都是 正 四 棱 锥 ， 所 以 A D P M ⊥⊥，．从而AD ⊥平面 PQM ．又PQ ?平面P Q M ，所以P Q A D ⊥．同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平 面ABCD ． （II ）连结AC BD ，，设A C B D O = ， 由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面． 取OC 的中点N ，连结PN ．因为 1122PO NO NO OQ OA OC ===，，所以PO NO OQ OA =，从而AQ PN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角．连结BN ． 因为3PB == = ，PN === BN === 所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-=== ∠． 图１－３
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角 一、端点平移法 例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若 1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， //DF EC Q 且DF EC = ∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴ EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设2AB =, 则EF = AF = EA = 故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g arccos 10 EFA ∴∠= 二、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， ∴NO 为DAM ?的中位线， ∴//NO AM ， ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 设正四面体ABCD 的棱长为2 ，则有2NO = ，CN = ,2CO =, 故2222 cos 23 NO CN CO ONC NO CN +-∠= =g 2 arccos 3 ONC ∴∠= 1 B D C
两条异面直线所成的角_百度文库讲解
两条异面直线所成的角 一、选择题： １．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN 与PQ所成的度数是（ B ） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（ D ） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（ A ） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 （D） d与a是互相垂直的异面直线 4．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（ A ） （A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 5．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（ B ）
（A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 6．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（ C ） （A）（B）（C）（D）- 二、填空题： 7．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 8．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是 的直线有且仅有＿＿2条＿＿＿条． 三、解答题： 9．过一定点与给定的两条异面直线成等角的直线存在吗？如果不存在，说明理由；如果存在，这样的直线有多少条？ 10．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=1，AD、BC成角．M、N分别为AB、CD中点．求线段MN的长．MN=或MN= 11．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和 的中点，则异面直线与所成的角等于（） A． B． C． D．
两直线的平行与垂直的条件
复习引入： 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 k y x P ),,(111 )(11x x k y y -=- 存在k 斜截式 b k ， b kx y += 存在k 两点式 ) ,(11y x （),22y x 1 21 121x x x x y y y y --= -- 2121,y y x x ≠≠ 截距式 b a , 1=+b y a x 0,0≠≠ b a 一般式 A 、 B 、 C R ∈ 0=++C By Ax 022≠+B A 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直． 设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，它们的方程分别是： 1l ：11b x k y +=； 2l ：22b x k y +=． 两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特 征王新敞 ⑴两条直线平行(不重合)的情形． 如图，从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析，得以下结论： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如 果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 王新敞 要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． 例1 两条直线1l ：0742=+-y x ， 2l ：052=+-y x ．求证：1l ∥2l 例2 求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程．（两种方法） 注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线0=++C By Ax 中系数A 、B l 2l 1 α2 α1 x O y
人教版高中数学必修二考点练习：异面直线的判定
异面直线的判定 1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 2. 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则() A．a∥c B．a、c是异面直线 C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面 3. 若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是() A．异面B．相交 C．平行D．异面或相交 4. 若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c() A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 5. 如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________．
6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________. 7. 如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为() A．相交B．平行 C．异面而且垂直D．异面但不垂直 8. 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则() A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 9. 如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由． (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
异面直线所成的角
科目：数学 课 题 §2.1.2.2异面直线所成的角课型新课 教学目标（1）理解异面直线所成的定义 （2）掌握求异面直线所成的角要注意的问题（3）掌握求异面直线所成角的一般步骤 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？ 2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题.
二、 质 疑 提 问 思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？ 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否 发生变化？ 思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？ 三、 问 题 探 究 思考1：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交 得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐 角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之 为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角” 下个定义吗？ 对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 思考2:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？ 思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？ 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，
北师大版七年级数学下册《2.2 第1课时 利用同位角判定两条直线平行》教案
2．2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两条直线平行 1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数； 2．能够运用同位角相等判定两直线平行；(重点，难点) 3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题． 一、情境导入 数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？ 以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容． 二、合作探究 探究点一：同位角 【类型一】判断同位角 下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是() 解析：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．故选C. 方法总结：判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：①把两个角在图中“描画”出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．【类型二】数同位角的个数 如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有()
A．1对B．2对 C．3对D．4对 解析：图中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8共4对．故选D. 方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数． 探究点二：利用同位角判定两直线平行 如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD. 解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，这由∠2的对顶角容易证出． 解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，又因为∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)． 方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题的关键． 探究点三：平行公理及其推论 【类型一】应用平行公理及其推论进行判断 有下列四种说法： (1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； (4)平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是() A．1个B．2个 C．3个D．4个 解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的两条直线平行，正确．正确的有4个．故答案为D. 方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线． 【类型二】应用平行公理进行推论论证 四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________． 解析：由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d. 方法总结：平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据． 【类型三】平行公理推论的实际应用
异面直线及其夹角
异面直线及其夹角 教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形， 会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。 教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？ 两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？ 有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题） 二、新课讲解 前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．． 一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。 如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点） 这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a