利用相关点法巧解对称问题

利用相关点法巧解对称问题

对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题

例1 （2001年高考）设y f x =()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。证明y f x =()是周期函数。

证明：设（x ，y ）为y f x =()图象上任意一点，则其关于x =1的对称点可求得：(,)2-x y ，于是

根据函数关系有：y f x f x ==-()()2，又因为y f x =()是定义在R 上的偶函数，故有：f x f x ()()=-，

因此结合上式有：f x f x f x ()()()=-=-2，故由f x f x ()()-=-+2知：y f x =()是周期函数，T =2。

例2 （1997年高考文）设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f x =-()1与f f x =-()1的图象关于（ ）

A. 直线y =0对称

B. 直线x =0对称

C. 直线y =1对称

D. 直线x =1对称

解：可设（x 1，y ）为y f x =-()1上任意一点，则有y f x =-()11；

若（x 2，y ）为y f x =-()1上一点，也有y f x =-()12，一般地，由

f x f x ()()1211-=-可知：x x 1211-=-，所以

x x 122

1+=，即（x 1，y ）与（x 2，y ）关于直线x =1对称，故选（D ）。 评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。

二. 三角函数中的对称问题

例3 （2003年高考江苏卷）已知函数f x x ()sin()(,)=+>≤≤ω?ω?π00是R 上的偶函数，其

图象关于点M (,)340π对称，且在区间02,π?????

?上是单调函数，求?ω和的值。 解：由f x ()是偶函数，得f x f x ()()-=

即sin()sin()-+=+ω?ω?x x

所以-=cos sin cos sin ?ω?ωx x

对任意x 都成立，且ω>0，所以得

cos ?=0

依题设0≤≤?π，所以解得?π

=2，这时f x x ()sin()=+ωπ

2

由y f x =()的图象关于点M 对称，可设P （x ，y ）是其图象上任意一点，P 点关于M (

,)340π的对称点可求得为：(,)32

π--x y 即有y f x f x ==--()()32

π，（*） 取x ＝0，得f f ()()032=-π，所以，sin sin()ππωπ2322

1=-+= 所以sin()322

1πωπ+=- 所以ω=-=23

21123(),,,...k k 当k =1时，ωππ==+?????

?2323202,()sin(),f x x 在上是减函数； 当k =2时，ωπ==+222,()sin()f x x 在02,π?????

?上是减函数； 当k ≥2时，ωωππ≥

=+??????103202,()sin(),f x x 在上不是单调函数； 所以，综合得ωω==23

2或 评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。

三. 解析几何中的对称问题

例4 （1998年高考理）设曲线C 的方程是y x x =-3

，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1

（I ）写出曲线C 1的方程；

（II ）证明曲线C 与C 1关于A t s (,

)22

点对称； （I ）解：曲线C 1的方程为： y x t x t s =---+()()3

（II ）证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）。设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有： x x t y y s 12122222

+=+=, 所以x t x y s y 1212=-=-,

代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：

s y t x t x y x t x t s -=---=---+22322232()()

()()即

可知点B x y 222(,)在曲线C 1上

反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上。因此，曲线C 与C 1关于点A 对称。

例5 （1997年高考文）椭圆C 与椭圆C 1：()()x y -+-=3924

122

关于直线x y +=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A. ()()x y +++=2439122 B. ()()x y -+-=2934

122

C. ()()x y +++=2934122

D. ()()x y -+-=2439

122

解：设（x ，y ）是椭圆C 上任意一点，则其关于直线x y +=0的对称点可求得为(,)--y x ，该点在

椭圆C 1上，故其坐标适合椭圆C 1的方程，将其代入有：()()--+--=y x 3924

122

，化简后知选A 。 从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

力法求解超静定结构的步骤

第七章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 §7-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：

利用对称性解答特殊的复杂电路

利用对称性解答特殊的复杂电路 在初中物理竞赛试题中，经常出现图形连接复杂而且特殊的电路。若不认真审题，弄清电路元件的连接形式，仔细分析各部分电路电压、电流的特点和关系，充分利用电路存在对称性的特点，想要解答此类题目，会感到非常困难。下面简要谈谈复杂电路对称图形的解答方法。 例根阻值均为r 的电阻丝连接成如图所示的电路，试求A 、D 间的总电阻是多少 解析：此图连接较复杂，不是简单的混联电 路，但也特殊，具有一个特点：就是对称性。设电流从A 点流入电路从D 点流出，由于电路是整 体对称的，所以I AB =I CD =I AF =I ED , I AO =I OD , I BC =I FE ；且I BO =I FO ，I OC =I OE 。显然O 点只是电流的相遇点，可理解为电流从各自的路流到O 点，然后又各自流向对应的路，于是图形可等效于右图。这 就把复杂的混联电路变为简单的混联电路。 AD 间的电路可认为R 上、R 中、R 下三部分电路的并联组成。 BC 间 电 阻 r r r r r R BC 3 2 22=+?=， r r R r R BC 38=++=上。同理r R 3 8 =下；r r r R 2=+=中。则AD 间总电阻为 下中上R R R R AD 1111++=，r R AD 5 4 =∴。

例2. 如图所示9个电阻为4?的电阻连成的电路，现在A 、B 两点间加上8V 的电压，则流过直接接在EB 两点间电阻上的电流为多少安流过直接接在E 、D 两点间电阻上的电流为多少安 解析：很明显地看出，此图是一个对称图形——各支路电阻关于EF 轴对称。若在AB 间加8V 电压时，根据电压随电阻的分配规律知： 必然V V U U EB AE 42 8== =， A V I I AE EB 144=Ω = =∴。其它各支路电流应存在的关系为I AC =I DB ；I CE =I ED ；I CF =I FD ；因此，该电路的等效电路图如右图，CD 两点间的电阻R CD 应满足关系式下 中上R R R R CD 1111++=, 即 Ω =Ω+Ω+Ω=218141811CD R ，Ω=2CD R ； A 、C 、D 、B 电路的电流为 A V R U I AB 8.04248=Ω +Ω+Ω== 总，A A R I U CD CD 6.128.0=Ω?=?=， Ω==4ED CE R R Θ,A V R U I I ED CD CED ED 2.0426.12=Ω ?=?= =∴，即流过直接接在E 、D 两点间电阻上的电流为。

立体几何割补法

立体几何割补法 立体几何中的割补法解题技巧 邹启文 ※ 高考提示 立体几何中常用割补法解题.特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解,有时解起来 还比较容易. ※ 解题钥匙 例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD—ABCD的棱长为1，O是底面ABCD11111111 的中心，则O到平面ACD的距离为( ) 11 2231A、 B、 C、 D、 4222 分析:求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O为AC的中点，故将要求的距离 11 与A到面ACD的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该 111 图中割出一个三棱锥A—ACD而进行解题。 111 解:连AC，可得到三棱锥A—ACD，我们把这个正方体的其 1111

它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与的直 2角三角形。这个三棱维又可视为三棱锥C—AAC，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角111 2形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为，故应选B。 2 例2 (2007湖南高考，理8)棱长为1的正方体ABCD—ABCD1111 的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA、DD的中点， 11则直线EF被球O截得的线段长为( ) 22A、 B、1 C、1+ D、 222 分析:在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而烦琐，而又考虑到面AADD截得的球的截面为圆，且EF 11 在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。 解:如图，正方体ABCD—ABCD，依题O亦为此正方体的中心，补侧面 1111 可得圆锥0—AD(如下图)， AD为平面AD，球0截平面A D1111 其底面圆心正为线段AD之中点，亦为线段EF之中点，割去正方体和球 1 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O截直线EF所得线段长就等于这个圆锥底面圆的直径AD之长，故选D。 1

中考复习数学思想方法之二：割补法“补形”在初中几何问题中的应用

中考复习数学思想方法之一：割补法“补形”在初中几何问题中的应用 平面几何中的“补形”就是根据题设条件，通过添加辅助线，将原题中的图形补成某种熟悉的，较规则的，或者较为简单的几何基本图形，使原题转化为新的易解的问题．从“补形”的角度思考问题，常能得到巧妙的辅助线，而使解题方向明朗化，所以，补形是添加辅助线的重要方法．下面举例加以说明，供参考． 例1 如图1，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于． 解析题中六边形是不规则的图形，现将它补形为较规则的正三角形，分别向两方延长AB、CD、EF相交于G、H、I (如图2)． ∵六边形ABCDEF的六个内角都相等， ∴六边形的各角为120°， ∴△AFI、△BCG、△DEH均是正三角形，从而△GHI为正三角形，则有 GC=BC=3，DH=EH=DE=2， IF=AF, IH=GH=GC+CD+DH =3+3+2=8， ∴IE=IH－EH=8－2=6． ∴六边形的周长等于： AB+BC+CD+DE+EF+F A =AB+BC+CD+DE+IE =1+3+3+2+6=15． 注：本题亦可补成平行四边形求解，如图3． 例2 如图4，在Rt△ABC中，AC=BC，AD是∠A的平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，求证：AD=2BE． 解析从等腰三角形的性质得到启示：顶角平分线垂直底边且平分底边．结合AE平分∠CAB，B E⊥AE，启发我们补全一个等腰三角形．所以延长BE交AC的延长线于点F(如

图5)，易证△ABF 为等腰三角形，∴ BF =2BE ，再证△ACD ≌△BCF ，全等的条件显然满足，故结论成立． 例3 某片绿地的形状如图6所示，其中∠A =60°，A B ⊥BC ，C D ⊥AD ，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长． 解析 由题设∠A=60°，A B ⊥BC ，可将四边形补成图7所示的直角三角形． 易得∠E =30°，AE =400，CE =200，然后再由勾股定理或三角函数求出BE ， DE 由此得到AD =400－200。 例4 如图8，在平面直角坐标系中直线y =x －2与y 轴相交于点A ，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点B (m ，2)． (1) 求反比例函数的关系式； (2) 将直线y =x －2向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18，求平移后的直线的函数关系式． 解析 (1) 所求解析式为y =8 x ； (2) 本题方法不一，下面着重对此题进行分析解答．

立体几何巧思妙解之割补法

立体几何巧思妙解之割补法 在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。 一 、求异面直线所成的角 例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） 000090604530A B C D 分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。 巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH A CB S -， 1//,EF AA ∴Q 异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。故选C 。 二、体积问题 例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC ，234,10,241PA BC PB AC PC AB ======，则三棱锥子P —ABC 的体积为（ ）。 4080160240A B C D 分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶 点到底面的高无法作出，自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三 棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不 难解决。 巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易 知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。 PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有： 2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ?+=?+=?===??+=? ，从而知 416810468101606 P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEB V V V V V V V V --------=----=-=??-????= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形， 且BCF ADE ??、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 （ ） （A ） 32 （B ）33 （C ）34 （D ）23

积分中的对称性

积分中的对称性 作者：刘建康 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称 在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论： 若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。 其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称； ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。

高中物理运用割补法解电场强度问题

高中物理运用割补法解电场强度问题 所谓割补法，就是在求解电场强度时根据给出的条件建立起物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，则容易解决，但有时由题给的条件建立起的模型不是一个完整的标准模型，比如说A不是一个标准的、完整的模型，可设法补上一个B，补偿的原则是使A+B成为一个完整的模型，从而使A+B变得易于求解，而且补上的B也必须容易求解，那样待求的A便可从两者的差中获得，这种转换思维角度的方法常常使一些难题的求解变得简单明了。我们只学到有关点电荷的电场强度、匀强电场的电场强度的计算公式，但不能看成点电荷的带电体产生的电场强度，没有现成公式能用，这时我们就可用割补法使带电体变成标准模型来求解。例、如图所示，用金属AB弯成半径r=1m的圆弧，但在A、B之间留出宽度d=2cm的间隙，将Q=3.13×10－9C的正电荷分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。分析：我们可以应用割补思维，假设将图中圆环缺口补上，并且它的电荷密度与缺了口的环体原有电荷密度一样，这样就形成了一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分可视为两个相对应的点电荷，它们产生的电场在圆心O处叠加后合电场强度为零，根据对称性可知，带电圆环在圆心O处的总电场强度E=0。至于补上的带电小段，由题给条件

可视作点电荷，它在圆心O处的电场强度E1是可求的，设题中待求电场强度为E2，则E1+E2=E=0，便可求得E2。本题中如果在A、B之间留出宽度比较大的间隙，则不能运用上面的方法求圆心处的电场强度，因为此时AB段带电体不能当作点电荷来处理，库仑定律不能直接使用。解析：设原缺口环所带电荷的线密度为，，则补上的金属小段的带电荷量，求出它在O处的电场强度。设待求的电场强度为E2，因为E1+E2=0，可得E2=－E1=－9×10－2N／C负号表示E2与E1反向，背向球心向左。

对称性在解题中的应用

摘要 “对称性在数学解题中的应用”是数学学习中重要内容之一，是高考数学备考中的重要环节.“对称性的探究及应用”也是中学数学中的难点之一，学生在学习过程中，往往感到困惑，从而提出种种质疑，在对称性的应用问题中条件和结论容易混淆. 本文整理了对称性在几何、代数、微分、积分中的应用问题，同时对一些典型例题给予解释，对定理证明与条件的分析，给出论证及说明.通过“对称性”在各方面解题中的应用，进一步探究“对称性在解题中应用”的条件.体会到数学源于生活，又应用于生活.通过对“对称性在解题中应用”的条件理解，提高了学习者的数学素养和人文精神，培养了学习者分析问题和解决问题的能力. 关键词：对称性，函数图像，轮换对称，轴对称，中心对称

目录 一、引言 (1) （一）研究工作的背景和发展概况 (1) 1.对称性在代数中的应用 (1) 2.对称性在几何中的应用 (2) 3.对称性在微分学中的应用 (2) 4.对称性在积分学中的应用 (3) （二）文章结构安排和主要结论 (3) 二、对称关系在解题中的应用 (4) （一）利用对称关系解轮换对称题 (4) （二）对称性在函数中的应用 (6) 1.对称性在基本初等函数中的应用 (6) 2.对称性在三角函数中的应用 (9) 3.对称性在解析几何中的应用 (11) 三、结束语 (16) 四、参考文献 (16)

一、引言 （一） 研究工作的背景和发展概况 对称性是数学研究的一个重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支.古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说:”哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”对称性的内容十分丰富,对称性的应用也十分广泛. 1.对称性在代数中的应用 对称是代数中随处可见的现象.譬如，实数a 与a -互为相反数，复数bi a +与 bi a -互为共轭复数，导数的运算法则，()v u v u '+'='+，()v u v u uv '+'=', 这些 有着明显的对称性.还有，原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感. 例1．古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形﹑帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 151010 5114641 1331 121 11 1 它具有的性质： （1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1; （2）第n 行的数字个数为n 个; （3）第n 行数字和为)1(2-n ; （4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形. “杨辉三角”形式上所具有的对称性和谐统一，令人叹为观止. 例 2.似乎黄金分割点（618.0=ω处）不是对称点，但若将左端点记为A ，右端点记为B ，黄金分割点记为C ，则AB CA CA BC ::=，而且C 关于中点的对称点D 也是AB 的黄金分割点，因为AB DB DB AB ::=，再进一步，D 又是的黄金分割点，C 是DB 的黄金分割点。由此讨论下去，可以视为一种连环对称.

利用割补法解几何题

利用割补法巧解几何题 温州实验中学：江瑛 割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题中。下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性： 一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形 例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， ∠A=135°，AD=2，BC=6 H 求四边形ABCD面积 解： D A B C 例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H =30°，∠ABC=60°，四边形ABCD 面积为5√3， D 求AD长 C 解： B A D 思考题： 1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90° 求四边形ABCD面积 A B 2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D ∠BCD=120°，AB=2√6， BC=5√3，CD=6 求AD长 A C B

二．利用角平分线与垂直割补全等 例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E 求证：BD=2CE 解： A E D B C 思考题： 1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC， BD⊥AD，AD交于BC于O C D 求证：OA=OD O A B 2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A ∠B的平分线与AD垂直 求证：AC=2BD D B C 三．利用互补割补全等 例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D =90°AB=CD=AE=BC+DE=1 求五边形ABCDE面积 B 解： E F A

例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥ BC，且AH=1 求四边形ABCD面积 D 解： B H C 思考题： 1．五边形ABCDE中，AB=AE， A BC+DE=CD，∠ABC+∠AED =180°，连AD E 求证：AD平分∠CDE D B C 2：△ABC为边长是1的正三角形，△BDC是顶角 A ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点， 作一个60°两边分别交AB于M、 交AC于N，连MN。 求△AMN周长 M N B C D

立体几何割补法

立体几何中的割补法解题技巧 ※ 解题钥匙 例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AC 1D 1的距离为（ ） A 、21 B 、42 C 、22 D 、2 3 分析：求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局 限性显然不太好做垂线，考虑O 为A 1C 1的中点，故将要求的距离 与A 1到面AC 1D 1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该 图中割出一个三棱锥A 1—AC 1D 1而进行解题。 解：连AC 1，可得到三棱锥A 1—AC 1D 1，我们把这个正方体的其 它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为 这个三棱锥的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与2的直 角三角形。这个三棱维又可视为三棱锥C 1—AA 1C 1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为2 2，故应选B 。 例2 （2007湖南高考，理8）棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的8个顶点都在球O 的表面上，E ，F 分别是棱AA 1、DD 1的中点， 则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A 、22 B 、1 C 、1+2 2 D 、2 分析：在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得 复杂而烦琐，而又考虑到面A 1ADD 1截得的球的截面为圆，且EF 在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。 解：如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，依题O 亦为此正方体的中心，补侧面 AD 1为平面AD 1，球0截平面A D 1可得圆锥0—AD 1（如下图）， 其底面圆心正为线段AD 1之中点，亦为线段EF 之中点，割去正方体和球 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O 截直线EF 所得线段 长就等于这个圆锥底面圆的直径AD 1之长，故选D 。 例3 （2005全国高考I ，理5）如图，在多面体ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形。 EF ‖AB ，EF=2，则多面体的体积为（ ） A 、32 B 、3 3 C 、3 4 D 、23 分析：显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们 在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故 在此可采用分割的方法。将已知图形割为一个直棱柱与两个 全等的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。 解：如下图，过AD 和BC 做分别EF 的直截面ADM 及截面BCG ，面ADM ‖面BCG ，

割补法求几何体体积

割补法求几何体体积 ?仙霞高级中学齐兴兴陈艳芝 一、教学目标 （一）知识目标 （1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识 （2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的 （二）能力目标 学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。 （三）情感目标 情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。 二、教学重难点 ●重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方 法] ●难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如 何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法： (1)动画演示切割或拼补的过程; (2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质; 三、教学思想与教学方法 1．教学思想 建构主义理论强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的构建者。而合理恰当的运用现代信息技术，为学生的创造，提供一种“自主发现，自主探索”的环境，正与这种理论主张想吻合。 2．教学方法 在教学过程中，由教师创设问题情境，学生通过自己的思考，同学间的讨论，或在多媒体课件的帮助下，找出解决问题的办法。最终得出结论。然后，由教师引导学生总结，提炼。 四、教学过程 （一）复习提问 （1）让学生根据课件，回顾三棱锥体积公式的推导过程；

高考数学选择题的技巧与方法：高考数学选择题技巧与方法——6.割补法

高考数学选择题技巧与方法 6．割补法 “能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度. 例1．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π （B ）4π （C ）3π3 （D ）6π 解：如图，将正四面体ABCD 补形成正方体，则正四面体、正方体的中 心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1， 从而外接球半径R ＝ 2 3.故S 球＝3π. 直接法（略） 例 2. 如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，则几何体EFGH ABCD -的体积为（ ） （A ）100 （B ）102 （C ）106 （D ）108 【解析】 【割补法】首先通过梯形BFHD ACGE ,的中位线重合，我们可以求得9=DH ,分别延长DH CG BF AE ,,,到','','D C B A ,使得17''''====DD CC BB AA ,则我们可得8',5',9',12'====HD GC FB EA ， 故长方体''''D C B A ABCD -的体积是几何体EFGH ABCD -的二倍. 故10217432 121''''=???==--D C B A ABCD EFGH ABCD V V 我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”. 、用割补法求柱体（柱体的一部分）体积

中考数学复习指导：利用抛物线的对称性解题

利用抛物线的对称性解题 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象是关于直线 x ＝－ 2b a 成轴对称的图形，利用抛物线的 对称性解题也是中考的热点之一，现分类例析如下，供教学参考． 一、求顶点坐标例1 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表： 该函数图象的顶点坐标为( ) (A)（－3，－3）(B)（－2，－2）(C)（－1，－3）(D)（0，－6） 解 观察表中当x ＝－3或－1时，y ＝－3，由抛物线的对称性，对称轴为直线 x ＝－ 2，故顶点坐标为（－ 2，－2），所以应选B ． 点评 本题是用表格给出二次函数 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的信息，观察出当x ＝－3或－1时， y ＝－3，是解题的关键． 二、判断点在图象上例2 若二次函数y ＝ax 2 的图象经过点 P(－2，4)，则该图象必经过点( ) (A)(2，4) (B)（－2，－4）(C)（－4，2）(D)（4，－2） 解 由二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴，又P(－2，4)关于y 轴的对称点为(2，4)，所 以应选A ． 点评 本题二次函数 y ＝ax 2 的对称轴为y 轴是解题的突破口，根据抛物线的对称性， 从而P （－2，4）关于y 轴的对称点在二次函数 y ＝ax 2 的图象上． 三、比较大小 例3 设A （－2，y 1），B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2 ＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( ) (A)y 1>y 2>y 3 (B)y 1>y 3>y 2

(C)y 3>y 2> y 1(D)y 2>y 1>y 3 解方法1 把A 、B 、C 三点的坐标分别代人 y ＝－(x ＋1)2 ＋m ，得y 1＝－1＋m ，y 2 ＝－4＋m ，y 3＝－9＋m ，所以y 1>y 2>y 3． 方法 2 ∵函数的解析式是y ＝－(x ＋1)2 ＋a ，如图1，∴对称轴是x ＝－1，∴点A 关 于对称轴的点A'是(0，y 1)，那么点A'、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边'随x 的增 大而减小，于是 y 1>y 2>y 3，故选A ． 点评 代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的 时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小． 四、求与x 轴交点坐标例4 如图2，二次函数 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1，图象 经过(3，0)，下列结论中，正确的是 ( ) (A)abc < 0 (B)2a ＋b < 0 (C)a －b ＋c < 0 (D)4ac －b 2 < 0 解(A)根据图2知，抛物线开口方向向上，则a>0．抛物线的对称轴x ＝－ 2b a ＝1>0， 则b<0．抛物线与y 轴交于负半轴，则 c<0，所以abc>0．故本选项错误． (B)∵x ＝－ 2b a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0．故本选项错误．

五年级奥数.几何.割补法(A级).学生版

彩虹的传说 一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。 圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。它们每天在一起玩儿得很开心。有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？” 月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！” 圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。突然，三角大声地召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。有一天，终于来到了智慧门前。这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。不同的是，这道门很矮小，也很窄。几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。 圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。 三角总是最有主意，行动最快的一个。它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。方块的为人正像它的体形，正直稳重。它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。五角形的体形比较大，只见它用小于自己身体比重的双脚，蹒跚地走到门前。它的两只手和头部都卡在了门外。圆、六边形和心形都为它捏了把汗。 这时，只见五角星谦卑地把头低下，双手合十，顺利地进入门内。该轮到六边形了，六边形是几个小伙伴 课前预习 圆与扇形———割补法

力法求解超静定结构的步骤：

第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：

利用割补法巧解几何题

利用割补法巧解几何题 割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题 中。下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性： 一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形 例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， ∠A=135°，AD=2，BC=6 H 求四边形ABCD面积 解：由题意知：∵∠C=45°，利用∠B=90° D ∠C=45°，延长BA、CD交于H，将 图形割补成特殊△HBC（等腰Rt三角形） A 易求：HD=AD=2 HB=BC=6 ， ∴S四边形 ABCD=1/2·6·6—1/2·2·2=16 B C 例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H =30°，∠ABC=60°，四边形ABCD 面积为5√３， D 求AD长 C 解：由题意知：∠A=30°，∠B=60°利用 已知延长AD、BC交于H，将图形割 补成特殊三角形。 B ∵∠A=30°，AB=8 ∴BH=4，AH=4√３，CH=3 A ∴S△ABH=8√３，S△HDC=3√３=1/2HC·DH ∴DH=2√３AD=2√３ D 思考题： 1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90° 求四边形ABCD面积 A B

2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D ∠BCD=120°，AB=2√６， BC=5√３，CD=6 求AD长 A C B 二．利用角平分线与垂直割补全等 例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于 E 求证：BD=2CE 解：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE， A ∴延长BA、CE交于F，将图形割补成 E 轴对称图形△BCF 即：△FBE≌△CBE， D 易证：△ABD≌△ACF ∴BD=CF=2CE B C 思考题： 1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC， BD⊥AD，AD交于BC于O C D 求证：OA=OD O A B 2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A ∠B的平分线与AD垂直 求证：AC=2BD D B C

对称性的利用

对称性的利用 一、目的 取半结构，降低超静定次数 二、取半结构的方法 （一）、多余未知力的自然分组 多余未知力选为对称力（正对称或反对称）就可以把对称未知力分为两个方程组。其中，正对称未知力一组，反对称未知力一组，方程组得到降阶。 三次超静定结构 选对称未知力 X 1=1 X 2=1 X 3 1M 图 2M 图 3M 图 观察1M 图、2M 图、3M 图，由图乘法知，02112==δδ ， 03223==δδ ，03113≠=δδ ，由力法方程 ?????=?+++=?+++=?+++00033332321 3123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 可见，方程组已分化为两个，X 2（反对称未知力）可直接解出，X 1 ，X 3（两个正对称未知力）可联立解出。方程组已被降阶。

（二）、对称荷载作用下结构内力 1．正对称荷载 对称结构在正对称荷载作用下的内力也是正对称的。按上例的情况，01≠?P ，02=?P ，03≠?P 。则由力法方程：X 2=0 ，X 1≠0，X 3≠0 。即，在对称截面上，有轴向和弯矩两个约束力，剪切方向约束力为零。如果约束力用支座约束代替，可把原结构等效为下列结构。 正对称荷载 2．反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下的内力也是反对称的。按上例的情况，01=?P ，02≠?P ，03=?P 。 则由力法方程：X 2≠0 ，X 1=0，X 3=0 。即，在对称截面上，轴向和弯矩两个约束力都是零，剪切方向约束力不为零。如果约束力用支座约束代替，可把原结构等效为下列结构。 反对称荷载 1．正对称荷载作用下，只须计算正对称未知力，反对称未知力为零。 2．反对称荷载作用下，只须计算反对称未知力，正对称未知力为零。 3．取半结构时，以支座约束等效非零未知力。（约束要符合约束力）

高考数学复习点拨 “割补法”求解不规则几何体体积

“割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类． 一、来自三棱柱的截体 例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱 AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成 的两部分几何体的体积相等． 分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体， 因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？ 如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割． 证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等． 当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证． 二、来自正方体的截体 例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂 直，平面ABC ∥平面DE F G ，平面BEF ∥平面A DGC ， 2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就 把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -． 于是所求几何体的体积为： DEH BEF V S AD S DE =?+?△△11212212422????=???+???= ? ????? ． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然 所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242 V =?=． 三、来自圆柱的截体

2017国家公务员行测技巧：割补平移法巧解几何问题

2017国家公务员行测技巧：割补平移法巧解几何问题 通过最新贵州公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。贵州中公教育整理了贵州省考资料大全供考生备考学习。 需要更多指导，请选择在线咨询一对一解答。 几何问题中经常会遇到求长度、面积、体积的题目，如果图形规则，可以直接套用公式，但若图形不规则，或者虽然规则但是不能直接套用公式的话，此时需要用到割补平移的方式将图形转换成我们知道的形式，进而求解题目。中公教育专家在这里通过例题讲解帮助考试发散思维，培养利用割补平移思考问题解决问题的能力。 【例题1】: 如右图所示，△ABC中DE∥BC，且BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。已知AB=25.4cm，BC=24.5cm，AC=20cm。问△ADE的周长是多少? A.45.4cm B.45.1cm C.44.8cm D.44.5cm 【参考答案】：A。 【中公解析】：平移法。已知DE与BC平行，所以∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB。又因为BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，所以∠DBO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC。因此，△DBO与△EOC均为等腰三角形，BD=DO，OE=EC，△ADE的周长就等于 AD+DE+AE=AD+DO+AE+EO=AD+DB+AE+EC=AB+AC=25.4+20=45.4cm。 【小结】：此题要求规则图形的周长，但是没法套用公式直接求解，利用角平分线等性质将所求的线段长度进行替换，转化为已知线段的长度进而求解。 【例题2】: 在下图中，大圆的半径是8，求阴影部分的面积是多少?

高中物理中对称性模型

对称性模型 由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中，应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中为对称法，利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快捷简便地解决问题。 对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。 在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等). 现将对称模型分为空间对称模型和时间对称模型 1、空间对称模型 例1：如图1所示：在离地高度是h，离竖直光滑的墙是 s处，有一个弹性小 1 v正对着墙水平抛出，与墙发生弹性碰撞后落到地面上，求小球落地球以初速度 点与墙的距离。 【解析】：小球与墙的碰撞是弹性碰撞，碰撞前后 的动量对于墙面的的法线是对称的。如墙的另一面同一高 度有一个弹性小球以相同的速度与墙碰撞，由于对称性， 它的轨迹与小球的实际轨迹是对称的。因此碰前的轨迹与碰