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固体物理第一章习题解答

固体物理学第一章习题解答

1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。

答:晶态:内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性,表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质:(1)长程有序;(2)自限性和晶面角守恒;(3)各向异性;(4)固定熔点。

非晶态特点:不具有长程序。具有短程序。短程序包括:(1)近邻原子的数目和种类;(2)近邻原子之间的距离(键长);(3)近邻原子配臵的几何方位(键角)。

准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点:(1)具有长程的取向序而没有长程的平移对称序(周期性);(2)取向序具有周期性所不能容许的点群对称;(3)沿取向序对称轴的方向具有准周期性,由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。

晶体又分为单晶体和多晶体:整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体;而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2、什么是布喇菲格子?画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构

成的格子是面心立方晶体,每个原胞包含几个格点。

答:布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象,即点阵的总体,其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中,常是以具体的粒子(原子、离子等)做格点,如果晶体由完全相同的一种原子组成,则由这些原子所组成的格子,称为布喇菲格子。

NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。

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3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。

(1)底心六角(在六角格子原胞底面中心存在一个原子)

(2)底心立方(3)底心四方

(4)面心四方(5)侧心立方

(6)边心立方

并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种?

答:要决定一个晶体是简单格子还是复式格子,首先要找到该晶体的基元,如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之,则为复式格子。

(1)底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示,它具有一个垂直于底面的四度旋转轴,它的原胞形状如图所示,是简单格子,属于单斜晶系。

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(2)底心立方如下图所示,它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的,因而都是等价的,所以它的基元也由一个原子组成,是简单格子,属于四角晶系。

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(3)底心四方如下图所示,每个原子的周围情况完全相同,基元中只有一个原子,属于简单格子,属于四角晶系。

(4)面心四方就是体心四角格子,是简单格子,属于四角晶系。

(5)侧心立方如下图所示,从图中可知立方体的四个顶角原子是等价的,而处于两个相对的侧面中心的原子是等价的,因此基元应包含三个不等价的原子,所以它是一个复式格子,其中每个不等价原子各自构成一个简立方的子晶格,整个晶体是由三个简立方的子晶格套构而成。所以是复式格子,属于立方晶系。

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侧心立方

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=

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(6)边心立方如图所示,从图中可以看出立方体的四个顶角原子都相互等价,而相互平行的四条边上的边心原子相互等价,因此晶体中有四类不等价的原子,每个基元有四个不等价原子组成,所以它是一个复式格子,它的布拉菲格子是简立方格子,整个晶体由四个简立方的子晶格套构而成。属于立方晶系。

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4、基矢为 1a ai = ,2a aj =

,3()2

a a i j k =++ 的晶体为何种结构? 若

33()22a a a j k i =++

, 又为何种结构? 为什么?

答:由所给的基矢可以求出晶体的原胞体积为

2

)(3

321a =??=Ωa a a

从原胞的体积判断,晶体结构为体心立方。而原胞的取法不止一种,我们

可以根据线性变换的条件,构造三个新的矢量:

)(213k j i a a u ++-=

-=a

)(2

23k j i a a v +-=-=a

)(2

321k j i a a a -+=-+=a

τ

正是体心立方结构的常见的基矢的表达式。

若i k j a 23)(23a a ++=, 2

)(3

321a =??=Ωa a a ,仍为体心立方结构。

5、如果将等体积球分别排成下列结构,设x 表示刚球所占体积与总体积之比,求证:

结 构 x

简单立方 π/6≈0.52

体心立方 面心立方 六角密排 金 刚 石

证明:设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球所占的体积 与晶胞体积的比值x 称为结构的致密度。

设n 为一个晶胞中的刚性原子数,r 表示刚性原子球半径,V 表示晶胞体积,

则致密度为:3

43n r x V

π=

(1)对简立方晶体,任一原子有6个最近邻,若原子以刚性球堆积,中心在顶角的原子球将相切。因为32,a r V a ==,晶胞中包含1个原子,a 为立方边的边长,

则 3

34()326

a x a ππ=

=

(2)对体心立方晶体,任一原子有8个最近邻,体心的原子与8个顶角的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长度为

4r = 3V a =

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晶胞中包含2个原子,所以

3

34234x a π?==

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(3)对面心立方晶体,任一原子有12个最近邻,顶角的原子与相邻的3个面心原子相切。因为

4r = 3V a =

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一个晶胞内含有4个原子,所以

3344346

x a π?==

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(4)对六角密积结构,任一原子有12个最近邻,如果原子以刚性球堆积,第二层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切,构成两个对顶的正四面体,第二

层的这个原子在正四面体的顶角上。四面体的边长为a ,高为

2

c

h =

== 68.08/3≈π74

.06/2≈π74.06/2≈π34

.016/3≈π

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其中c为六角密积的高,晶胞体积为

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202

sin60

2

V ca

==

一个晶胞中包含两个原子,所以

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3

4

2()

a

x

π

?

==

(5)对金刚石结构,任一原子有4个最近邻中心在空间对角线四分之一处的原

子与最靠近的顶角原子以及最靠近的三个面心原子相切,所以有

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8r =

晶胞体积为3

V a

=

一个晶胞内包含8个原子,所以

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3

3

4

8

38

x

a

π

?

==

6、试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度,设晶格常数为a 。

解:[解] 对于面心立方结构的(110)晶面,其面积为

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2

S=,其中a为立方边

的边长,即晶格常数。在此晶面上有2个原子,一个是

1

21

2

?=在上下边,一个是

1

41

4

?=在顶角。因此,(110)晶面族的原子数面密度为

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2

a

σ=

对于面心立方结构的(111)晶面,其面积为

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02

1

sin60)

2

S==。在此晶面上有2个原子:面心原子

1

33/2

2

?=个,顶角原子

1

31/2

6

?=。因此,(111)晶面族的原子数面密度为

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σ==

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7、闪锌矿的密度334.06710kg m ρ-=? ,锌的原子量65.37

Zn A =,硫的原子量32.06s A =,求闪锌矿结构的点阵常数。 解:[解]一个晶胞中有4个Zn 和4个S , 一个晶胞的质量为 27

25

(65.37

32.06)

4 1.6610 6.4710

M k g k g --=+???=?

所以可以求得其体积 25283

33

6.4710 1.59104.06710M

kg V m kg m

ρ----?===??? 晶格常数为 1

1283

3

(1.5910)0.542a V m nm -==?=

点阵常数为 0.542a b c n m ===

8、已知锗是金刚石结构,锗单晶的密度335.3210kg m ρ-=? ,原子量72.60Zn A =, 求锗的点阵常数及最近邻、次近邻距离。 解:金刚石结构一个晶胞内有8个锗

一个晶胞的质量为 2725

72.608 1.66109.6410

M k g k g --=???=

? 所以可以求得其体积 25283

33

9.6410 1.81105.3210M

kg V m kg m

ρ----?===??? 晶格常数为 1

1283

3

(1.8110)0.566a V m nm -==?=

点阵常数为 0.566a b c n m ===

最近邻原子距离为

0.2454

a n m

=

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次近邻原子距离为

0.4002

a n m

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= 9、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同,都是109028’. 证明:如下图所示:设BC=a

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BC 是金刚石的晶格常数,AB 是金刚石晶格的面对角线,AC 是金刚石晶格的体对角线。E 是AC 的1/4点,F 是AB 的中点

则有AE=ED ,AF=BF 可得EF//BD 所以∠a=∠b

△ABD 中,AD=BD=a

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由余弦定理可求得:∠a=109°28′

10、求证:任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是300、450、600、和900. 证明:设想一个群包含两个二重轴2和2’,如图所示,它们之间的夹角用θ表示。

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考虑先后绕2和2’转动π,称它们为A 操作和B 操作。显然,与它们垂直的轴上的任意点N ,先转到N ’,最后又转回到原来的位臵N ,这表明B 、A 相乘得到的操作:

C=BA

不改变这个轴,因此只能是一个绕垂直2和2’的轴的转动。V 的转角可以这样求出:2轴在操作A 中显然未动,经操作B 将转到图中虚线所示2’’的位臵,2和2’’的夹角是2θ,表明C 的转角是2θ。因为C 也必须是点群操作之一,2θ只能等于60°,90°,120°,180°。从而我们得到结论,任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30°,45°,60°,90°。

11、在六角晶系中,晶面常用四个指数(hkil )表示,如图所示,前三个指数表示晶

面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴123,,a a a

上的截距为123/,/,/a h a k a i ,第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为/c l 。 求证:

()i h k =-+

并将下列用(hkl )表示的晶面用(hkil )表示:

(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)。

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证明:

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解: 为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况,假设有一晶面与底

面的交线为AB ,它在基矢123,,a a a

上的截距分别为312,,a a a h k l

,假设直线AB 的法线方

向为n

,则

312,a a a n n n d h k l

?=?=?=

式中d 为原点0至直线AB 的距离,由上式可得

123n hd

n kd n id

a a a ??=??

?=???=?? 而且123a a a +=-

,代入上式,得

2

1

)(n id a a +?=-

综上可得:

0h k i ++=

即 ()i h k =-+

(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)表示成()hkil 分别为

(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)

12、具有笛卡尔坐标123(,,)n n n 的所有点形成什么样的布拉菲点阵?如果

(1)i n 或全为奇数,或全为偶数; (2)要求i i

n ∑为偶数。

解:(1)若i n (i =1,2,3)全为偶数;则点阵矢量R

可以写为

(2,2,2)R l m n =

其中l,m,n 为整数,于是有

123???(2)(2)(2)R l x

m y n z la ma na =++=++

1232a a a ===

显然由R

所定义的是一个点阵常数为2的sc 点阵。 若i n (i =1,2,3)全为奇数;则点阵矢量R

可以写为

?????????(21)(21)(21)(2)(2)(2)()R l x

m y n z l x m y n z x y z =+++++=+++++

由R

所定义的也是一个点阵常数为2的sc 点阵,但相对于上面一个sc 点阵位移了一个矢量???()x

y z ++,这个点正好位于立方体得体心位臵,上面两个sc 点阵穿套起来正好是一个bcc 点阵,故123(,,)n n n 或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc 点阵.

(2)要求i i

n ∑为偶数。即要求 123()2n n n N ++=为偶数,其中N 为整数。这

时,点阵矢量为

12121212??????(2)[()()]R n x

n y N n n z n x n y N n N n z =++--=++-+-

令 12(),()l N n m N n =-=-

则有???()()()R N l x

N m y l m z =-+-++

又令 n N l m =--,n 仍为整数,则 ?????????()()()()()()R n m x

n l y l m z n x y l y z m z x =+++++=+++++

比较面心立方的原胞基矢,可见上述格矢定义的是一个点阵常数a=2的fcc 点阵。 13、

(1) 证明理想的六角密堆积结构(hcp)的轴比 /c a 是1/2(8/3) 1.633=;

(2) 钠在23K 附近从bcc 结构转变为hcp 结构(马氏体相变),假如在此相变过程中保持密度不变,求hcp 相的点阵常数a 。已知bcc 相的点阵常数是0

4.23A ,且hcp 相的 /c a 比值与理想值相同。 解:

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