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ADF检验中滞后长度的选择

ADF检验中滞后长度的选择1

——基于ARIMA(0,1,q)过程的模拟证据

邓露2

（南开大学经济学院国际经济研究所）

【摘要】在进行ADF检验时如何确定一个最优的滞后长度一直是研究者们关注的问题。最近的研究表明，不同的滞后长度选择方法对ADF检验的统计推断影响很大。本文在已有研究的基础上，模拟了更为一般的ARIMA(0,1,q)过程，分析了在不同的数据生成过程、检验式以及样本容量下，各种滞后长度选择方法对ADF检验功效和实际检验水平的影响，最后认为修正的信息准则通常具有较合理的实际检验水平，而从一般到特殊法具有更为稳健的ADF检验性质。

关键词ADF检验滞后长度信息准则修正的信息准则从一般到特殊法

中图分类号 F224.0 文献标识码 A

The Lag Length Selection in Augmented Dickey-Fuller test: Simulation Evidence from an ARIMA(0,1,q) Process

Abstract:The optimal lag length in estimating Augmented Dickey-Fuller statistics have been concentrated on for years. Previous research indicated that different leg length selection models affect a lot on the statistical inference of ADF test. Based on all the researches available, this paper simulates a more general ARIMA(0,1,q) process and analyzes the influence of lag length selection criterions to the size and power of the ADF test with different data generating processes, ADF regressions, and sample sizes. Finally, it is proved that the Modified Information Criteria always shows a more proper size and the General to Special Criteria has more robust properties in ADF test.

Keywords: ADF test Lag Length Information Criteria Modified Information Criteria General to Specific

一、引言

随着时间序列非平稳问题的提出，单位根检验目前已经成为宏观数据建模前首先要进行的工作。为此，Dickey和Fuller(1979, 1981)3提出了著名的ADF检验，并推导了当时间序列y t是ARIMA(p,1,0)过程且满足检验式中滞后差分项长度k ≥p时ADF检验统计量的极限分布。然而，在实际运用ADF 检验时，真实的p是不知道的，因此需要研究者自己确定k。总的来说滞后长度的选择方法主要分为两类。一类是经验法(rule of thumb)。这种方法是研究者任意选择k，或将k表示为样本容量的函数。另外一类就是根据数据来选择k。这种方法主要有Akaike(1973)信息准则(Akaike Information Criteria，以下简写为AIC)、Schwarz(1978)信息准则(Schwarz Information Criteria，以下简写为SIC)、Hannan和Quinn(1979)信息准则(Hannan and Quinn Information Criteria，以下简写为HQIC)、从一般

1本文获得国家自然科学基金资助，编号：70571039。感谢南开大学国际经济研究所栾惠德博士对论文的帮助。

2邓露女1981年11月生南开大学经济学院数量经济学专业在读博士

3 参见Dickey, D. A., and W. Fuller, 1979, Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series With a Unit Roots.[J] Journal of the American Statistical Association, 74, 427-431.以及Dickey, D. A., and W. Fuller, 1981, Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series With a Unit Root.[J] Econometrica, 49, 1057-1072.

到特殊法则(General to Special Criteria，以下简写为GSC)、从特殊到一般法则(Special to General Criteria，以下简写为SGC)等。此外，在后来的研究中，Weber(1998)又提出了非自相关法则(No Autocorrelation Criteria)，即从一个比较简化的模型开始，逐渐增加滞后差分项直到残差不能拒绝非自相关的原假设。2001年他又提出了一种考虑滞后长度k在特定区间[k min, k max]内的从特殊到一般法，该方法运用了一系列F检验，确定的最优滞后长度是使得比其大的直到k max的所有滞后差分项对应参数的联合检验均不显著的最小的k。

然而很多学者都指出，ADF检验的结论对滞后长度k的选择非常敏感。Phillips和Perron(1988)模拟发现当真实数据生成过程为随机游走时，随着检验式中差分项滞后长度的增加，会导致ADF检验的功效和水平都降低。另外，Schwert(1989)、Agiakloglou和Newbold(1992)以及Harris(1992)等也指出不同的滞后长度选择方法对ADF检验的实际水平和功效有明显影响。这就引发了关于不同方法确定滞后长度是否以及如何影响ADF统计量极限分布的讨论。

其实早在ADF检验提出不久，Said和Dickey(1984)就证明了对阶数未知的ARMA过程检验单位根时，只要检验式中的滞后长度k满足一定的上界条件和下界条件，仍可以用ADF统计量来检验原过程中单位根的存在。紧接着，Lewis和Reinsel(1985)提出了一个与Said和Dickey(1984)下界条件等价的条件，并证明当满足该下界条件和Said和Dickey(1984)上界条件时检验式中滞后差分项的参数估计量具有一致性和渐近正态性。Hannan和Deistler(1988)1则提出了各信息准则确定一个平稳可逆的ARMA过程滞后长度的若干性质。

随后，Ng和Perron(1995)明确解答了哪些滞后长度选择方法满足这些上界与下界条件，以及运用它们确定滞后长度如何影响ADF检验统计量极限分布的问题。首先，该文讨论了检验式中滞后长

t极限分布的度k不满足Said和Dickey(1984)或Lewis和Reinsel(1985)下界条件对ADF检验统计量

t仍渐近服从标准DF分布，同时滞后差分项的参数估计量仍具有一致性，但影响。他们认为这时

其向真值收敛的速度要小于T(T为样本容量，下同)。接着，Ng和Perron(1995)将滞后长度的选择准则与上述极限分布条件相比较，证明了在ADF检验中，利用各信息准则确定的滞后长度时不满足t仍服从标准DF分布。而当运用GSC时，如果我们确定的滞后长度最大值满下界条件，但统计量

足上界条件和Lewis和Reinsel(1985)下界条件，则滞后差分项的参数估计量具有一致性和渐近正态性，可以用t统计量、F统计量和Wald统计量检验其显著性。最后通过模拟重点讨论了当数据生成过程为ARIMA(0,1,1)时各方法确定的滞后长度以及对ADF检验功效和实际检验水平的影响。

类似地，Hall(1994)还从一个纯自相关过程入手，给出了当真实数据生成过程是一个ARIMA(p,1,0) t服从DF分布应满足的假设条件。并讨论了不同滞后长度选择准则对ADF统过程时，ADF统计量

计量极限分布的影响。他认为当运用AIC、SIC、HQIC以及GSC确定滞后长度时，满足上述条件，因此ADF统计量仍服从标准DF分布，而运用SGC时不能满足上述条件，从而ADF统计量的极限分布发生变化，不再服从标准DF分布。最后对于不同的ARIMA(p,1,0)过程，模拟了基于各种准则的ADF检验功效与实际检验水平。

此外，随着研究的不断深入，学者们又从一些新的角度对滞后长度选择的问题进行了探讨。比如Ng和Perron(2001)将Elliott、Rothenberg、和Stock(1996)2以及Dufour和King(1991)3提出的局部GLS退势法与Perron和Ng(1996)4提出的修正的单位根检验统计量相结合，提出了一系列M GLS统计量来检验单位根。在这种检验中，他们首度运用了一系列修正的信息准则(Modified Information

1 参见Hannan, E. J., and M. Deistler, 1988, The Statistical Theory of Linear Systems.[J] New York: John Wiley.

2 参见Elliott, G., T. J. Rothenberg, and J. H. Stock, 1996, Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root.[J] Econometrica, 64, 813-836.

3 Dufour, J. M., and M. King, 1991, Optimal Invariant Tests for the Autocorrelation Coefficient in Linear Regressions with Stationary and Non-stationary Errors.[J] Journal of Econometrics, 47, 115-143.

4 Perron, P., and S., Ng, 1996, Useful Modifications to Unit Root Tests with Dependent Errors and their Local Asymptotic Properties.[J] Review of Economic Studies, 63, 435-465.

Criteria ，以下简写为MIC )来确定滞后长度，并给出了其局部渐近性质。MIC 与一般信息准则的本质区别就在于它考虑到检验式中一阶滞后项参数估计量的偏差与滞后长度是高度相关的，进而通过加入一个包含一阶滞后项参数估计量的修正项对信息准则拟和不足的问题进行了一定的校正。Ng 和Perron(2005)又重点探讨了在运用各种信息准则时，可用观测值个数(即调整的样本容量)、计算均方误差时的自由度、以及计算惩罚因子(penalty factor)时使用的观测值个数对滞后长度选择的影响。结果表明在有限样本下AIC 与SIC 选择的滞后长度对上述三个因素非常敏感。

综上所述，已有的研究主要集中在对ARIMA (p ,1,0)和ARIMA (0,1,1) 过程进行单位根检验时，各方法确定的滞后长度以及相应的单位根检验的功效与实际水平上。而对ARIMA (0,1,q )即含有单位根的高阶移动平均过程的研究则比较少。另外，也鲜见MIC 与其他方法比较的相关研究。针对这些问题，本文对Hall(1994)，Ng 和Perron(1995, 2001)的方法和结论进行扩展，在接下来的部分中用蒙特卡罗模拟的方法在有限样本下研究一个更一般的ARIMA (0,1,q )过程，对模拟结果中不同滞后期选择方法尤其是MIC 的优劣进行比较，以期找到一种能应用在更一般的数据生成过程中，并使ADF 检验推断更真实可靠的滞后长度选择方法。最后一部分是对全文的总结，并提出了一些滞后项选择及ADF 检验中需要注意的问题。

二、模拟结果

根据Hall(1994)，Ng 和Perron(1995, 2001)文章中的结论，运用信息准则和GSC 确定滞后长度时，ADF 统计量仍服从标准DF 分布。其中运用GSC 时滞后差分项以T 的速度收敛于真值，从而使ADF 检验有一个更优的有限样本性质。MIC 是对通常信息准则的修正。因此本文选取AIC 、SIC 、MAIC 、MSIC 以及GSC 五种方法来确定ADF 检验式中的滞后长度。重点考察小样本下当误差项为高阶移动平均过程时基于各准则的ADF 检验功效和实际检验水平的特征，以及MIC 与其他方法相比对ADF 检验统计推断的影响和滞后长度选择的异同。各方法确定滞后长度的原理如下：

首先，AIC 与SIC 具有相似的形式，选择的滞后长度k 满足使(1)式的值最小。其中AIC 准则中

C T =2，SIC 准则中C T =logT ，2

?k σ

表示估计方程的误差均方，它往往随着滞后长度的增加而下降。k '是ADF 检验式中的解释变量个数，它等于滞后差分项个数k 加上常数项以及时间趋势项，C k T '会随滞后长度的增加而变大，代表了对过度拟和的惩罚。因此选择k 使(1)最小意味着在较少参数和较小的残差平方和之间做出选择。

T C k I T k k '+=2?log σ

(1) 另外，Ng 和Perron(2001)提出了一系列的修正的信息准则即MIC 。其选择的滞后长度是使得目标方程(2)的值最小的k ，依据C T 的表达式不同MIC 又分别称为MAIC 与MSIC 。

T C k I T k k k )(?log 2'++=τσ

(2) 它与一般的信息准则的不同就是增加了一个修正因子k τ，其表达式为：

∑+=--=T

t t k k y 1

21212max ?)?(θστ (3)

其中θ?是ADF 检验式中一阶滞后项的参数估计量。Ng 和Perron(2001)证明k τ会随着ADF 检验式中滞后差分项个数k 的增加而减小，尤其当数据生成过程的移动平均部分含有负根时，这种减小更加明显，因此可以有效地校正一般信息准则拟和不足的问题。

GSC 则是在ADF 检验式中选取r =j+m 个滞后差分项，并通过对最后m 个参数i j +ζ?(i =1, …, m )的显著性进行联合检验来完成的，其中j ∈[0, j max ]。该检验的Wald 形式为：

211?/),()]([),(),(r r m j h m M m j h m j Q σ

--'= (4) 其中 )?,,?(),(1'=++m j j m j h ζζ (5)

∑+=-------???'??=

r t r t t t r t t t r

y y y y y y

1111

1),,,(),,,( (6)

它代表所有解释变量的方差协方差矩阵，)(1m M r -是1-r M 中右下方m ×m 阶的块矩阵。

∑+=--=2112?)(?t T r t r r T εσ代表该检验式回归函数的误差均方，其中t ε?代表回归式的残差。

检验规则为：j 从最大的取值j max 开始，依次降低其取值直到(4)式表示的统计量显著。该统计量服从自由度为m 的χ2分布。基于显著性水平α，滞后长度k 的取值为① k = j +1，当),(m j Q 是统计量所有值{}0,,1),,(m ax -=j j m j Q 中第一个大于临界值的值时。② k = 0，当统计量所有值{}0,,1),,(m ax -=j j m j Q 均小于临界值时。

为了考察误差项为高阶移动平均过程时ADF 检验中滞后长度的选择问题，我们对形如(7)式的数据生成过程共10种情况运用上述五种方法选择滞后长度继而进行ADF 检验。

∏=+=-4

)1()1(i t i t u L y L θβ (7)

其中L 是滞后因子，u t 是白噪声，y 0=0。

10种数据生成过程如下：①θ1=0.8, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ②θ1=0.5, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ③θ1=-0.5, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ④θ1=-0.8, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑤θ1=0.8, θ2=0.5, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑥θ1=0.5, θ2=0.3, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑦θ1=-0.5, θ2=0.3, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑧θ1=-0.8, θ2=0.5, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑨θ1=-0.8, θ2=-0.5, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑩θ1=0.5, θ2=0.3, θ3=0.2, θ4=0.1。这10种情况描述了误差项移动平均部分的根在个数、大小、正负等方面的不同情形。

ADF 检验的原假设H 0: ρ = 1；备择假设H 1: ρ < 1。ADF 检验式如下：

(a) ∑=--+?+=?k

j t j

t j t t y

y y 1

1???ε

ζρ

(b) ∑=--+?++=?k

j t j

t j t t y

y y 1

1???ε

ζαρ

为考察不同情形下ADF 检验的功效和实际检验水平，我们对每种数据生成过程分别取β=1、0.95、0.85，用Rats6.2模拟样本容量T =100时基于两种检验式(a)和(b)的上述检验过程以及T =250时基于检验式(a)的上述检验过程。对每种情况重复10000次，计算ADF 统计量小于临界值的概率，同时记录每次选择的滞后长度，最后计算滞后长度的均值和标准差。当真实数据生成过程是单位根过程即β = 1时，ADF 统计量小于临界值的概率就是犯弃真错误的概率，即实际检验水平。而当真实数据生成过程为平稳过程即β < 1时，ADF 统计量小于临界值的概率则是1-犯取伪错误的概率，即检验功效。这里运用GSC 确定滞后长度时取m =1，即计算单个参数的t 统计量，显著性水平取5%，各准则的最大滞后长度取k max = 201。

根据模拟结果，我们重点比较了各方法在滞后长度选择及其相应的ADF 检验功效和实际检验水平方面的异同，并考察了误差项为高阶移动平均时的各种数据生成过程、不同检验式以及样本容量对滞后长度选择及ADF 检验统计推断的影响，从而对Hall(1994)，Ng 和Perron(1995)的结论做了一定的补充。

1.不同准则的比较

滞后长度及其标准差方面(见表1、3、5)，总得来说，GSC 、AIC 与MAIC 选择的滞后长度通常

1 Said 和Dickey(1984)下界条件要求k max > logT ，本文中当T =100和250时，logT 为4.61和5.30，因此取k max =20能够满足下界条件。另外，为满足上界条件，我们限制k max ≤T /4，因此当T =100和250时，k max =20显然也能够满足上界条件。

要高于SIC与MSIC，前者往往倾向于过度拟和。具体来说，当DGP中移动平均部分的根为正时，AIC与MAIC、SIC与MSIC选择的平均滞后长度很接近。当移动平均部分含有负根时，修正的信息准则往往比相应的原准则选择更大的平均滞后长度，并且这一差距随着根更接近于-1或负根个数增加而更加明显，同时滞后长度的标准差也随之增加。

表1 滞后长度的均值和标准差检验式(a) T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4

AIC SIC MAIC MSIC GSC k?σ?k?σ?k?σ?k?σ?k?σ?

1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.54 3.06

2.79 1.18 5.29 2.94 2.75 1.23 8.14 5.38 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.99 2.72 1.46 0.71 2.81 2.44 1.48 0.82 6.61 6.18 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.85 2.68 1.34 0.75

3.01 2.55 1.77 1.08 6.71 6.30 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0

4.62 3.28 2.03 1.34 6.39 3.60 4.50 2.56 7.65

5.73 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.39 3.14 4.34 1.30 7.06 2.97 4.26 1.41 9.20 4.77 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.79 2.70 2.18 0.81 3.62 2.41 2.16 0.85 7.05 5.89 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 2.15 2.78 0.44 0.80 2.39 2.62 0.96 1.17

6.25 6.53 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 3.96 3.19 1.31 1.33 5.43 3.39 3.47 2.15

7.29 5.87 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 6.38 3.56 3.22 2.02

8.47 3.75 6.66 3.38 8.71 5.14 1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.21 3.63 1.63 1.32 4.91 3.43 1.82 1.44 8.30 5.44 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.57 3.14 2.77 1.17 5.33 3.17 2.76 1.37 8.09 5.36 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.87 2.57 1.44 0.73 3.06 2.75 1.51 1.08 6.59 6.20 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.55 2.61 1.08 0.76 3.94 3.20 2.68 1.69 6.29 6.31 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 2.80 3.11 0.75 1.06 8.54 4.54 7.17 3.82 6.74 6.29 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.31 3.09 4.32 1.32 7.11 3.23 4.22 1.62

9.10 4.80 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.74 2.55 2.18 0.85 3.78 2.83 2.24 0.96 7.08 5.95 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.76 2.58 0.27 0.67 3.24 3.13 1.92 1.57 6.11 6.66 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.72 3.03 0.57 1.01 6.96 4.56 5.22 3.39 6.56 6.21 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 3.22 3.69 0.56 1.27 11.11 4.96 10.38 4.77 7.56 5.93 0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.06 3.53 1.61 1.31 5.14 3.58 2.41 1.72 8.17 5.44 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.45 3.03 2.73 1.18 5.62 3.96 2.73 1.96 8.00 5.36 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.83 2.59 1.36 0.72 3.61 3.57 1.15 1.66 6.55 6.19 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.02 2.54 0.58 0.73 5.81 4.57 4.41 3.29 6.17 6.55 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.10 2.49 0.08 0.35 8.72 6.24 8.03 6.06 5.74 6.76 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.25 3.03 4.28 1.30 7.36 3.86 4.07 2.21 9.08 4.75 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.75 2.64 2.11 0.82 4.17 3.61 2.32 1.61 7.01 5.94 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.36 2.61 0.12 0.46 4.73 4.35 3.25 2.92 5.93 6.74 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.02 2.79 0.42 0.71 6.61 6.25 5.40 5.65 6.07 6.57 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 1.63 2.61 0.32 0.58 6.90 7.46 6.75 7.37 6.25 6.63 0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 4.98 3.52 1.54 1.27 5.56 4.04 2.84 2.22 8.14 5.44 注：表中所列k?和σ?分别代表模拟10000次时各准则确定的(1-βL)y t滞后长度的均值及其标准差。

对同一数据生成过程而言，基于各种信息准则的实际检验水平由小到大分别为：MAIC、MSIC、AIC、SIC。尤其是当DGP的移动平均部分含有较大负根时，AIC与SIC的检验尺度扭曲非常严重，在样本容量为100时甚至达到了50%以上(见表2)。而这时MAIC犯第一类错误的概率都能保持在

10%以下。此时基于GSC的检验尺度扭曲要小于一般的信息准则，但仍大于修正的信息准则，在其他情况下通常介于AIC与SIC之间。从检验功效来看，基于SIC的检验功效最高，在移动平均部分中含有较大负根时其检验功效非常接近于1。其次是基于AIC与GSC的检验功效，且前者的略高。基于修正的信息准则的检验功效最低，尤其是在样本容量为100时更加明显(见表2)。

表2 ADF检验的功效和实际检验水平检验式(a) T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AIC SIC MAIC MSIC GSC 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0566 0.0569 0.0239 0.0211 0.0596 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0611 0.0674 0.0313 0.0248 0.0629 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.1008 0.1580 0.0516 0.0676 0.0981 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.2436 0.4257 0.0605 0.0929 0.1856 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.0604 0.0531 0.0218 0.0175 0.0594 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.0586 0.0590 0.0275 0.0241 0.0604 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.1187 0.1863 0.0576 0.0815 0.1043 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.2558 0.4599 0.0885 0.1378 0.1899 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.1939 0.3480 0.0373 0.0407 0.1438 1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.0665 0.0859 0.0253 0.0391 0.0587 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.2668 0.2911 0.1367 0.1240 0.2593 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.3005 0.3619 0.1877 0.1448 0.2930 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.5000 0.6536 0.2728 0.3463 0.4383 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.7933 0.9547 0.3115 0.3824 0.6256 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.2454 0.2687 0.1097 0.0910 0.2485 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.2787 0.2861 0.1467 0.1453 0.2535 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.5321 0.7436 0.3024 0.4025 0.4388 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.7758 0.9536 0.3680 0.4797 0.6081 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.8408 0.9769 0.3570 0.3809 0.6770 0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.2791 0.3917 0.1399 0.1938 0.2445 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.6912 0.7664 0.4479 0.5570 0.5993 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.8031 0.8715 0.6137 0.6142 0.6787 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.9308 0.9875 0.6248 0.7227 0.7701 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9847 0.9998 0.5978 0.6308 0.8492 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.5836 0.6846 0.3394 0.4195 0.5292 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.7371 0.7730 0.5239 0.5962 0.6230 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.9333 0.9912 0.6485 0.7690 0.7563 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9767 0.9999 0.6594 0.7188 0.8403 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9889 1.0000 0.7004 0.7062 0.8886 0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.6566 0.8509 0.3887 0.4404 0.5444 注：表中所列数值为模拟10000次时按照各种准则得到的ADF统计量小于Fuller(1976, 表8.5.2, 第373页)5%显著性水平下临界值的概率。

2.不同DGP的影响

滞后长度方面，当数据生成过程(Data Generating Procedure, 以下简写为DGP)中移动平均部分根的绝对值向1趋近或根的个数增加时，各准则选择的滞后长度都会增加，标准差也相应增加。另

外，当数据生成过程的移动平均部分相同时，是否含有单位根对平均滞后长度的选择影响不大。同时，基于AIC、SIC与GSC得到的滞后长度标准差也很稳健，而基于MIC的滞后长度标准差随着数据生成过程逐渐平稳有增加的趋势(见表1、3、5)。

检验功效方面，当DGP的移动平均部分含有负根时，基于各准则的ADF检验功效通常会大于只含有正根的情况。大多数情况下，原过程移动平均部分中正根个数的增加会使检验功效降低，而负根个数的增加会使检验功效增加。当根的个数相同时，绝对值较大的正根会降低检验功效，而绝对值较大的负根反而会增加检验功效。这一点在样本容量为250时表现的更为明显(见表6)。

表3 滞后长度的均值和标准差检验式(b) T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4

AIC SIC MAIC MSIC GSC k?σ?k?σ?k?σ?k?σ?k?σ?

1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.69 3.30

2.81 1.20 5.04 4.06 2.63 2.59 8.37 5.48 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0

3.08 2.94 1.43 0.73 3.15 3.68 1.53 2.39 7.09 6.36 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.67 2.96 1.08 0.76

4.78 4.07 3.75 3.20 6.73 6.45 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 3.12 3.30 0.92 1.17 8.85 4.78 7.92 4.41 6.88 6.19 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.57 3.33 4.35 1.33 6.54 4.08 3.89 2.80 9.25 4.79 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.00 2.94 2.19 0.85 3.92 3.84 2.20 2.37 7.37

5.99 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.89 2.92 0.28 0.67 4.21 4.08 3.12 3.20

6.31 6.67 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.91 3.17 0.65 1.06

7.64 4.87 6.49 4.38 6.89 6.26 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 3.22 3.76 0.71 1.43 11.05 5.43 0.64 5.32 7.32 6.08 1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.30 3.76 1.59 1.32 4.86 4.30 2.44 2.78

8.57 5.49 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.69 3.27 2.78 1.91 4.90 3.58 2.52 2.08 8.31 5.38 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.05 2.90 1.39 0.71 2.98 3.23 1.22 1.72 6.82 6.32 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.30 2.74 0.85 0.73 4.44 3.70 3.55 2.74 6.52 6.54 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.94 2.91 0.38 0.79 8.20 4.95 7.25 4.49 6.34 6.57 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.49 3.27 4.31 1.33 6.48 3.60 3.86 2.42

9.22 4.77 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.91 2.78 2.16 0.88 3.64 3.20 2.14 1.82 7.21 5.94 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.58 2.82 0.18 0.56 3.82 3.75 2.81 2.71 6.17 6.79 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.20 2.75 0.43 0.83 6.44 4.95 5.31 4.33 6.27 6.46 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 2.14 3.30 0.25 0.72 9.50 6.06 9.16 5.93 6.94 6.28 0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.23 3.80 1.56 1.32 4.73 3.72 2.42 2.34 8.52 5.54 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.57 3.21 2.71 1.21 4.85 3.80 2.29 2.30 8.15 5.40 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.91 2.79 1.33 0.70 3.11 3.47 0.89 1.80 6.65 6.26 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 1.87 2.80 0.45 0.66 5.35 4.49 4.34 3.59 6.24 6.71 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.07 2.56 0.06 0.31 6.50 5.92 6.14 5.68 5.97 6.89 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.37 3.22 4.27 1.31 6.39 3.82 3.69 2.56 9.13 4.79 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.84 2.80 2.10 0.87 3.86 3.54 2.00 1.97 7.09 5.91 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.30 2.74 0.09 0.41 4.25 4.26 3.16 3.15 6.11 6.83 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.00 2.76 0.44 0.67 4.69 5.69 3.65 4.98 6.17 6.64 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 1.77 2.73 0.38 0.62 4.40 6.60 4.18 6.40 6.24 6.69 0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.09 3.72 1.52 1.28 4.82 3.90 2.23 2.42 8.35 5.46 注：表中所列k?和σ?分别代表模拟10000次时各准则确定的(1-βL)y t滞后长度的均值及其标准差。

表4 ADF检验的功效和实际检验水平检验式(b) T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AIC SIC MAIC MSIC GSC 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0683 0.0713 0.0215 0.0230 0.0732 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0717 0.0667 0.0208 0.0194 0.0811 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.1557 0.2455 0.0376 0.0478 0.1218 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.4732 0.7289 0.0860 0.0911 0.3232 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.0713 0.0721 0.0197 0.0238 0.0758 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.0655 0.0702 0.0225 0.0239 0.0744 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.1734 0.2349 0.0453 0.0531 0.1355 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.4325 0.7176 0.1078 0.1201 0.2823 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.6082 0.8692 0.1187 0.1162 0.3691 1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.0809 0.1010 0.0340 0.0346 0.0807 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.1451 0.1560 0.0180 0.0079 0.1550 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.1567 0.1886 0.0266 0.0067 0.1758 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.3566 0.5263 0.0936 0.1033 0.2971 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.7728 0.9476 0.2001 0.2215 0.5420 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.1279 0.1517 0.0146 0.0065 0.1453 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.1402 0.1530 0.0203 0.0102 0.1460 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.4159 0.5712 0.1123 0.1332 0.3281 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.7185 0.9253 0.2600 0.2989 0.7400 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.8172 0.9812 0.2599 0.2612 0.5068 0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.1633 0.2137 0.0290 0.0191 0.1404 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.3684 0.4516 0.1061 0.0663 0.3430 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.4848 0.5911 0.1435 0.0782 0.4354 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.7934 0.9352 0.3420 0.3933 0.6109 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9697 0.9993 0.5447 0.5616 0.7438 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.2965 0.3920 0.0589 0.0499 0.2995 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.4015 0.4425 0.1305 0.0563 0.3571 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.8176 0.9627 0.3786 0.4273 0.6134 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9454 0.9978 0.6149 0.6812 0.5055 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9761 0.9998 0.7112 0.7192 0.7704 0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.3714 0.5606 0.1180 0.0473 0.3048 注：表中所列数值为模拟10000次时按照各种准则得到的ADF统计量小于Fuller(1976, 表8.5.2, 第373页)5%显著性水平下临界值的概率。

3.不同检验式的影响

在滞后长度的选择方面(见表1与表3)，对于同一数据生成过程而言，SIC选择的滞后长度对不同检验式表现的非常稳健，而其他准则对应不同检验式选择的滞后长度往往不尽相同。用AIC选择滞后长度时，若移动平均部分的根为正，检验式(b)比检验式(a)更倾向于选择较大的平均滞后长度。而当移动平均部分的根为负时，情况恰好相反。对于MIC，当真实过程为单位根过程或非常接近单位根过程(β=0.95)时，检验式(b)确定的平均滞后长度通常都较大，而当β=0.85时，情况恰好相反。用GSC选择滞后长度时，大多数情况下基于检验式(b)选择的平均滞后长度较大。

在滞后长度的标准差方面，与用(a)检验时相比，检验式(b)中的标准差略大。其中当使用AIC、SIC与GSC时，二者很接近。当运用MIC时这种差距更加明显，但在β=0.85时减小。这也说明了AIC、SIC与GSC确定的滞后长度相对稳健。

在检验功效方面，运用AIC，SIC与GSC确定滞后长度时，随着检验式中确定性成分的加入(如加入常数项)，ADF检验的功效降低，检验尺度扭曲增加。而运用MIC确定滞后长度时，基于检验式(b)的检验功效降低更加明显，尤其是当真实数据生成过程很接近一个单位根过程(β=0.95)时，ADF 检验的功效甚至低于5%。但这时检验式(b)中犯弃真错误的概率也往往更小(见表2与表4)。

表5 滞后长度的均值和标准差T=250 检验式(a)

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4

AIC SIC MAIC MSIC GSC k?σ?k?σ?k?σ?k?σ?k?σ?

1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 7.47

2.88 4.11 1.66 7.42 2.89 4.11 1.20 10.13 5.05 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0

3.63 2.43 1.96 0.70 3.55 2.39 1.97 0.69 7.96 6.28 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 3.49 2.35 1.89 0.69 3.65 2.44 2.21 0.90 8.03 6.39 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 7.01 2.98 3.75 1.25 8.05 3.18 5.57 2.26 9.73 5.16 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 9.41 2.79 5.96 1.26 9.33 2.82 5.91 1.30 11.22

4.34 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.49 2.33 2.82 0.73 4.47 2.28 2.78 0.80 8.39

5.95 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 3.05 2.30 1.27 0.96 3.20 2.34 1.68 1.02 7.68

6.46 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 6.32 3.01 2.95 1.25

7.29 3.18 4.68 2.07 9.48 5.46 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 9.08 2.92 5.49 1.55 10.42 3.33 7.99 3.00 10.91 4.44 1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 7.71 3.17 3.45 1.93 7.58 3.17 3.53 1.88 10.57 4.90 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 7.45 2.84 4.13 1.19 7.59 3.38 3.97 1.67 10.11 5.02 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.56 2.38 1.92 0.70 3.82 3.00 2.18 0.94

8.01 6.29 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 3.26 2.41 1.67 0.68 5.25 3.46 3.85 1.89 7.87 6.50 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 4.89 3.04 1.78 1.32 12.00 4.31 10.73 3.99 8.79 5.88 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0

9.34 2.80 5.93 1.24 9.50 3.28 5.77 1.75 11.11 4.28 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.47 2.35 2.80 0.72 4.84 3.05 2.50 1.09 8.29 5.95 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 2.75 2.46 0.80 0.95 4.59 3.34 3.23 1.71 7.74 6.66 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 4.50 2.94 1.54 1.20 10.51 4.38 8.94 3.74 8.54 6.01 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.05 3.75 1.12 1.92 14.82 3.80 14.37 3.81 9.73 5.32 0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 7.59 3.12 3.40 1.93 7.87 3.64 4.14 1.50 10.52 4.94 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 7.42 2.92 4.05 1.15 8.04 4.49 4.11 2.88 9.96 4.97 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.54 2.45 1.87 0.71 5.12 4.59 2.02 2.59 7.88 6.32 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.73 2.35 1.19 0.68 8.28 5.25 3.96 4.46 7.56 6.61 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.35 2.47 0.08 0.32 11.20 6.17 10.78 6.13 7.19 7.07 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 9.31 2.77 5.87 1.24 9.77 4.17 5.82 3.01 11.05 4.33 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.44 2.34 2.73 0.70 5.66 4.49 3.02 2.38 8.40 5.97 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.99 2.49 0.24 0.64 7.42 5.20 5.81 4.08 7.48 6.91 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.78 2.48 0.94 0.84 9.37 6.82 8.47 6.82 7.54 6.61 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 2.11 2.43 0.62 0.62 7.08 8.04 6.90 8.04 7.53 6.85 0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 7.56 3.13 3.24 1.94 7.97 4.49 4.58 2.33 10.42 4.93 注：表中所列k?和σ?分别代表模拟10000次时各准则确定的(1-βL)y t滞后长度的均值及其标准差。

表6ADF检验的功效和实际检验水平检验式(a) T=250

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AIC SIC MAIC MSIC GSC 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0517 0.0543 0.0323 0.0283 0.0535 1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0524 0.0528 0.0391 0.0361 0.0504 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.0744 0.1147 0.0522 0.0679 0.0665 1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.1521 0.3059 0.0727 0.0983 0.1259 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.0459 0.0549 0.0327 0.0255 0.0504 1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.0559 0.0520 0.0385 0.0298 0.0541 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.0749 0.1389 0.0532 0.0705 0.0732 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.1480 0.3181 0.0818 0.1200 0.1237 1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.1222 0.2567 0.0469 0.0521 0.1075 1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.0530 0.0642 0.0315 0.0280 0.0504 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.7283 0.7741 0.6024 0.6410 0.6751 0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.7937 0.8145 0.7018 0.7455 0.7131 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.8924 0.9669 0.7638 0.8615 0.7943 0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9532 0.9986 0.7254 0.7912 0.8785 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.6763 0.7256 0.5399 0.5668 0.6438 0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.7763 0.7877 0.6725 0.6687 0.7050 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.8896 0.9622 0.7678 0.8718 0.7828 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9528 0.9981 0.7543 0.8365 0.8690 0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9667 0.9991 0.7513 0.7658 0.9210 0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.6892 0.7983 0.5529 0.5579 0.6397 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.9868 0.9985 0.9263 0.9779 0.9580 0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.9964 1.0000 0.9451 0.9881 0.9613 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.9976 1.0000 0.9331 0.9610 0.9770 0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9994 1.0000 0.9727 0.9728 0.9933 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.9753 0.9952 0.9034 0.9639 0.9526 0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.9943 0.9999 0.9406 0.9852 0.9607 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.9981 1.0000 0.9375 0.9689 0.9738 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9998 1.0000 0.9684 0.9670 0.9914 0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9998 1.0000 0.9875 0.9885 0.9974 0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.9976 0.9960 0.9095 0.9734 0.9444 注：表中所列数值为模拟10000次时按照各种准则得到的ADF统计量小于Fuller(1976, 表8.5.2, 第373页)5%显著性水平下临界值的概率。

4.不同样本容量的影响

对于同一数据生成过程和滞后长度选择准则，T=250时选择的滞后长度明显增加，大多数情况下增加了1，而滞后长度的标准差除了修正的信息准则在真实生成过程平稳时标准差有所增加外，在其余情况下均变小，即滞后长度表现出比样本容量为100时更加稳健的特征(见表1与表5)。

另外，当样本容量为100时，应用各准则进行检验犯弃真错误的概率略大。当样本容量为250时，除MIC导致更大的检验尺度扭曲外，应用各准则进行ADF检验的实际检验水平都低于样本容量较小时的水平，即犯第一类错误的概率明显下降。另外，应用各准则进行ADF检验的功效与T=100

时相比都有很大提高，且基于各准则的检验功效之间的差距也有所减小。例如，当β=0.95时，基于不同DGP和准则的检验功效绝大部分都大于70%，当β=0.85时的检验功效更是均大于90%甚至更高(见表2与表6)。这与我们通常的结论相一致。

三、结论

当数据生成过程的移动平均部分含有负根时，一般的信息准则会倾向于选择较小的滞后长度，

能够在一定程度上修正一般信息准则拟和不足的问题，继而得到较为而MIC通过加入了修正因子

合理的检验尺度，其犯弃真错误的概率往往能保持在0.05，然而代价往往是检验功效的降低。

总之，修正的信息准则通常拥有较好的实际检验水平，尤其是在移动平均部分含有较大的负根时，检验尺度的扭曲较小，即犯弃真错误的概率较小。而AIC、SIC与GSC通常具有较高的检验功效，即犯取伪错误的概率较小。因此，如果一个时间序列运用MIC进行ADF检验时，不能拒绝单位根原假设，那么我们可以认为，该序列是一个单位根过程的可能性很大。反过来，如果运用另外三个准则进行ADF检验，结果拒绝了单位根原假设，那么我们就有充分的理由相信原序列平稳。

在实际操作中，由于AIC与SIC往往拥有较高的检验功效，但相应的检验尺度的扭曲也较大；而修正的信息准则虽然拥有较合理的实际检验水平，但要以付出检验功效为代价。因此我们建议选用GSC，它恰好是信息准则与修正的信息准则的一个折中，即犯弃真错误的概率不会太大，同时检验功效也不至于太低。因此利用t检验或F检验选择滞后长度k的方法优于其他选择法，因为其拥有相对较为稳健ADF检验性质。

此外还有几个需要注意的问题：①误差项中的高阶移动平均过程会影响滞后长度的选择及相应的ADF检验功效、实际检验水平。移动平均部分中根的个数尤其是正根的增加往往会使检验功效下降，较大的负根则会造成检验尺度的扭曲。而这两种情况都会使选择的滞后长度及其标准差增加。

②随着确定性成分的加入，基于各种准则的ADF检验功效均有所下降，而检验尺度的扭曲(除MIC 外)也相应增加，这时MIC仍具有较优的检验尺度，但检验功效非常低，有的甚至低于0.1。而加入漂移项对滞后长度的影响则因选择方法不同而不同。③建议选择大样本进行ADF检验，模拟表明样本容量为250时各准则在滞后长度的选择方面更加稳健，检验尺度的扭曲有所减小，同时检验功效都大幅提高(接近于1)，并且各准则在检验功效之间的差距也缩小。

本文在运用一般到特殊法则时，实际是运用t统计量检验滞后差分项的参数显著性，即取m = 1。那么当取m > 1时，检验结果是否随m的不同而改变？对不同的数据生成过程是否存在一个最佳的m使得检验功效和实际检验水平都最优？在实际操作中，如何确定一个先验的m？这些问题都值得进一步研究。另外，研究表明，滞后长度的上界与下界也直接影响最终滞后长度的选择，进而影响ADF检验的统计推断，如何确定最优的上界与下界也是一个值得研究者继续探讨的问题。

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ADF检验

以中国2001——2015年各季度GDP 为例。时间 GDP 时间 GDP 时间 GDP 时间 GDP 2001年Q1 23,299.5000 2004年Q4 159,878.0000 2008年Q3 228,935.4229 2012年Q2 246,913.7330 2001年Q2 48,950.9000 2005年Q1 38,848.6000 2008年Q4 314,045.4271 2012年Q3 383,636.6047 2001年Q3 75,818.2000 2005年Q2 81,422.5000 2009年Q1 73,283.6275 2012年Q4 519,470.0992 2001年Q4 109,655.0000 2005年Q3 125,984.9000 2009年Q2 156,897.8212 2013年Q1 128,083.5340 2002年Q1 25,375.7000 2005年Q4 183,867.9000 2009年Q3 245,821.2738 2013年Q2 271,115.3226 2002年Q2 53,341.0000 2006年Q1 46,678.2949 2009年Q4 340,902.8126 2013年Q3 421,835.1222 2002年Q3 83,056.7000 2006年Q2 99,238.7117 2010年Q1 86,684.3479 2013年Q4 588,019.0000 2002年Q4 120,333.0000 2006年Q3 154,706.4747 2010年Q2 185,744.1504 2014年Q1 138,737.9662 2003年Q1 28,861.8000 2006年Q4 216,314.4259 2010年Q3 290,694.7860 2014年Q2 293,938.9812 2003年Q2 59,868.9000 2007年Q1 56,686.6255 2010年Q4 401,512.7952 2014年Q3 457,405.9484 2003年Q3 93,329.3000 2007年Q2 121,335.5172 2011年Q1 103,456.8650 2014年Q4 636,138.7325 2003年Q4 135,823.0000 2007年Q3 190,125.0432 2011年Q2 221,921.8620 2015年Q1 147,961.7996 2004年Q1 33,420.6000 2007年Q4 265,810.3058 2011年Q3 347,201.1732 2015年Q2 314,178.2215 2004年Q2 70,405.9000 2008年Q1 68,778.3523 2011年Q4 473,104.0486 2015年Q3 487,773.5083 2004年Q3 109,967.6000 2008年Q2 147,315.9722 2012年Q1 116,147.8983 在eviews 中输入数据，双击序列名，选择View ——Unit Root Test ，得到下对话框：这里做的选择是（1）ADF 检验，（2）对原序列yt 做单位根检验，（3）检验式中不包括趋势项和截距项。点击OK 键。得ADF 检验结果如下。注意：（1）Test type （选择检验类型）（2）Test for unit root in （选择差分形式） Level （原序列）、一阶差分、二阶差分（3）选择不同检验式（缺省选择是检验式中只包括截距项。其他两种选择是检验式中包括趋势项和截距项，检验式中不包括趋势项和截距项。（4）ADF 检验式中选择差分项的最大滞后期数。

ADF单位根检验

1.ADF单位根检验 2.Engle-Granger协整检验 3.Da-vdson误差修正模型 4.Granger因果关系检验 1、简单回归； 2、工具变量回归； 3、面板固定效应回归； 4、差分再差分回归(difference in differnece)； 5、狂忒二回归(Quantile)。大杀器就这几种，破绽最少，公认度最高，使用最广泛。真是所谓的老少皆宜、童叟无欺。其他的方法都不会更好，只会招致更多的破绽。你在STATA 里面还可以看到无数的其他方法，例如GMM、随机效应等。GMM其实是一个没有用的忽悠，例如估计动态面板的diffGMM，其关键思想是当你找不到工具变量时，用滞后项来做工具变量。结果你会发现令人崩溃的情况：不同滞后变量的阶数，严重影响你的结果，更令人崩溃的是，一些判断估计结果优劣的指标会失灵。这GMM的唯一价值在于理论价值，而不在于实践价值。你如果要玩计量，你就可以在GMM的基础上进行修改（玩计量的方法后面讲）。有人会问：简单回归会不会太简单？我只能说你真逗。STATA里面那么多选项，你加就是了。什么异方差、什么序列相关，一大堆尽管加。如果你实在无法确定是否有异方差和序列相关，那就把选项都加上。反正如果没有异方差，结果是一样的。有异方差，软件就自动给你纠正了。这不很爽嘛。如果样本太少，你还能加一个选项：bootstrap来估计方差。你看爽不爽！bootstrap就是自己把脚抬起来扛在肩上走路，就这么牛。这个bootstrap就是用30个样本能做到30万样本那样的效果。有吸引力吧。你说这个简单回归简单还是不简单！很简单，就是加选项。可是，要理论推导，就不简单了。我估计国内能推导的没几

ADF检验

引自Ruey S. Tsay著，王辉、潘家柱译《金融时间序列分析》（第2版） DF检验为了检验资产的对数价格p t是否服从一个随机游动或一个带漂移的随机游动，对模型 p t=?1p t?1+e t (1) p t=?0+?1p t?1+e t (2) 其中e t为误差项。考虑原假设H0:?1=1;H1:?1<1，即是一个单位根检验问题。一个方便的检验统计量就是在原假设下?1的最小二乘估计的t?比。对(1)式，由最小二乘法得 ?1= p t?1p t T t=1 t?1 T t=1 ,σe2= p t??1p t?12 T t=1 其中p0=0，T为样本容量。t?比为 DF≡t?比= ?1?1 ?1的标准差 = p e T σe p t?12 T t=1 这个t?比检验通常称为DF检验。若e t为一个白噪声序列，其稍高于二阶的矩是有限的，则当T?∞时DF统计量趋于一个标准布朗运动的函数。如果?0=0但我们采用了(2)式，则所得的检验?1=1的t?比将趋于另一种非标准的渐进分布。上述两种情形都是用模拟方法来得到检验统计量的临界值。然而如果?0≠0且使用的是(2)式，则用来检验?1=1的t?比是渐进正态的，但此时将需要很大的样本容量来保证渐进正态分布的使用。 ADF检验用x t表示一个AR(p)时间序列，为了验证序列是否存在单位根，通常人们采用ADF检验来验证，即可以用如下回归来进行假设检验（H0:β=1;H1:β<1）： x t=c t+βx t?1+?iΔx t?i+e t p?1 i=1 其中c t是关于时间t的确定性函数，Δx j=x j?x j?1是x t的差分序列。在实际中，c t可以是常数或者c t=ω0+ω1t。β?1的t?比为

ADF检验和协整检验的区别

特征根迹统计量（P值）5%临界值λ_max统计量（P值） 5%临界值原假设 0.786230 43.63(0.02) 40.17 23.14(0.06) 24.16 0个协整向量 0.659057 20.49(0.14) 24.28 16.14(0.09) 17.8 至少1个协整向量0.249925 4.35(0.66) 12.32 4.31(0.58) 11.22 至少2个协整向量0.002389 0.0023(0.88) 4.13 0.036(0.88) 4.13 至少3个协整向量正确的计算以1978年为100的定基指数的方法为：如果有以上一年为100的GDP指数，如何计算以某固定年份为100的GDP指数？以北京1978年为100的定基指数计算为例：第一步：（1）将1978年的GDP指数定义为100，这样，1978年定基指数（1978=100）=100. 第二步：（2）那么1979年的定基（1978=100）就等于当年的同比指数，即 1979年GDP定基指数（1978=100）=1979年GDP指数（以上一年为100）第三步（最关键）：1980年GDP指数（1978=100）=1979年GDP指数（1978=100）*1980年GDP指数（以上一年为100）/100。第四步：自1981年起重复第三步，即以各上年定基指数（1978=100）分别乘以当年同比指数（上年=100的指数）再除以100，就依次可以得到所有年份以1978年为100 的定基指数。EXCEL直接复制第三步的公式就可以计算出来。本文来自: 人大经济论坛数据交流中心版，详细出处参考：定基指数编辑目录 1定基指数与环比指数的关系 2定基指数的分类 3定基指数与环比指数的区别定基指数即定比指数。定基指数是指在指数数列中，各期指数都以某—固定时期为基期。定基指数说明现象在较长时期内的发展变化情况。

ADF检验

1.3.4 ADF检验仍以日本人口序列y t为例（数据见3.3）。在工作文件窗口中双击y t序列，从而打开y t数据窗口。点击View键，选择Unit Root Test功能，如下图，则会弹出一个单位根检验对话框。其中共有4种选项。（1）检验方法（缺省选择是ADF检验），（2）所检验的序列（缺省选择是对原序列（Level）做单位根检验）。（3）选择不同检验式（缺省选择是检验式中只包括截距项。其他两种选择是检验式中包括趋势项和截距项，检验式中不包括趋势项和截距项。（4）ADF检验式中选择差分项的最大滞后期数。这里做的选择是（1）ADF 检验，（2）对原序列y t做单位根检验，（3）检验式中不包括趋势项和截距项。点击OK 键。得ADF检验结果如下。

相应的检验式是 ?= 0.0041 y t-1 + 0.2197? y t-1 + 0.1366? y t-1 + 0.2159? y t-1 (2.9) (2.4) (1.4) (2.3) DW = 2.05 输出的最上部分给出了检验结果。因为ADF = 2.9283，分别大于不同检验水平的三个临界值，所以日本人口序列y t是一个非平稳序列。在此情形下，应该继续对y t的差分序列进行单位根检验。在序列y t窗口（即显示单位根检验结果的窗口）中，点击View键，选择Unit Root Test 功能，再次得到单位根检验对话框。这时第二项选择应选1st difference，即检验?y t。第三项选择含截距项，第四项选择滞后2期。

点击OK键。得ADF检验结果如下。见输出结果的最上部分。因为ADF = 3.5602，分别小于不同检验水平的三个临界值，所以日本人口差分序列? y t是一个平稳序列。因此y t~ (1)。

ADF检验和协整检验

回归： Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 04/09/14 Time: 20:40 Sample: 2003 2012 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. L -7.584788 2.987176 -2.539116 0.0441 K 0.627143 0.208381 3.009604 0.0237 I -0.131563 0.070898 -1.855656 0.1129 C 82.50331 31.82297 2.592571 0.0411 R-squared 0.992831 Mean dependent var 7.271989 Adjusted R-squared 0.989246 S.D. dependent var 0.387985 S.E. of regression 0.040234 Akaike info criterion -3.299031 Sum squared resid 0.009713 Schwarz criterion -3.177997 Log likelihood 20.49515 Hannan-Quinn criter. -3.431805 F-statistic 276.9743 Durbin-Watson stat 1.920806 Prob(F-statistic) 0.000001 变量Y的ADF检验 Null Hypothesis: Y has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Fixed) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.745045 0.9832 Test critical values: 1% level -4.582648 5% level -3.320969 10% level -2.801384 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Warning: Probabilities and critical values calculated for 20 observations and may not be accurate for a sample size of 8 变量L的ADF检验 Null Hypothesis: L has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Fixed) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.149207 0.2335

ADF检验MATLAB程序

ADF-situation1-statistic1-2.m %ADF检验法p取2. %AR(2)过程临界值的确定 T=5000; N=200; w1=zeros(1,T); w2=zeros(1,T); for t=1:T sita1=0.7; sita2=0.3; ru=sita1+sita2; labuda1=-sita2; %p=2; e=randn(1,N); y1(1)=e(1); y1(2)=sita1*y1(1)+e(2); for j=3:N y1(j)=sita1*y1(j-1)+sita2*y1(j-2)+e(j); end dertay1(1)=y1(1); for i=2:N dertay1(i)=y1(i)-y1(i-1); end %数据的生成过程 y(1)=e(1); for k=2:N y(k)=ru*y(k-1)+labuda1*dertay1(k-1)+e(k); end dertay(1)=y(1); for h=2:N dertay(h)=y(h)-y(h-1); end A=[sum(dertay(1,1:N-1).^2) sum(dertay(1,1:N-1).*y(1,1:N-1));

sum(dertay(1,1:N-1).*y(1,1:N-1)) sum(y(1,1:N-1).^2)]; B=[sum(dertay(1,1:N-1).*y(1,2:N)) sum(y(1,1:N-1).*y(1,2:N))]'; C=inv(A)*B; ruhat=C(2,1); labuda1hat=C(1,1); w1(t)=N*(ruhat-1)/(1-labuda1hat); %样本方差计算SigmaSquare episilon1(1)=y(1)-arfahat; for i1=2:N episilon1(i1)=y(i1)-ruhat*y(i1-1)-labuda1hat*dertay1(i1-1);%Situation1与Situation2再此处不一样。 end SigmaSquare=(N-3)^(-1)*sum(episilon1(1,1:N).^2);%有三个参数需要估计，所以是N-3。 YitahatSquare=SigmaSquare.*[0 1]*inv(A)*[0 1]';%在计算YitaSquare时采用了《小书》p66结论。 %SigmaSquare/sum(y(1,1:N-1).^2); %Statistic2 w2(t)=(ruhat-1)/(YitahatSquare^(1/2)); end a1=sort(w1); a2=sort(w2); b1=a1(fix(T*0.05)) b2=a2(fix(T*0.05)) %在备择假设下的检验 for t=1:T sita1=0.3; sita2=0.3; ru=sita1+sita2; labuda1=-sita2; %p=2; e=randn(1,N); y1(1)=e(1); y1(2)=sita1*y1(1)+e(2);

ADF时间序列数据平稳性检验实验指导

实验一时间序列数据平稳性检验实验指导一、实验目的：理解经济时间序列存在的不平稳性，掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法，认识利用不平稳的序列进行建模所造成的影响。二、基本概念：如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它是宽平稳的。时序图 ADF检验 PP检验三、实验容及要求： 1、实验容：用Eviews5.1来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列，主要容：（1）、通过时序图看时间序列的平稳性，这个方法很直观，但比较粗糙；（2）、通过计算序列的自相关和偏自相关系数，根据平稳时间序列的性质观察其平稳性；（3）、进行纯随机性检验；（4）、平稳性的ADF检验；（5）、平稳性的pp检验。 2、实验要求：（1）理解不平稳的含义和影响；（2）熟悉对序列平稳化处理的各种方法；（2）对相应过程会熟练软件操作，对软件分析结果进行分析。四、实验指导（1）、绘制时间序列图时序图可以大致看出序列的平稳性，平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列，现以1964-1999年中国纱年产量序列（单位：万吨）来说明。在EVIEWS中建立工作文件，在“Workfile structure type”栏中选择“Dated-regular frequency”，在右边的“Date specification”中输入起始年1964，终止年1999，点击ok 则建立了工作文件。找到中国纱年产量序列的excel文件并导入命名该序列为sha，见图1-2。图1-1 建立工作文件

时间序列数据平稳性检验实验指导

时间序列数据平稳性检验实验指导(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

实验一时间序列数据平稳性检验实验指导一、实验目的：理解经济时间序列存在的不平稳性，掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法，认识利用不平稳的序列进行建模所造成的影响。二、基本概念：如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它是宽平稳的。时序图 ADF检验 PP检验三、实验内容及要求： 1、实验内容：用来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列，主要内容：（1）、通过时序图看时间序列的平稳性，这个方法很直观，但比较粗糙；（2）、通过计算序列的自相关和偏自相关系数，根据平稳时间序列的性质观察其平稳性；（3）、进行纯随机性检验；（4）、平稳性的ADF检验；（5）、平稳性的pp检验。 2、实验要求：（1）理解不平稳的含义和影响；（2）熟悉对序列平稳化处理的各种方法；（2）对相应过程会熟练软件操作，对软件分析结果进行分析。四、实验指导（1）、绘制时间序列图时序图可以大致看出序列的平稳性，平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列，现以1964-1999年中国纱年产量序列（单位：万吨）来说明。在EVIEWS中建立工作文件，在“Workfile structure type”栏中选择“Dated-regular frequency”，在右边的“Date specification”中输入起始年1964，终止年1999，点击ok则建立了工作文件。找到中国纱年产量序列的excel文件并导入命名该序列为sha，见图1-2。

adf检验的图表

检验变量检验类型ADF统计值10%临界值5%临界值结论LNY（0，01）-0.42906-1.60661-1.96141不平稳 DLNY（c，t，1）-2.75590-4.61621-3.71048不平稳D(D(LNY))（0，02）-2.55383-2.72825-1.96627平稳LNX1（0，02）3.551647-2.70809-1.96281不平稳DLNX1（0，0，1）-1.107310-2.70809-1.96281不平稳D(D(LNX1)（0，0，2）-4.86780-2.72825-1.96627平稳LNX2（c，t，2）-1.99875-3.71048-3.29780不平稳DLNX2（c，0，1）-2.70719-3.88675-3.05217不平稳D(D(LNX2)（0，0，2）-3.62840-2.71511-1.96642平稳

检验变量检验类型ADF统计值10%临界值5%临界值结论LNY（0，0，1）-0.42906-1.60661-1.96141不平稳DLNY（c，t，1）-2.75590-4.61621-3.71048不平稳D(D(LNY))（0，0，2）-2.55383-2.72825-1.96627平稳LNX1（0，0，2）3.551647-2.70809-1.96281不平稳DLNX1（0，0，1）-1.107310-2.70809-1.96281不平稳D(D(LNX1)（0，0，2）-4.86780-2.72825-1.96627平稳LNX2（c，t，2）-1.99875-3.71048-3.29780不平稳DLNX2（c，0，1）-2.70719-3.88675-3.05217不平稳D(D(LNX2)（0，0，2）-3.62840-2.71511-1.96642平稳

PP检验法和ADF检验法

第4节 PP 单位根检验法与ADF 单位根检验法 DF 检验要求模型的随机扰动项t ε独立同分布。但在实际应用中这一条件往往不能满足（如上一节中的有关例子）。一般来说，如果估计模型的DW 值偏离2较大，表明随机扰动项是序列相关的，在这种情况下使用DF 检验可能会导致偏误，需要寻找新的检验方法。本节我们将介绍在随机扰动项服从一般平稳过程的情况下，检验单位根的PP 检验法和ADF 检验法。一、 PP （Phillips&Perron ）检验首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由（真实过程） φφ∑∞ t t -1t t t j t -j j =0 y =ρy +u ,u =(B )ε= ε (1) 产生，其中{}t ε独立同分布，∞ <==2 )(,0)(σ εεt t D E 。∑∞ ==0 )(j j j B B ??，其中B 为滞后算子，其系数满足条件∞ <∑ ∞ =0j j j ? 。在回归模型t t t u y y ++=-1ρα中检验假设： 0; 1:0==αρH 与DF 检验（情形二）一样，模型参数的OLS 估计为： ??? ? ????? ? ??=???? ??∑∑∑ ∑∑-----t t t t t t y y y y y y N 11 211 1? ?ρα 在1,0:0==ραH 成立时，上式可改写为：

1 12 1111t t t t t t ?T y u ?y y y u αρ-----?? ????= ? ? ? ? ?-???? ?? ∑ ∑∑∑∑ 以矩阵 ( )1 2 A diag T ,T =左乘上式两端，得 ()1 2 3122 3 2 1 111121111 112 2 11111 t t t t t t t t t t t t ?T y u T A A A ?y y y u T T y T u T y u T y T y αρ------------------???????????? ?? = ? ? ????? ? ? ?-??????????? ?? ? ???? ?= ? ? ??? ?? ∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑∑∑∑ 利用有关单位根过程的极限分布（参见第2节），可得 ()1 21 1 0221122 00 011 1112 L W ()W (r )dr ?T ?T [W ()]W (r )dr W (r )dr λλαρλγλλ-??? ??? ? ???→ ? ? ? ?-- ? ? ?? ?? ?? ??? 其中)1(σ?λ=，∑∞ ==0 2 2 s s ?σ γ 。经过化简，可将统计量1?T ()ρ -的极限分离出来如下： ()(){}()()()()()()()12 12 2 1 2 2 00 11112 2 2 2 1111W W W r dr /?T W r dr [W r dr ] W r dr [W r dr ] λ γλ ρ ??---??-?+ ????--?? ?? ? ? ? ? ? (2) 此式表明，1?T ()ρ -的极限为两项之和，其中第一项是t u 为独立同分布时1?T ()ρ-的极限分布；第二项是由t u 的自相关性产生的，当t u 独立时，它等于零。说明上式是DF 分布的推广。可以证明，统计量22??T ρσ有以下极限分布：

ADF检验

X的ADF检验 ADF Test Statistic -0.519103 1% Critical Value* -3.8304 5% Critical Value -3.0294 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Date: 12/25/12 Time: 19:12 Sample(adjusted): 1992 2010 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X(-1) -0.023487 0.045245 -0.519103 0.6108 D(X(-1)) 0.298254 0.239617 1.244714 0.2312 C 0.020558 0.020489 1.003396 0.3306 R-squared 0.094425 Mean dependent var 0.014295 Adjusted R-squared -0.018772 S.D. dependent var 0.020176 S.E. of regression 0.020365 Akaike info criterion -4.806077 Sum squared resid 0.006636 Schwarz criterion -4.656955 Log likelihood 48.65773 F-statistic 0.834164 Durbin-Watson stat 2.027766 Prob(F-statistic) 0.452268 Y的ADF检验 ADF Test Statistic -2.536542 1% Critical Value* -3.8304 5% Critical Value -3.0294 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(Y) Method: Least Squares Date: 12/25/12 Time: 19:21 Sample(adjusted): 1992 2010 Y(-1) -0.222555 0.087740 -2.536542 0.0220