积分上限函数的性质及其应用论文
湖北大学
题目：积分上限函数的性质及其应用
学院：数学与统计学院
年级：研一
专业方向：几何与方程
作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男
籍贯：湖南省汉寿县
指导老师：陈立
2015 年05月
目录
摘要.............................................................................................................II Abstract .........................................................................................................II 1引言 (1)
2积分上限函数的性质 (1)
2.1积分上限函数的初等性质 (1)
2.2 积分上限函数的分析性质 (1)
3积分上限函数的应用 (2)
3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)
3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)
3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)
3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)
3.5利用积分上限函数求解导数 (3)
3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)
3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)
3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)
3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)
4结束语 (5)
致谢语 (5)
参考文献 (6)
积分上限函数的性质及其应用
数学学院2014级2班陈勇
摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.
关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用
The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYong
Abstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.
Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications
1引言
积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及
分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.
2积分上限函数的性质
2.1积分上限函数的初等性质
定义
1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数?=x
a
dt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分
上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性
若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数?=x
a dt t f x s )()(在]
,[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性
若
)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数?=x
a
dt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连
续函数且为偶函数，则积分上限函数?=x
a
dt t f x s )()(奇函数.
(3) 周期性
若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数?=x
a
dt t f x s )()(是周期函数, 或是一
线性函数和一周期函数之和.
(4) 有界性
若
)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数?=x
a
dt t f x s )()(在],[b a 上有界.
2.2 积分上限函数的分析性质
(1) 凹凸性
若
)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对?),(b a c ∈, 积分上限函数?=x
c
dt t f x s )()(是
凸函数(凹函数).
(2) 连续性
若
)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数?=x
a
dt t f x s )()(在],[b a 上连续
(3) 可导性
若
)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数?=x
a
dt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且
()()()()x
a d s x f t dt f x a x
b dx
'=
=≤≤?. (4) 可积性
若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有
()()()???-=??
????a
a x dx x f x a dx dt t f 000.
3积分上限函数的应用
3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式
例1 设()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,证明:至少存在一点()b a ,∈ξ,使
()()()()??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f .
证明 令()()()??=b
x
x a
dt t g dt t f x F .由于()x f ,()x g 在[]b a ,上连续,所以()x F 在[]b a ,上连
续,在()b a ,内可导,且()()b F a F =,由罗尔定理,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0F ξ'=,而
()()()()()b x
x
a
F x f x g t dt g x f t dt '=-??,
从而
()()()()()0b a
F f g t dt g f t dt ξ
ξ
ξξξ'=-=??,
即
()()()()??=ξ
ξ
ξξa
b dx x f g dx x g f .
例2 若()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,则
()()()()??≤??
? ??b a b a dx x g x f dx x g x f 22
2
.
证明 令()()()()()2
2
2
??? ??-?=???
x
a x
a x a
dt t g t f dt t g dt t f x F ,则 ()()()()()()()()()22222x x x
a
a
a
F x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=++???
()()()()()()()()[]
?+?-=x
a
dt x g t f t g t f x g x f t g x f 22222
()()()()[]?≥-=x
a
dt x g t f t g x f 02
.
所以()x F 在[]b a ,上单调增加,从而()()a F b F ≥.
3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数
例3 求和函数1
(1)n
n n n x ∞
=+∑.
解 设),1,1(,)(1
1
-∈=
∑∞
=+x nx
x s n n 则
1
2
1
1
1
()x
n n n n s x dx nx
x
nx
∞
∞
+-====∑∑?
,
设,)(11
1∑∞
=-=
n n nx x s 则 ,1)(1
1x
x
nx dx x s n n x
-=
=∑?
∞
= 求导得
,)
1(1
)(21x x s -=
,)1()()(2
2
10
2
x x x s x dx x s x
-==?
再求导, 得.)
1(2)(2x x
x s -=
3.3利用积分上限函数求解函数方程
例4 设
)(x f 在任意有限区间上可积且满足方程
)()()(y f x f y x f +=+ (1) 试证：)(x f ax =，其中)1(f a =.
证明 要证)(x f ax =，当0≠x 时即要证x
x f )
(=常数.或?0,≠y x ，y y f x x f )()(=, 即x y f y x f )()(=在已知方程),()()(y f t f y t f +=+ 两边对t 取积分
?
?+=+x
x
x y f dt t f dt y t f 0
,)()()(
但
?
?
?
?++-==+x
y
x y
y
x y
dt t f dt t f du u f dt y t f 0
0,)()()()(
故
?
??+--=y
x y
x
dt t f dt t f dt t f y xf 0
.)()()()(
此式右端，y x ,以对称的形式出现.y x ,互换知x y f y x f )()(=， 从而
)(x f ax =（当0≠x 时） (2) 在(1)中令1,0==y x ,得0)0(=f .可见(2)对于0=x 也成立.最后(2)中,令1=x ,可得)1(f a =.
3.4利用积分上限函数确定全微分
例5 验证)()(dy dx y x f +?+是全微分,其中)(u f 是连续函数. 证明 令()()?
+=y x du u f y x F 0
,,由于()u f 是连续函数,故
()(),x F x y f x y '=+,()(),y F x y f x y '=+,
且它们都是y x ,的连续函数,因此
()()(),,x y dF x F x y dx F x y dy ''=+
()()dy dx y x f +?+=. 即证()()dy dx y x f +?+是全微分.
3.5利用积分上限函数求解导数
例6 设)(x f 在0=x 的某个领域U 内连续,验证当U x ∈时,函数
?---=
x n dt t f t x n x 01
)()()!
1(1)(?的各阶导数都有,且).()(x f x n =? 证明 由于被积函数dt t f t x t x F n )()(),(1--=及偏导数),(t x F x '在U 上连续, 于是由定理
可得 ?----='x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(?.)()()!
2(1)()()!1(1021dt t f t x n x f x x n x n n ?----=--+
.)()()!
3(1)(03dt t f t x n x x n ?---=
''? 由此继续下去,求得k 阶导数为
?-----=
x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(? 特别的当1-=n k 时有 ,)()(0
)1(dt t f x x
n ?=-?于是).()()(x f x n =?
3.6利用积分上限函数计算重积分
例7 设函数)(x f 在],[b a 连续,则.])([2
1
)()(2dx x f dy y f x f dx b
a b a b
x ???=
证明 dy y f x f dx b a
b x
)()(???????==b a
b a
x
a
b x
b x
dt t f d dy y f dx dt t f x f ))(())((])()([
))(())((]))()(([?????==x
a
b a
x
a
b a
x a
dt t f d dt t f dx dt t f x f
.))((21])([2122dt t f x f b a
b a x a ??== 3.7利用积分上限函数证明中值定理
例8 微分中值定理：若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,在开区间()b a ,内可导,则在开区间
()b a ,内至少存在一点()b c a c <<,使()()()()a b c f a f b f -=-.
证明 把c 换成t ,则
()()()()a b t f a f b f -=-.
即
()()[]()()0=---a b t f a f b f , []b a x ,∈?,
将上式两边取积分
()()[]()()0=---?x
a
dt a b t f a f b f ,
即
()()[]()()()[]()0=-----a x a f x f a x a f b f .
令()()()[]()()()[]()a x a f x f a x a f b f x F -----=,显然()()0==a F b F ,且()x F 在[]b a ,内连续,在()b a ,可导,由罗尔定理,则至少存在一点()b c a c <<,使()0=x F ,而
()()()[]()()a b x f a f b f x F ---=,
故
()()()()a b c f a f b f -=- ()b c a <<.
例9 积分中值定理:若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,则在[]b a ,内至少存在一点c ,使得
()()()a b c f dt t f b
a
-=?.
证明 设()()?=x
a
dt t f x F ,由于()x f 在闭区间[]b a ,连续,则()x F 在[]b a ,上连续,由拉格朗
日中值定理,则至少存在一点()b a c ,∈,使
()()()()a b c f dt t f dt t f a
a
b a
-=-??,
即
()()()a b c f dt t f b
a
-=?.
3.8利用积分上限函数求函数关系式
例10 已知函数)(x f 当10≤≤x 时为x 2, 当12x <≤时为x +2, 求积分上限函数
?=x
dt t f x 0)()(?在]2,0[上的表达式.
解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定)(x ?的表达式时也要分段考察.当10≤≤x 时,
,2)()(2
020
x t tdt dt t f x x
x x
====?
?? 当12x <≤时,
???+==1
1
)()()()(x
x
dt t f dt t f dt t f x ?.2
3
221)2(22101
-+=
++=??x x dt t tdt x
所以当10≤≤x 时为,)(2x x =? 当12x <≤时为.2
3
2212-+x x
3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性
例11
设()x f 在[]b a ,上连续,且()x f >0, 又()()()
??+=x
b
x a dt t f dt t f x F 1
.证明:()0=x F 在[]b a ,内有且仅有一个实根.
证明 因为 ()()()()()211f x F x f x f x f x +'=+=
, 而 ()()x f x f 212≥+,
所以 ()20F x '≥≥.
故()x F 在[]b a ,内单调增加,所以()0=x F 在[]b a ,内至多有一个实根.
又 ()()
?<=a b dt t f a F 01
, ()()0>=?b
a dt t f
b F ,
且()x F 在[]b a ,上连续,故根据的存在定理,在[]b a ,内()0=x F 至少有一个实根. 综上所述, ()0=x F 在[]b a ,内有一个且仅有一个实根.
4.结束语
综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.
致谢语
感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!
参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.
[2] 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用[M].湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.
[3]华东师大数学系.数学分析(第2 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.
[4]徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技[M].中南大学学报,1997,17(2):15-16.
[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993 .
[6]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1992.
[7]高鸿.积分上限函数的主要性质及其应用[M].湖南商学院学报,2001,27(2):47-48.
[8]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003.
复合函数含义
复合函数含义： 函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。一般地： 若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。 简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x), f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8. 对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式； （二）求复合函数相关定义域； （三）复合函数的单调性； （四）函数性质等与复合函数结合。 新课程中复合函数相关题： 7，如果t t t g t t t f -= += 1)(,1)(，证明：)(2)()(2 t g t g t f -=-。 8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么 _____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g 9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f 。 7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f x g -+=是偶函数；（2） )()()(x f x f x h --=是奇函数。 20、求满足下列条件的函数)(x f 的解析式： （1）23)1(+=+x x f ；（2）13)2(2 +=x x f 。
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳 知识点精讲 函数奇偶性 定义 设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数 )(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数)(x f 是偶函数?函数)(x f 的图象关于y 轴对称； 函数)(x f 是奇函数?函数)(x f 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ； 偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记 )]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([2 1 )(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷?-+. 对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇)(÷?奇=偶；奇)(÷?偶=奇；偶)(÷?偶=偶. （7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 函数的单调性 定义 一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ?，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间. 注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.
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复、实变函数的比较与应用 作者：阮玲花 学号：201310401205 专业：数学与应用数学
复、实变函数的比较与应用 姓名：阮玲花班级：数学132 学号：201310401205数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 （一）实变函数 实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。 Lebesgue积分：
（二）复变函数 复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值W与之相对应，则称W为z的函数，记作)(z W=，z∈E邻域：以复数 f z为圆心，以任意小 正实数ε为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z的邻域。把复变函数的 (z f=u(x,y)+iv(x,y)，所以，复变函数f的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y)，) ) (z 可以归结为一对二元实变函数。 （三）实变函数及与复变函数比较 1．自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。 2.实变函数与复变函数的联系区别 因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z W= f f的实部与虚部都是x,y的函数，即)(z =u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复
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三角函数·函数的周期性
三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2
复变函数论文
复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西—黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数，地理信息系统，复平面，柯西—黎曼曲面 三正文 （一）复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
2013届高考数学考点讲解：考点05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)(新课标解析版)
考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 【高考再现】 热点一 函数的单调性 1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在 区间(1,2)内是增函数的为（ ） A ．cos 2y x = B ．2log ||y x = C ．2x x e e y --= D ．31y x =+ 2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又 是增函数的为 A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x = D ．||y x x = 【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握 基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都 不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D. 3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区 间是[3,)+∞,则_____a =
【方法总结】 1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致． (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1) 《利用图形计算器探究复合函数的性质》教学设计 西北师大附中曹岩 一．教学内容解析 本节课旨在引导学生掌握研究问题的方法：“观察—归纳—猜想—证明”，选取的知识载体是复合函数的性质，辅助探究工具是图形计算器。 “观察—归纳—猜想—证明”是我们认识事物的一种重要的方法，可以探索发现事物的本质和规律，也是一种完整的思维方式，这种思维方法对于分析和解决问题具有重要而且有效的作用,掌握这种思维方法对提高中学生思维能力有直接的作用。 在知识载体上，函数是高中数学的主体内容，而函数性质是函数研究的核心。函数研究有两种途径：“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”。 本节课我们主要实践第一种途径：“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”即“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法。 二．教学目标设置 1．知识与技能： （1）会用图形计算器作出函数的图象和含参数的动态图象； （2）会观察函数的图象特征并归纳函数的性质； （3）会用代数的方法判断或证明函数的性质； （4）能对含参数的问题进行分类讨论； 2.过程与方法： (1) 掌握“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法； （2）了解函数研究的两种途径“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”； （3）了解科学研究的两种途径：“理论研究→实验验证”和“实验探究→理论证明”； 3.情感态度与价值观： （1）培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法，提高学生的思维能力； （2）激发学生自主探究的积极性，体验探究的乐趣； （3）引导学生在探究活动中有意识的总结数学研究活动的一般过程和方法，培养学生的动手实践能力和创新精神； 三．学生学情分析 本节课的授课对象为我校高二选修课《用图形计算器学数学》的学生，通过高一学段的学习已经具备了以下三个方面的条件： 1．工具方面：学生可以熟练地操作图形计算器实现相关的功能，如输入函数解析表达式并画出图象、利用图形计算器动态图功能对含参数的函数进行动态演示； 2．知识方面：学生已经学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图象和性质，也具备了讨论由基本初等函数复合或四则运算而构成的初等函数性质的能力，会求出初等函数定义域、值域，会判断和证明函数的单调性、奇偶性、周期性，会求解或证明函数的对称中心、对称轴、渐近线等； 3．数学思想方法方面：学生已经掌握了数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等常见的数学思想方法； 基于以上基础，可以展开本节课的教学。但是对于结构比较复杂的函数，尤其是复合函数，部分学生直接对函数性质的讨论和求解存在困难，因此可以借助于图形计算器，先画出函数图象，观察函数图象特征，进而归纳函数抽象的代数性质，得到关于性质的猜想后再做证明。这样变抽象的函数问题为形象的图形问题、变未知的探索为已知猜想的证明，降低了学习的难度。 根据以上对学情的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定了本节课的教学重点与难点： 教学重点： “函数图象→函数性质”的“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法； 教学难点：函数性质的代数研究方法； 有图形计算器函数图象的辅助大大降低了函数性质的代数研究的难度，教学的难点得以突破。 四．教学策略分析 本节课采用问题引导驱动、启发自主探究的教学方法。 通过问题引导、分组合作、自主探究、辨析讨论、成果展示的过程，达到深化理解的目的，图形计算器的辅助使得学生自主探究贯穿本节课的始终，学生研究成果在投影上的展示更加激励了学生自主探究的动力。 复变函数与积分变换论文 题目：阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。 《复变函数和积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。复变函数和积分变换作为我们学校的电气工程自动化专业大 学生专业必修课，除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力。让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。 我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。 在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。因此，复变函数和积分变换课程的教学，有助于学生创新思维能力的训练和培养。培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。 我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。通过我们专业课的实验学习，深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。我以前总认为学这些东西没有用处，只是一些很落后和过时的理论，通过实验学习，我看到了它的重大作用。在我以后的学习中，也要在掌握基本理论的同时，去挖掘生活中的问题，并努力用所学的知识去解决，那样才能更好的理解和运用。我还学到积分变换可以把微分方程变换为初等方程，求解方便。另外求线性系统的响应，用积分变换不用考虑初始状态，非常方便。可以实现时域和频域的变换，方便对谐波进行分析计算。使用复频域的状态变量解法可以方便的用计算机对系统进行求解。 通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用到现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。 复变函数给我们一个新的概念，让我们不局限于实数的学习范围，给我们一个创新思维的学习。 复合函数的概念和性质 一、知识点内容和要求： 理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间 二、教学过程设计 （一）复习函数的单调性 引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？ （二）新课 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地， 定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 解：① 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间； （2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）； （3）减区间，增区间； 第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x =的图象，进而画出 y cos x =的图象；会用“五点法”画y sin x =和y cos x =在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数[]x 0,2 蝡的图象，用“五点法”画y sin x =和 y cos x =在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像 数学与信息工程学院数学与应用数学专业 张三 1. 周期函数是一类特殊而又十分重要的函数,中学数学中 ,对于周期函数的定义是这样定义的：对于 函数) (x f y=,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,) ( ) (x f T x f= +都成立,那么就把函数) (x f y=叫做周期函数,不为零的常数T叫做函数的周期.这一定义简洁明快,但由于它的“简单性”,其“先天不足”随时可能导致人们出现错误的判断.因此,在进行周期函数的教学时,非经严格论证,绝对不能想当然地搬用其它定义下的周期函数的性质.周期函数) (x f, 2. 2.1周期函数的性质与特征 根据周期函数的定义，在文献[6，7]中介绍了周期函数的一般性质： （1）周期函数不一定有最小正周期. 例如，函数1 ) (= x f是一个常函数，任意的非零实数都是函数的周期，但在正实数集中无最小值.…… 2.2周期函数的判定及其应用 周期函数的判定除了用定义判断外，还可以用定理的形势给出.设a,b是实常数，函数) (x f的定义域为集合A,且对、 、 、 、a x y x y x A y x± ± ± ∈) ( 2 1 ,b x±、x b x a- -、也都 A ∈，则由定义可得，) ( ) (b x f a x f- = +，则) (x f是以) (b a+为周期的函数；…… 3.周期函数的微积分性质及应用 …………………………，如表１所示。 表 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………，如图2.9所示， [1]李万山,张沛和.周期函数的对称性质[J].嘉应大学学报(自然科学[2]牛保才 .周期函数的一组判定定理[J].数学通讯,1998,(2):26-29. Notes,2001, 69(3):313-319. [4]G.A.Dzyubenko,J.Gilenice.Copositive problems approximation of Periodic Functions[J].Acta Math.Hungar,2008,120(4):301-314. [5]堵秀凤.周期函数的导函数的周期问题[J].齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版),1993,(13):8-10. [6]费定辉,周学圣. 函数的周期性 张磊 一函数周期性的定义 1 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称y=f(x)为周期函数,T为一个周期. 2 周期的一个性质 若T是y=f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期. 二周期函数的常见结论 1 f(x+a)=?f(x)? f(x)是周期函数,周期T=2a 证明:用x+a替换f(x+a)=?f(x)中的x可得f(x+2a)=?f(x+a) ,又因为f(x+a)=?f(x),所以f(x+2a)= f(x).即f(x)是周期函数,周期T=2a 2 f(x+a)=± (b为常数)? f(x)是周期函数,周期T=2a 证明:仿照上述方法. (略) 3 周期性与对称性的关系(注意,奇偶性是特殊的对称性) 由双对称性可推导出函数的周期性.(联系三角函数对称性与周期性的关系,很自然的推导出函数的周期性) 例⑴若函数f(x)既关于x=a对称,又关于x=b对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2. 证:依题∴ ,用x?2b替代x可得) ,∴函数f(x)是周期函数,其周期T=2. 读者仿照该例自己下面结论 ⑵若函数f(x)既关于x=a对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4. ⑶若函数f(x)既关于点(a ,0)对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2. ⑷若函数f(x)偶函数,且关于x=a对称, 则函数f(x)是周期函数,其周期T=2a ⑸若函数f(x)奇函数,且关于x=a对称, 则函数f(x)是周期函数,其周期T=4a 说明:⑷是⑴的特殊情况.因为偶函数关于y轴对称,即关于x=0对称,所以函数f(x)既关于x=a对称,又关于x=0对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2 ⑸是⑵的特殊情况.因为奇函数关于原点对称,即关于(0 ,0)对称,所以函数f(x)既关于x=a对称,又关于点(0 ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4. 对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。 教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。 教学过程：先复习对数函数以及性质。 下面我们来做几道例题。 我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？ 把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。 A. B. C. D. 分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。对于该二次函数进行配方4 9)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。 那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说 即x<-2 或x>1综上所述，我们应该选择A 。 一般化：对于类似与上面这题的复合函数 的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。 抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点 利用几何画板作图探究并验证：（略） 例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。 按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时， 可以看出 可见值域并非为R，说明上述解答有误。 要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。故实数a的取值范围为。 我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题： 例3若，且，求的最值。 分析：先整理，可得： 而。 这道题要注意对数的计算，通过配方求出最值。 例4若有两个小于1的正根，且，求实数的取值范围。 分析：先化简函数方程。， 由于形式有点复杂，可作代换， （）。 函数的概念及性质 概览：概念，表示方法，图象和性质 1. 概念 函数的定义：传统定义（初中的），近代定义。自变量，对应法则，定义域，值域〖两域都是集合，回答时要正确表示。〗 对应法则f 是函数的核心，是对自变量的“操作”，如)(x f 是对x 进行“操作”，而)(2x f 是对2x 进行“操作”，)2(f 是对2进行“操作” 函数的三要素，或两要素：定义域、对应法则 判定两个函数是否相同。〖定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数，例x y x y 2,==；又如])1,0[(,2∈==x x y x y 定义域都取〗 区间 定义，名称，符号，几何（数轴）表示 映射 定义，符号，与函数的异同 2. 函数的表示方法 列表法，图象法，解析法 分段函数 定义域、值域、最值 求函数解析式的常用方法：配凑，换元，待定系数，函数方程（消去法） 3. 函数的图象 作图的步骤：定义域，列表，描点，连线〖注意抓住特征点，如边界点，与两轴的交点等；边界点注意空心/实心〗 带有绝对值符号的函数 定义域，分段脱去绝对值，作图 4. 函数的性质 求定义域 分式，偶次根式，对数的真数和底数，复合函数，实际问题中的实际意义。 求值域 由定义域和对应法则决定，故应先考虑定义域。方法：观察分析，例 函数211)(x x f +=；配方；换元；判别式；单调性；数形结合（图象）；基本不等式；反求法（反函数法）等。 单调性 对于定义域内的某个区间而言。 单调区间若不含端点，则必须写成开区间，若含端点，则写成闭区间，通常写成开区间也可。 一个函数可能有多个独立的单调区间，应用逗号相隔回答，不用并集，而函数的两域都是整体性的集合，若有必要则要用并集回答。 图象特征：从左到右升/降。 证明步骤：设值，作差，定号，作答。 判断函数单调性的有关规律。 如增加增得增，减加减得减；注意：增乘增未必增，减乘减未必减（还要看各自的函数值是否同正或同负） 奇偶性 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的周期性 教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用 函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。 学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应 用，对函数的周期的求法还没有掌握。 教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶 性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。 教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。 教学流程： 一、回顾上节课内容（问答式） C1.奇偶函数的判断基本步骤： （1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数； （2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。 C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。 二、函数的周期 C 1.周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。 C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。 答：错,不一定不变 2.周期函数的性质 C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。 （2）如何判断函数的周期性: ⑴定义; ⑵图象; ⑶利用下列补充性质：设a>0， C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。 B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。 B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。 B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b - 了解证明过程： 证明：由已知得： )(1)(x f a x f -=+) ()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][] )2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴[])2(x a b b f +--=) 2(x a f -= 复变函数的孤立奇点及其应用 数学科学学院 数学与应用数学专业 指导教师： xxx 摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是 )(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2 孤立奇点的判别方法 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1 z f s i dz z f n k a z C k ∑?===π.一般 来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的 洛朗级数中1 01---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求 留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数 法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则 )()(lim ]),([Re 000 z f z z z z f s z z -=- 法则2：设) () ()(z Q z P z f = ，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的利用图形计算器探究复合函数的性质
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