2011年高考数学一轮复习 10.8线面角与线线角
线面角与线线角
例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1
＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；
（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E
点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
答案：（I ）连结DF ，DC ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC
∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD ⊥平面BB 1C 1C ∴DF 为EF 在平面BB 1C 1C 上的射影，
在△DFC 1中，∵DF 2＝BF 2＋BD 2＝5a 2，21DC ＝21CC ＋DC 2＝10a 2，
2
1FC ＝B 1F 2＋211C B ＝5a 2， ∴21DC ＝DF 2＋21FC ，∴DF ⊥FC 1 FC 1⊥EF
（II ）∵AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠DFE 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角 在△EDF 中，若∠EFD ＝60°，则ED ＝DFtg60°＝3·a 5＝a 15， ∴a 15＞a 3，∴E 在DA 的延长线上，而不在线段AD 上 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC
=2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;
(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; 答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB ⊥底面ABCD, 且侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, 在矩形ABCD 中, BC ⊥AB ，.∴BC ⊥侧面PAB.
(Ⅱ)证: 在矩形ABCD 中, AD ∥BC, BC ⊥侧面PAB, ∴AD ⊥侧面PAB. 又AD 平面PAD, ∴侧面PAD ⊥侧面PAB.
(Ⅲ)解: 在侧面PAB 内, 过点P 做PE ⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, PE ⊥AB, ∴PE ⊥底面ABCD. 于是EC 为PC 在底面ABCD 内的射影. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt △PEC 中, ∠PCE=45°.
例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。如图
A B
C
D P
A B C H S M ,3:4:,6
5
cos ==
∠PB PA ABC 求直线PB 和平面PAC 所成角的大小. 答案：
3030,2
1
525sin ,,,902
5cos 3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角
和面是面面又即的直径是则设PAC PB BPC x x
BPC BPC Rt PAC PB BPC PAC
BC BC PA ABC PA AC BC ACB O AB x ABC x BC x PB x AB x PA =∠∴==∠?∠∴⊥∴⊥∴⊥⊥=∠∴Θ=∠====
3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是
（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
答案：C 。解析：连AC 、BD 交于O ，连OE ，则OE//SC.
?=∠∴=?
?-
+
=∠∴===60,2
12
22223
212cos ,22,23,222BEO BEO OE OB BE 4．异面直线a , b 所成的角为?60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为?60，这样的直线L 有 条。
答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。
5．已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形内一点，且 ∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。
答案：600 。解析：以PD 为对角线构造长方体
6．正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相 等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：面AD 1C 。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD 1C ， 7．如图，四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M
为AB 的中点，求：
（1）BC 与平面SAB 所成的角；
（2）SC 与平面ABC 所成角的正弦值。
解析：（1）∵SC ⊥SB ，SC ⊥SA ，∴SC ⊥平面SAB 。 于是SB 就是直线BC 与平面SAB 所成的角，为60°。 （2）联结SM ，CM ，∵在Rt △SAB 中，∠SBA=45°，∴SM ⊥AB ，∴AB ⊥平面SCM 。 作SH ⊥CM 于H ，则AB ⊥SH ，故SH ⊥平面ABC ，所以∠SCH 为SC 与平面ABC 所
成的角。
设SA=a ，则SB=a ，
，
。 在Rt △CSM
中，CM =
sin sin a
SM SCH SCM CM ∠=∠===。
即SC 与平面ABC
8．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长A B ＝2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ，
⑴求证：A 1C ⊥平面BDE ；
⑵求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值。
答案：⑴由三垂线定理可得，A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BE ?A 1C ⊥平面BDE
⑵以DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立坐标系，则1(2,0,4)A ，(0,2,0)C
(2,2,0)B ，∴1
(2,2,4)AC =--，1(0,2,4)A B =- ∴1
11
11
130
cos ,AC A B AC A B AC A B ?<>==
? 设A 1C
平面BDE ＝K ，由⑴可知，∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成角，
∴11130sin cos ,A BK A C A B ∠=<>=
9．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；
（Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.
答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC ≌△ABD ，BC=BD.
取CD 的中点M ，连AM 、BM ，则CD ⊥AM ，CD ⊥BM. ∴CD ⊥平面ABM ，于是AB ⊥BD. （Ⅱ）由CD ⊥平面ABM ，则平面ABM ⊥平面BCD ，这样∠ABM 是AB 与平面BCD 所成的角. 在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722=?-+=
∴AC AB AC AB BC . 在△ACD 中，
AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD 是正三角形，AM=
3. 在Rt △BCM 中，BC=7，CM=1，
6=∴BM ..3
62cos 2
22=?-+=∠∴BM AB AM BM AB ABM
10．已知等腰?ABC 中，AC = BC = 2，∠ACB = 120?，?ABC 所在平面外的一点P 到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC 与平面ABC 所成的角。
答案：设点P 在底面上的射影为O ，连OB 、OC ，则OC 是PC 在平面ABC 内的射影， ∴∠PCO 是PC 与面ABC 所成的角。∵ P A = PB = PC ， ∴点P 在底面的射影是?ABC 的外心， 注意到?ABC 为钝角三角形，∴点O 在?ABC 的外部， ∵AC = BC ，O 是?ABC 的外心，∴OC ⊥AB
在?OBC 中，OC = OB ， ∠OCB = 60?，∴?OBC 为等边三角形，∴OC = 2
在Rt ?POC 中，cos ∠=
=PCO OC PC 1
2
∴∠PCO = 60? 。
6．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=8，AA 1=4，M 为B 1C 1上一点，且B 1M=2，点N 在线段A 1D 上，A 1D ⊥AN ，求：
(1) 1cos ,A D AM <>；
(2) 直线AD 与平面ANM 所成的角的正切； (3) 平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值.
解析：(1) 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴. 则D(0,8,0)，A 1 (0，0，4)，M(5,2,4) 4,8,0(1-=∴D A ) )4,2,5(=AM
∵01=?AM D A ∴0,cos 1>=∠AM D A
(2) 由(1)知A 1D ⊥AM ，又由已知A 1D ⊥AN ，⊥∴D A 1平面AMN ，垂足为N.
因此AD 与平面ANM 所成的角即是.DAN ∠
y
∴1tan tan 2DAN AA D ∠=∠=
(3) ∵⊥1AA 平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ，
∴11NA AA 和分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。 设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则
。
8. 如图，正方形ACC 1A 1与等腰直角△ACB 互相垂直，∠ACB=90°，E 、F 分别是
AB 、BC 的中点， G 是AA 1上的点.
（1）若1AC ⊥，试确定点G 的位置；
（2）在满足条件（1）的情况下，试求cos ＜，＞的值.
解析：（1）以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，1CC 为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。
令(0,1,0)A ，则111(1,0,0),(,,0),(0,0,1)22
B E
C 设(0,1,)G a ，则111(0,1,1),(,,22
AC EG =-=-由1AC EG ⊥得1
2
a =，∴G 为AA 1的中点。
（2）11(,1,(0,1,0)22GF AC =--=-，cos ,AC GF ∴<>==
5．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____。
答案：
5
2
。解析：CD 为斜边上的高， 设5242,22=+=
=AB x BD
55
25
25
222=
=
=
x 585
55252=-=AD CD AD CD BD AB CD ⊥⊥∴⊥,,
ADB ∠ 为二面角的平面角，2
π
=
∠∴ADB
22)558()552(
+=∴AB 5
85
22532020=
+= 5
2422)8552
(
42cos 2
22=??-+=
∠∴ACB
6．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，12PD CD AD AB ===，
∠AD C ＝120o，
⑴求证：求异面直线AD ，PB 的所成角；
⑵若AB 的中点为E ，求二面角D －PC －E 的大小。
答案：⑴连BD ，∵∠ADC ＝120o，AB ∥CD ，∴∠DAB ＝60o，又12
A D A
B =，
∴B D B = ∴AD ⊥BD ，又∵PD ⊥面ABCD ，∴PD ⊥AD ，∴AD ⊥平面PDB ，∴AD ⊥PB ， 即异面直线AD 、PB 的所成角为90°。
⑵连DE ，由已知可得△DEC 为正三角形，取DC 的中点F ，连EF ，则EF ⊥CD ， ∵PD ⊥面ABCD ，∴EF ⊥PD ，∴EF ⊥面PCD ，过F 作FG ⊥PC ，连EG ， 则∠EGF 为二面角D －PC －E 的平面角
设CD ＝a
，则EF =，在△PDC
中，PC =
，则12CP PD
FG PC ?==
∴tan EF EGF FG
∠==
∴EGF ∠=
7． 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=2a ，BC=CA=AA 1=a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上.
（Ⅰ）求AB 与侧面AC 1所成的角；
（Ⅱ）若O 恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.
答案：(Ⅰ)在△ABC 中，AB=a 2，BC=AC=a ,∴△ABC 是等腰直角三角形，BC ⊥AC
，
∠CAB=45°,又BC ⊥A 1O ，故BC ⊥侧面AC 1，AB 与侧面AC 1所成角就是∠BAC=45°.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形B 1BCC 1为矩形，AC O AC O A a S BCC B 为,.121
1⊥=∴ 中点，
AB OE a O A AC S a O A ACC A ⊥=?==
∴作.2
3,232
1111于E ，连结A 1E ，则AB ⊥A 1E. 在Rt △AOE
中，a AO OE 4222=?=，在Rt △A 1EO 中，.4
14
2211a OE O A E A =+= 22
1)723(.2
711a S a E A AB S A ABB ++=∴=?=∴侧.
8．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝
2
1
时，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； (Ⅱ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？ 答案：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥
PA PAB ?又平面， OD PAB ∴ 平面∥ AB BC OA OC ⊥= ，，
OA OB OC ∴== ，
OP ABC ⊥又 平面，.PA PB PC ∴==
E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面，O
F PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面
ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.
又OD PA ∥， ∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，
sin OF Rt ODF ODF OD ?∠=
=在中， (Ⅱ)由(Ⅰ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影 ∵D 是PC 的中点，
若点F 是PBC ?的重心，则B ，F ，D 三点共线，∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，
,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=，即k =
反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ?的重心
高中数学 空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
D B A C α 空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角， 则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
线线角、线面角、二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：? ? ≤≤900θ。 _1 _A
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中 点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 B M H S C A
3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A
线线角,线面角,二面角的一些题目
B 1 D 1 A D C 1 B C A 1线线角与线面角习题 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο 和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).6 2 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并 要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. A C B D B P C D A C B F E
线线角和线面角
线线角和线面角 [重点]：确定点、斜线在平面内的射影。 [知识要点]： 一、线线角 1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角. 2、范围:(0,] 3. 向量知识： 对异面直线AB和CD (1)； (2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB 和CD的夹角； (3) 二、线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角； 直线垂直平面它们所成角为， 3、范围: [0,]。 4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 6、向量知识 （法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角. [例题分析与解答] 例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 解：∵，， ∴ ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. 点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示. 例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.
线面角的计算方法
教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角，二面角的计算方法（文科） 本次学生 课时计划 第（10）课时 共（60）课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题 二．回顾上次课辅导内容 三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 典型例题： 线面夹角的计算 例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明： AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． (1)证明：BD ⊥平面APC ； ( 43 3 ) (2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
§52 线线角与线面角(教案)
B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 §线线角与线面角(教案) 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维” 的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=3，AD、BC所成的角 为. 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D所成角的余弦值为( ) (A). 4 6 (B). 3 6 (C). 6 2 (D). 6 3 3.平面α与直线a所成的角为 3 π ,则直线a与平面α内所有直线所成的角的取值范围是． 4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为 ( ) (A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系. 2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过 程,还要有合理的步骤. A C B D B P C D A C B F E
线线角与线面角
线线角与线面角 线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角 异面直线所成角,直线与平面所成角 知识整合: 1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证 热点题型1 例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中， 13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的 中点 (Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面; (Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般 选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处. 解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1； （III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角， 在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21 AB=2 5， CE=2 1 CB 1=22， ∴ 8cos 5 5 22 CED ∠= = ?， 1 A 1 A
高考数学线线角与线面角复习
第5课时线线角与线面角 ?要点·疑点·考点 ?课前热身 ?能力·思维·方法 ?延伸·拓展 ?误解分析
要点·疑点·考点 1.线线角 (2)范围：?? ? ??20π，(1)定义：设a 、b 是异面直线，过空间任一点O 引，则所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a 、b 所成的角. b a ''，a 'b b a ////'，
2.线面角 (3)范围：?? ????20π，(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角 (2)若直线l ⊥平面α，则l 与α所成角为直角 若直线l ∥平面α，或直线l 平面α，则l 与α所成角为0° ?
(4)射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短 (5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小 的角. 返回
2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为( )(A) (B) (C) (D) 332336261. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )(A)30°(B)60°(C)90°(D)150° 课前热身 C C
3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线 AD与BF所 成角的余弦值是___________. 4 2
线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)
1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G 线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是 1122330a b a b a b a b ⊥?++= ⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a ·b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： ·=|||| cos θ （2）模长公式：则2 12||a a a a a =?=++2 ||b b b b =?=+ （3）夹角公式：2 cos ||||a b a b a b a ??==?+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2 ||(AB AB ==,A B d = ①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα?? ∈ ??? 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>= 例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、 AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5 15arccos B ． 4 π C ．510 arccos D ．2 π （向量法，传统法）
P B C A 例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1）向量法 （2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中 ，即 tan PD DBA DB ∠= =． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P - ②直线a 与平面α所成的角0,2πθ?? ∈ ??? (重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量→ a 与平面α的法向量→ n 的夹角ω表示，由向量平移得：若 ππ（图）；若ππ 平面α的法向量→ n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z = (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a < (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。 图1－ 图1－ 图1－ 1 D 1 B 1 C P D B C A
线线角_线面角_二面角的讲义
B 1D 1A D C 1 B C A 1 线线角与线面角 一、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π ,则直线a 与平面α所有直线所成的角的取值围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与 BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 二、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平A C B D B P C D A C B
面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在 此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作 平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直 的性质找平面的垂线.②点的射影在面的特殊位置. 例 3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中 点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否 使EF 与平面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面的射影，即确定过斜线上A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B A B 1D C 1E F
空间中线线角线面角面面角成法原理和求法思路
D B A C α 空间中的夹角 屏南一中 家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的围是]2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直 线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）
2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ① (PO NO MO PN PM α⊥? ?=?? 斜线长相等推射影长相等） ＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ? ? ?????∠∠??? ＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。 ③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α
线线角与线面角
线线角和线面角 ［重点］:确定点、斜线在平面内的射影。 ［知识要点］: 一、线线角 1、定义：设a 、b 是异面直线，过空间一点 O 引a ' 〃a,b '则/域；b 所成的锐角（或直角）， 叫 做异面直线a 、b 所成的角. 3. 向量知识： 对异面直线AB 和CD ⑵ 向量二_和匚匸 的夹角＜_」，「「「： ＞（或者说其补角）等于异面直线 AB 和CD 的夹角; （3）..”厂，二：二「二 ■-- 二、线面角 1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围 是(0, _ ). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角; 直线垂直平面它们所成角为 - 3、范围:［0,二］ 4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: （1） 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2） 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； 2、范围 7T 一
（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成 的一切角中最小的角。 6、向量知识 （法向量法） ■* -f * 与平面的斜线共线的向量 显和这个平面的一个法向量 J 的夹角V 」，一1 >（或 者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角 ［例题分析与解答］ 例1 ?如图所示，在棱长为 a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线 BA 1与AC 所成 的角. ■- - -11! ■',再根据异面直线 BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角 解：???】，—-匸二 ， -!<■'.：― 二.'：： =B T AB+BA BC+BB[ AB+BB[ BC ?/ AB 丄 BC ，BB 1 丄 AB ，BB 1± BC ， ...「 i,T-； I, BB] BSC BA AB = -a\ ...二小 cos < BApAC >= — ---------- =-— ...-_三〔13二- 所以异面直线 BA i 与AC 所成的角为60°. 点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积, 必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 例2.如图⑴，ABCD 是一直角梯形， AD 丄AB ，AD//BC ，AB=BC=a, AD=2a,且PA 丄平面 ABCD ，PD 与平面 ABCD 成30。角. 分析: 利用〔［厂「J _ \ J - 的夹角
空间中线线角线面角面面角成法原理与求法思路
D B A C 空间中的夹角 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2,0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直， 则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定 出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为
BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到 角的两边距离相等，那么这一点在平面 上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说 明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ① O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠??? ＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。 ③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路
D B A C α 空间中的夹角 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2,0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因 为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离 相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线 上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ① (PO NO MO PN PM α⊥??=?? 斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠??? ＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平 分线上。 ③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线 上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内 PAN PAM ∠∠＝（斜线AP 与BAC ∠的两边 AB AC ，所成角相等）
空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路教学资料
空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求 法思路
D B A C α 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是2 ,0(π。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是2 ,0[π。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不 用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的 角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠）
） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两 边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这 个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到 角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点 O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ① (PO NO MO PN PM α⊥??=?? 斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ???????∠∠??? ＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。 ③如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
2020年高考文科数学《线面角》
1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面 平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由， 故，又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故. 又已知，，所以平面. （Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点，所以 又， 故在中，. 所以，直线与平面 2.如图，已知三棱柱，平面平面,， 分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：； （2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ?PAD PD ?PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC PCD PC =DN ⊥PAC PA ?PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3 DN DAN AD ∠= =AD PAC 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=?11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==EF BC ⊥
2.（I ）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥A C. 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E 平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC . 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF . 因此EF ⊥B C. （Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故AE 1⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（I ）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上. 连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）. 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG 由于O 为A 1G 的中点，故， ?12A G EO OG == =
线面角的几种求法
线面角的三种求法 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5
线线角、线面角的向量求法
1 线线角、线面角的向量求法 A ．直线与直线所成的角向量求法 知识点 设直线l ，m 的夹角为(0)2 π θθ≤≤，方向向量分别为u 、v ，则cos θ= |||||| ?a b a b ． 注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量 夹角的补角． 例1 （P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点． （1）求证：EF CF ⊥； （2）求EF 与CG 所成角的余弦值． 解：如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D xyz -． 则(0,1,0)C ，因为E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点， 所以1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1 (1,1,)2 G ． （1）依题意111(,,)222 EF =-，1 1(,,0)2 2 CF =-， 因为111 11 0022222EF CF ???? ?=?+?-+-?= ? ????? ，所以EF CF ⊥，即EF CF ⊥． （2）依题意1(1,0,)2CG = ，因为1111102cos ,||||1 EF CG EF CG EF CG ???+?+ -? ????= =， 所以EF 与CG ． 例2 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB ，求异面直线1AB 与1C B 所成角的大小． 解法一（向量法）：因为11AB AB BB =+，1111C B C B B B =+，又1A B B B ⊥，111C B BB ⊥，11,60AB C B ??=?，11||||AB B C =，所以 22 22111111 1 1 1||c o s 60| || || |0A B C B A B C B B B B B A B B B B B B B ? =?+? =?-=- =． 所以11AB C B ⊥，即 1AB 与1C B 所成角为90?解法二（坐标法）：取11 AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 以1 2 AB 为长度单位，则由1AB ，可知(0,A -，B ，1(0,1,0)B ，1C ． 所以1(0,2,AB =，1(C B =，所以1 1220AB C B ?=-=．即1AB 与1C B 所成的角为90? 自主体验 1．教材P111A 组第1题 结果：（1）60?．（2）45?． A 1A 1D 1C 1B C B D F G E