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近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-4

近世代数课后习题参考答案

第四章 整环里的因子分解

1 素元、唯一分解

1. 证明:0不是任何元的真因子。

证 当0≠a 时

若b a 0=则0=a 故矛盾

当0=a 时,有00ε= (ε 是单位) 就是说0是它自己的相伴元

2. 我们看以下的整环I ,I 刚好包含所有可以写成

m m n

(2

是任意整数,0≥n 的整数)

形式的有理数,I 的哪些个元是单位,哪些个元是素元? 证 1)I 的单位 总可以把m 表为

p p m k

(2=是0或奇数,k 非负整数)我们说

1±=p 时,即k

m 2±=是单位,反之亦然

2)I 的素元

依然是k p p m k ,(2=的限制同上) 我们要求

ⅰ)0≠p ⅱ)1±≠p

ⅲ)p k

2只有平凡因子 满足ⅰ)—— ⅲ)的p 是奇素数 故p m k

2=而p 是奇素数是n

m 2

是素元,反之亦然,

3.I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数)的整环,证明5不是I 的素元,5有没有唯一分解?

证 (1)I 的元ε是单位,当而且只当12

时,

事实上,若bi a +=ε是单位 则11-=εε

2

'

2

2

ε

=

即2

'2

1εε=

但2

22

b a +=ε

是一正整数,同样2

'

ε也是正整数,

因此,只有12

反之,若12

2

2

=+=b a ε

,则0,1=±=b a

或1,0±==b a 这些显然均是单位

此外,再没有一对整数b a ,满足122=+b a ,所以I 的单位只有i ±±,1。 (2)适合条件52

的I 的元α一定是素元。

事实上,若52

则0≠α

又由α)1(也不是单位 若2

2

2

5,λβ

α

βλα===

则12=β或52=β

ββ?=12是单位λαβλ?=?-1

2

是α的相伴元

λλ

β

?=?=152

2

是单位βαλβ?=?-1

是α的相伴元

不管哪种情形,α只有平凡因子,因而α是素元。

(3)I 的元5不是素元。

若βα=5则2

2

25λβ= 这样,2

β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当152

2

=?=λ

β

由)1(λ是单位

此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52

的情形

5,2

2

2

=+=+=b a bi a β

β可能的情形是

???==21b a ??=-=21b a ???-==21b a ???-=-=21

b a ???==12b a ?

??-==12b a ???=-=12b a ???-=-=12

b a 显然)2)(2(5i i -+=

由(2)知52

的β是素元,故知5是素元之积

(4)5的单一分解

)21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位

2 唯一分解环

1.证明本节的推论 证 本节的推论是;

一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ,

n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。

用数学归纳法证

当2=n 时,由本节定理3知结论正确。 假定对1-n 个元素来说结论正确。 看n 的情形

设 121,,-n a a a 有最大公因子为1-n d 。

1-n d ,n a 的最大公因子为d

即1-n d d 而a d n 1- i a d n i ?-=)1,,2,1( )1,,2,1(-=n i 又n a d

故d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的公因子

假定i a d -

n n i ,1,,2,1-=

1--

?n d d 又n a d -

d d -

?

这就是说,d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的最大公因子 若'd 是n n a a a ,11- 的最大公因子 那么d d '

且'd d

'

ud d =? vd d =' u v d d =?

若 0=d 则o d ='

0≠d 则1=uv 即u 是单位ε

故d d ε=

2. 假定在一个唯一分解环里n n db a db a db a ===,,,2211

证明 当而且只当d 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子的时候,n b b b ,,,21 互素

证 ""?假定d 是n a a ,,1 的一个最大公因子 若 n b b b ,,21不互素

则有 n n c d b c d b '1'1,,== 而'

d 不是单位

那么),,1(,'

n i c dd a i i == 这就是说'

dd 是n a a ,1的公因子

所以d dd '

即 '''d dd d = 故1'

''=d d

'

d 是单位 矛盾

''''?假定n b b ,,1 互素

令'

d 是n a a ,1的最大公因子 则有'd d 即d d '

i i c d a '

=i c dd 1= ),,2,1(n i =

i i c d b 1= 1d ?是n b b ,,1 的公因子

于是1d 是单位 d d ε='

那么d 是n a a ,,1 的最大公因子

3. 假定I 是一个整环,)(a 和)(b 是I 的两个主理想

证明 )()(b a =当而且只当b 是I 的相伴元的时候 证 ''''?假定)()(b a =

a c

b cb a '

,== a cc a '= 1'

=cc

'

,c c 是单位

所以b 是a 的相伴元

''''?假定a b ε= (ε 单位)),(a b ∈ )()(a b ? )()(,1a a b a ?=-ε 故 ()()b a =

3 主理想

1.假定I 是一个主理想环,并且d b a =),(

证明 d 是a 和b 的一个最大公因子,因此a 和b 的何最大公因子'd 都可写成以下形式:tb sa d +=' ),(I t s ∈ 证 由于)(),(d b a =

有d a a d a 1),(=∈ d b b d b 1),(=∈

d 是a b ,的公因子 仍由)(),(d b a =

知),(b a d ∈ 故有 b t a s d '

'+=

设1d 是b a , 的 任一公因子

由)(A 知d d 1即d 是b a ,的最大公因子 又d d ε='

(ε单位 )

),(,)()()('

'

'

'

I t s tb sa b t a s b t a s ∈+=+=+=εεε

2. 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。

证 设)(p 是主理想环I 的最大理想,

并设0)(≠p 若p 是单位,则1)(=p

若p 不是素元

则bc p =, c b ,是p 的真因子

)()(b p ?

)(p 最大理想 I b =∴)(

b b ?∈)(1是单位,矛盾。

3.我们看两个主理想环I 和0I 是I 的子环,假定a 和b 是0I 的两个元,

d 是这两个元在I 里的一个最大公因子。

证明:d 也是这两个元在I 里的一个最大公因子。 证 0I 是主理想环的子环,所以在0I 里)(),('d b a = 由本节习题1知

d 是b a ,的最大公因子,而且最大公因子d 有以下形式: ),(0I t s tb sa d ∈+=

d I I ,0?也是b a ,在I 里的公因子。

设 1d 是b a ,在I 里任意公因子 则1111,d b b d a a ==

那么)(11111tb sa d tb sa d +=+= d d 1

故d 是b a ,在I 里的最大公因子。

4 欧氏环

1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.

证 设F 是域,则F 一定是整环 0,≠∈x F x

n n x ,:→φ是某一个固定0≥的整数,这符合条件(ⅰ) ⅱ)0,≠∈a F a 对F 的任何元b 都有0)(1

+=-b a a b 这里0=r

2. 我们看有理数域F 上的一元多项式环][x F 理想等于怎样的一个主理想? 证 我们说][)1,1(3

5

2

x F x x x =+++

1,13

52+++x x x 互素 1)1(1)1(3

5

2

3

=++++-∴x x x x 即)1,1(13

5

2

+++∈x x x

因而)()1()1,1(3

5

2

x F x x x ==+++

3. 证明由所有复数b a bi a ,(+是整数) 所作成的环是一个欧氏环 取(a a =)(φ)

证 bi a +=α b a , 整数 令2

22

)(b a +==α

αφ

设0≠α 则02

22

≠+=b a α

任取 di c +=β d c , 整数 其中2

2

'

2

2

',b

a bc

ad b b

a bd ac a +-=

++=

故 '

',b a 是有理数 取,yi x +=λ

y x , 是有理数,且满足条件 21

,2

1'

'≤

-≤

-y b x a

令 λα

βλλη-=-='

则ηαλαβ+=

因为,,,αλβ的实部与虚部系数均为整数,所以ηα的实部与

虚部系数亦均为整数

1)2

1

()

2

1

()

()

(2

2

2

'2

'2'

2?+≤-+-=-=y b x a λ

λη 2

2

2

2

ααη

ηα

?=

设r =ηα r +=λαβ 2

2

α?r 即)()(αφφ?r

注意:取 yi x +=λ 使2

1'

-x a

21'≤

-y b 的整数 y x ,是可以做到的

例如x b a bd

ac x a -++=

-2

2' 只要取 ??????++=22b a bd ac x 或122+???

???++b a bd ac

即可使2

1'

≤-x a

5 多项式环的因子分解

1. 假定!是一个唯一分解环,Q 是I 的商域,证明,

][x l 的一个多项式若是在][x Q 里可约,它在][x l 里已经可约.

证 若)(x f 在][x l 里不可约,令)()(0x df x f = )(0x f 是本原多项式

显然, )(0x f 在][x l 里也不可约,由引理3)(0x f 在][x Q 里不可约, 这与)(x f 在][x Q 里可约的假设矛盾.

2. 假定][x l 是整环I 上的一元多项式环.!属于)(x f 但不属于I ,并且)(x f 的最高系 数是I 的一个单位,证明)(x f 在][x I 里有分解.

证 )(x f 的最高系数是I 的单位,所以)(x f 的系数的最大公因子是单位,也就是说

)(x f 是本原多项式.

)()(x I x f ∈ 而)(x f I ∈

即)(x f 次数0?

根据本节引理4证明的前一部分)(x f 在)(x I 里有分解。

6 因子分解与多项式的根

1. 假定R 是模16的剩余类环,][x R 的多项式2x 在R 里有多少个根? 证 2x 在R 里的所有根是 ]12[],8[],4[],0[

这里因为][m 是2x 的根,则需m 4

2. 假定F 是模3的剩余类环,我们看][x F 的多项式x x x f -=3)(证明,0)(=a f 不管a 是F 的哪一个元.

证 )2)(1()1)(1()(3++=-+=-=x x x x x x x x x f 不管a 是F 的,1,0 或!2均使0)(=a f

3. 证明本节的导数计算规则

证 0111)(a x a x a x

a x a x f m

m n n n n +++++=-- 01)(b x b x b x g m

m +++=

ⅰ)')]()([x g x f +

'

001111)]()()([b a x b a x b a x

a x a m m m m m n n +++++++++=++ ++++=+-m

m n n x a m x

na 11)1( )()(111

b a x

b a m m m m ++++- 1

11)1(-+-++++=m m m m n n x ma x a m x na )()('

'111x g x f b x

mb a m m +=+++++- 1

11')([)]()([-+--+++=m n m n m n m n m n x b a b a x b a x g x f '

000110]

)(b a x b a b a ++++

=11

)(1()(--+-+++m n m n m n b a m n x

b a m n +)()01102

1b a b a x

b a m n m n +++-+-

))1(()()()()(12

11''a x a n x na x f x g x g x f n n n n ++-+=+--- )(01b b x b x m

m +++

))((01

111a x a x a b x

mb n n n n m m ++++++--- )()(0110b a b a abx m n ++++= 故有 (ⅱ)[)()()()()]()('

'

'

x f x g x g x f x g x f += 现在证明)()

(])(['

1'

x f x tf x f t t -=

用数学归纳法证

2=t 时,利用(ⅱ)使 )()(x g x f = 有)()(2])(['2x f x f x f = 假设k t =时)(])([x kf x f t = 看1+=k t 的情形

''1])()([])([k k x f x f x f =+ ''])()[()()(k k x f x f x f x f +

)]()()[()()('1'x f x kf x f x f x f k k -+= =)()()1('x f x f k k +

故有(ⅲ) )()(])(['1'x f x tf x f t t -=

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