2018年湖南省长沙市中考数学试卷及解析

2018年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)

1．（3.00分）﹣2的相反数是（）

A．﹣2 B．﹣C．2 D．

2．（3.00分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）

A．0.102×105B．10.2×103 C．1.02×104D．1.02×103

3．（3.00分）下列计算正确的是（）

A．a2+a3=a5B．3C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m2

4．（3.00分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm

C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm

5．（3.00分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

6．（3.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

7．（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）

A．B．C．D．

8．（3.00分）下列说法正确的是（）

A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨

C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件

9．（3.00分）估计+1的值是（）

A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间

10．（3.00分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）

A．小明吃早餐用了25min

B．小明读报用了30min

C．食堂到图书馆的距离为0.8km

D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min

11．（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）

A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米

12．（3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）

A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无穷多个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

13．（3.00分）化简：=．

14．（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为度．

15．（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．

16．（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是．

17．（3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为．18．（3.00分）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=度．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第

22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

19．（6.00分）计算：（﹣1）2018﹣+（π﹣3）0+4cos45°

20．（6.00分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．

21．（8.00分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共抽取了名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

22．（8.00分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）

23．（9.00分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．

（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

24．（9.00分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．

（1）求CE的长；

（2）求证：△ABC为等腰三角形．

（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

25．（10.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．（1）求∠OCD的度数；

（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；

（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

26．（10.00分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，

﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．

2018年湖南省长沙市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)

1．（3.00分）

【考点】14：相反数．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：﹣2的相反数是2，

故选：C．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3.00分）

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：10200=1.02×104，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3.00分）

【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；78：二次根式的加减法．

【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；

B、3﹣2=，故此选项错误；

C、（x2）3=x6，故此选项错误；

D、m5÷m3=m2，正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．（3.00分）

【考点】K6：三角形三边关系．

【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．

【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，

∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；

B、8+8=16，16＞15，

∴该三边能组成三角形，故此选项正确；

C、5+5=10，10=10，

∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；

D、6+7=13，13＜14，

∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．

5．（3.00分）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（3.00分）

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．

【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，

解不等式2x﹣4≤0，得：x≤2，

则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，

将解集表示在数轴上如下：

故选：C．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

7．（3.00分）

【考点】I2：点、线、面、体．

【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．

【解答】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台，

故选：D．

【点评】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答．

8．（3.00分）

【考点】X1：随机事件；X3：概率的意义．

【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．

【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；

B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；

C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；

D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．

故选：C．

【点评】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．（3.00分）

【考点】2B：估算无理数的大小．

【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．

【解答】解：∵32=9，42=16，

∴，

∴+1在4到5之间．

故选：C．

【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

10．（3.00分）

【考点】E6：函数的图象．

【分析】根据函数图象判断即可．

【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）=17min，A错误；

小明读报用了（58﹣28）=30min，B正确；

食堂到图书馆的距离为（0.8﹣0.6）=0.2km，C错误；

小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，D错误；

故选：B．

【点评】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．

11．（3.00分）

【考点】1O：数学常识；KU：勾股定理的应用．

【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．

【解答】解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．12．（3.00分）

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax ﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．

【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），

∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a

∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）

∴（x0+4）≠a（x0﹣1）

∴x0=﹣4或x0=1，

∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）

故选：B．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

13．（3.00分）

【考点】6B：分式的加减法．

【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可．

【解答】解：原式==1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了分式的加减法法则，解题时牢记定义是关键．

14．（3.00分）

【考点】VB：扇形统计图．

【分析】根据圆心角=360°×百分比计算即可；

【解答】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）=90°，

故答案为90．

【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

15．（3.00分）

【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．

【解答】解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，

∴得到（1，3），

∵再向下平移2个单位长度，

∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．

故答案为：（1，1）．

【点评】此题主要考查了平移，正确掌握平移规律是解题关键．

16．（3.00分）

【考点】X4：概率公式．

【分析】先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答．

【解答】解：正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6，

故点数为偶数的概率为=，

故答案为：．

【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

17．（3.00分）

【考点】AB：根与系数的关系．

【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设方程的另一个根为m，

根据题意得：1+m=3，

解得：m=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．

18．（3.00分）

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．

【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数．

【解答】解：

∵∠A=20°，

∴∠BOC=40°，

∵BC是⊙O的切线，B为切点，

∴∠OBC=90°，

∴∠OCB=90°﹣40°=50°，

故答案为：50．

【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第

22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

19．（6.00分）

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1﹣2+1+4×=1﹣2+1+2=2．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6.00分）

【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．

【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案．

【解答】解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，

当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．

21．（8.00分）

【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．

【分析】（1）根据总数=个体数量之和计算即可；

（2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可；

（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；

【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人），

故答案为50；

（2）平均数=（4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；

众数：得到8分的人最多，故众数为8．

中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；

（3）得到10分占10÷50=20%，

故500人时，需要一等奖奖品500×20%=100（份）．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（8.00分）

【考点】KU：勾股定理的应用；T8：解直角三角形的应用．

【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；

（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．

【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，

∴CD=BC?sin30°=80×（千米），

AC=（千米），

AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；

（2）∵cos30°=，BC=80（千米），

∴BD=BC?cos30°=80×（千米），

∵tan45°=，CD=40（千米），

∴AD=（千米），

∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），

∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

23．（9.00分）

【考点】9A：二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数﹣打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根据题意得：，

解得：．

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．

（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640（元）．

答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．

24．（9.00分）

【考点】JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；MA：三角形的外接圆与外心；MI：三角形的内切圆与内心．

【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6；

（2）通过证明AC=AE得到AB=AC；

（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可．

【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，

∴BD=CD，

∵CE∥AD，

∴AD为△BCE的中位线，

∴CE=2AD=6；

（2）证明：∵CE∥AD，

∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，

而∠BAD=∠CAD，

∴∠ACE=∠E，

∴AE=AC，

而AB=AE，

∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形．

（3）如图，连接BP、BQ、CQ，

在Rt△ABD中，AB==5，

设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，

在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，

∴PD=PA﹣AD=﹣3=，

∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，

∴?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=，

即QD=，

∴PQ=PD+QD=+=．

答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．

25．（10.00分）

【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；

（2）设M（a，），由△OPM∽△OCP，推出==，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；

（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中；

【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴y=﹣x+m+!，

令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），

令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠OCD=45°．

（2）设M（a，），

∵△OPM∽△OCP，

∴==，

∴OP2=OC?OM，

当m=3时，P（3，1），C（4，0），

OP2=32+12=10，OC=4，OM=，

∴=，

∴10=4，

∴4a4﹣25a2+36=0，

（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，

∴a=±，a=±2，

∵1＜a＜3，

∴a=或2，

当a=时，M（，2），

PM=，CP=，

≠（舍弃），

当a=2时，M（2，），PM=，CP=，

∴==，成立，

∴M（2，）．

（3）不存在．理由如下：

当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，

①当1＜x＜5时，如图1中，

∴E（，），F（x，x），S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE

=5﹣?x?x﹣??=4.1，化简得到：x4﹣9x2+25=0，

△＜O，

∴没有实数根．

②当x≤1时，如图2中，

S=S△OGH＜S△OAM=2.5，

∴不存在，

③当x≥5时，如图3中，