固体物理学第一章习题解答

1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。

答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。

非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。

准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。

晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构

成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。

答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。

NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。

3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。

（1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子）

（2）底心立方（3）底心四方

（4）面心四方（5）侧心立方

（6）边心立方

并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？

答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。

（1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。

（2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。

（3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。

（4）面心四方就是体心四角格子，是简单格子，属于四角晶系。

（5）侧心立方如下图所示，从图中可知立方体的四个顶角原子是等价的，而处于两个相对的侧面中心的原子是等价的，因此基元应包含三个不等价的原子，所以它是一个复式格子，其中每个不等价原子各自构成一个简立方的子晶格，整个晶体是由三个简立方的子晶格套构而成。所以是复式格子，属于立方晶系。

侧心立方

=

（6）边心立方如图所示，从图中可以看出立方体的四个顶角原子都相互等价，而相互平行的四条边上的边心原子相互等价，因此晶体中有四类不等价的原子，每个基元有四个不等价原子组成，所以它是一个复式格子，它的布拉菲格子是简立方格子，整个晶体由四个简立方的子晶格套构而成。属于立方晶系。

4、基矢为 1a ai = ，2a aj =

，3()2

a a i j k =++ 的晶体为何种结构? 若

33()22a a a j k i =++

, 又为何种结构? 为什么?

答：由所给的基矢可以求出晶体的原胞体积为

2

)(3

321a =??=Ωa a a

从原胞的体积判断，晶体结构为体心立方。而原胞的取法不止一种，我们

可以根据线性变换的条件，构造三个新的矢量：

)(213k j i a a u ++-=

-=a

)(2

23k j i a a v +-=-=a

)(2

321k j i a a a -+=-+=a

τ

正是体心立方结构的常见的基矢的表达式。

若i k j a 23)(23a a ++=, 2

)(3

321a =??=Ωa a a ，仍为体心立方结构。

5、如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，求证：

结 构 x

简单立方 π／6≈0.52

体心立方 面心立方 六角密排 金 刚 石

证明：设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球所占的体积 与晶胞体积的比值x 称为结构的致密度。

设n 为一个晶胞中的刚性原子数，r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，

则致密度为：3

43n r x V

π=

（1）对简立方晶体，任一原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，中心在顶角的原子球将相切。因为32,a r V a ==,晶胞中包含1个原子，a 为立方边的边长，

则 3

34()326

a x a ππ=

=

（2）对体心立方晶体，任一原子有8个最近邻，体心的原子与8个顶角的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长度为

4r = 3V a =

晶胞中包含2个原子，所以

3

34234x a π?==

（3）对面心立方晶体，任一原子有12个最近邻，顶角的原子与相邻的3个面心原子相切。因为

4r = 3V a =

一个晶胞内含有4个原子，所以

3344346

x a π?==

（4）对六角密积结构，任一原子有12个最近邻，如果原子以刚性球堆积，第二层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切，构成两个对顶的正四面体，第二

层的这个原子在正四面体的顶角上。四面体的边长为a ，高为

2

c

h =

== 68.08/3≈π74

.06/2≈π74.06/2≈π34

.016/3≈π

其中c为六角密积的高，晶胞体积为

202

sin60

2

V ca

==

一个晶胞中包含两个原子，所以

3

4

2()

a

x

π

?

==

（5）对金刚石结构，任一原子有4个最近邻中心在空间对角线四分之一处的原

子与最靠近的顶角原子以及最靠近的三个面心原子相切，所以有

8r =

晶胞体积为3

V a

=

一个晶胞内包含8个原子，所以

3

3

4

8

38

x

a

π

?

==

6、试求面心立方结构（110）和（111）晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a 。

解：[解] 对于面心立方结构的（110）晶面，其面积为

2

S=，其中a为立方边

的边长，即晶格常数。在此晶面上有2个原子，一个是

1

21

2

?=在上下边，一个是

1

41

4

?=在顶角。因此，（110）晶面族的原子数面密度为

2

a

σ=

对于面心立方结构的（111）晶面，其面积为

02

1

sin60)

2

S==。在此晶面上有2个原子：面心原子

1

33/2

2

?=个，顶角原子

1

31/2

6

?=。因此，（111）晶面族的原子数面密度为

σ==

7、闪锌矿的密度334.06710kg m ρ-=? ，锌的原子量65.37

Zn A =，硫的原子量32.06s A =，求闪锌矿结构的点阵常数。 解：[解]一个晶胞中有4个Zn 和4个S ， 一个晶胞的质量为 27

25

(65.37

32.06)

4 1.6610 6.4710

M k g k g --=+???=?

所以可以求得其体积 25283

33

6.4710 1.59104.06710M

kg V m kg m

ρ----?===??? 晶格常数为 1

1283

3

(1.5910)0.542a V m nm -==?=

点阵常数为 0.542a b c n m ===

8、已知锗是金刚石结构，锗单晶的密度335.3210kg m ρ-=? ，原子量72.60Zn A =， 求锗的点阵常数及最近邻、次近邻距离。 解：金刚石结构一个晶胞内有8个锗

一个晶胞的质量为 2725

72.608 1.66109.6410

M k g k g --=???=

? 所以可以求得其体积 25283

33

9.6410 1.81105.3210M

kg V m kg m

ρ----?===??? 晶格常数为 1

1283

3

(1.8110)0.566a V m nm -==?=

点阵常数为 0.566a b c n m ===

最近邻原子距离为

0.2454

a n m

=

次近邻原子距离为

0.4002

a n m

= 9、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，都是109028’. 证明：如下图所示：设BC=a

BC 是金刚石的晶格常数，AB 是金刚石晶格的面对角线，AC 是金刚石晶格的体对角线。E 是AC 的1/4点，F 是AB 的中点

则有AE=ED ，AF=BF 可得EF//BD 所以∠a=∠b

△ABD 中，AD=BD=a

由余弦定理可求得：∠a=109°28′

10、求证：任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是300、450、600、和900. 证明：设想一个群包含两个二重轴2和2’，如图所示，它们之间的夹角用θ表示。

考虑先后绕2和2’转动π，称它们为A 操作和B 操作。显然，与它们垂直的轴上的任意点N ，先转到N ’，最后又转回到原来的位臵N ，这表明B 、A 相乘得到的操作：

C=BA

不改变这个轴，因此只能是一个绕垂直2和2’的轴的转动。V 的转角可以这样求出：2轴在操作A 中显然未动，经操作B 将转到图中虚线所示2’’的位臵，2和2’’的夹角是2θ，表明C 的转角是2θ。因为C 也必须是点群操作之一，2θ只能等于60°，90°，120°，180°。从而我们得到结论，任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30°，45°，60°，90°。

11、在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil ）表示，如图所示，前三个指数表示晶

面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴123,,a a a

上的截距为123/,/,/a h a k a i ，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为/c l 。 求证：

()i h k =-+

并将下列用（hkl ）表示的晶面用（hkil ）表示：

(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)。

证明：

解: 为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况，假设有一晶面与底

面的交线为AB ，它在基矢123,,a a a

上的截距分别为312,,a a a h k l

，假设直线AB 的法线方

向为n

，则

312,a a a n n n d h k l

?=?=?=

式中d 为原点0至直线AB 的距离，由上式可得

123n hd

n kd n id

a a a ??=??

?=???=?? 而且123a a a +=-

，代入上式，得

2

1

)(n id a a +?=-

综上可得：

0h k i ++=

即 ()i h k =-+

(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)表示成()hkil 分别为

(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)

12、具有笛卡尔坐标123(,,)n n n 的所有点形成什么样的布拉菲点阵？如果

（1）i n 或全为奇数，或全为偶数； （2）要求i i

n ∑为偶数。

解：（1）若i n （i =1,2,3）全为偶数；则点阵矢量R

可以写为

(2,2,2)R l m n =

其中l,m,n 为整数，于是有

123???(2)(2)(2)R l x

m y n z la ma na =++=++

1232a a a ===

显然由R

所定义的是一个点阵常数为2的sc 点阵。 若i n （i =1,2,3）全为奇数；则点阵矢量R

可以写为

?????????(21)(21)(21)(2)(2)(2)()R l x

m y n z l x m y n z x y z =+++++=+++++

由R

所定义的也是一个点阵常数为2的sc 点阵，但相对于上面一个sc 点阵位移了一个矢量???()x

y z ++，这个点正好位于立方体得体心位臵，上面两个sc 点阵穿套起来正好是一个bcc 点阵，故123(,,)n n n 或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc 点阵．

（2）要求i i

n ∑为偶数。即要求 123()2n n n N ++=为偶数，其中N 为整数。这

时，点阵矢量为

12121212??????(2)[()()]R n x

n y N n n z n x n y N n N n z =++--=++-+-

令 12(),()l N n m N n =-=-

则有???()()()R N l x

N m y l m z =-+-++

又令 n N l m =--，n 仍为整数，则 ?????????()()()()()()R n m x

n l y l m z n x y l y z m z x =+++++=+++++

比较面心立方的原胞基矢，可见上述格矢定义的是一个点阵常数a=2的fcc 点阵。 13、

(1) 证明理想的六角密堆积结构（hcp)的轴比 /c a 是1/2(8/3) 1.633=；

(2) 钠在23K 附近从bcc 结构转变为hcp 结构(马氏体相变)，假如在此相变过程中保持密度不变，求hcp 相的点阵常数a 。已知bcc 相的点阵常数是0

4.23A ，且hcp 相的 /c a 比值与理想值相同。 解：