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数学文卷·2014届广东省深圳中学高三上学期第一次月考(2013.09)

2014届高三第一次月考试题

数学（文科）

2013。09

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()()U C A B ?=

A ．{13}x x -≤<

B ．{13}x x -<<

C ．{1}x x <-

D ．{3}x x > 2．如果函数2

()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（） A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-

3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4.在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠= ，BC =则AC = （）

A. B. C. D.

5. 设25a

m ==，且

2a b

+=，

则m = （）

6．已知函数3()sin 2()2f x x x π??

∈ ??

R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=

对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π??

????

上是增函数 7．直线20ax y a -+=与圆2

9x y +=的位置关系是（）

A .相离

B .相切

C .相交

D .不确定 8. 给出如下三个命题：

①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；

②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；

14第题图

③在ABC ?中，“45A > ”是

“sin 2

A >

的充要条件。其中不正确的命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

9.设直线x t =与函数2

(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（）

A ．1

B ．

．2 D

．2

10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，

则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于

)(x f 的同值变换的是

A ．2

)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称 B ．12

)(1

-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称

C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称

D ．()sin 3f x x π?

，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

11.若数列}{

n a 的通项公式是()()n a n =-1?3-2,则a a a 1210++=L . 12．若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .

13．已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>

的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与

抛物线2

16y x =的焦点相同，则双曲线的方程为．

14.函数()sin(),(,,f x A x A ω?ω?=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则

____)0(=f

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知函数2

()cos sin cos 2222

x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若()10

f α=

,求sin 2α的值.

16. （本小题满分13分）在ABC ?中，c b a 、、分别为角A B C 、、的对边，已知)2sin ,2(cos

C C m = ，)2sin ,2(cos C C n -=，且2

1=?. (1) 求角C ；(2) 若11

a b +=，ABC ?的面积233=S ，求边c 的值.

17. （本小题满分13分）如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A 。（Ⅰ）求实数b 的值；

（Ⅱ）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程。

18. （本小题满分14分）设数列{}

n a ，

{}n b 满足3,4,6332211======b a b a b a ，

且数列*

1{}()n n a a n N +-∈是等差数列，数列*

{2}()n b n N -∈是等比数列。（1）求数列

{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）是否存在*

k N ∈，使??

? ??

∈-21,0k k b a ，若存在，求出k ，若不存在，说明理由。

19. （本小题满分14分）设()nx mx x x f ++=

1. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；（2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -） .

20．（本小题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-. （1）讨论函数()f x 的单调区间和极值;

（2）已知1 2.71828)x e ==L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点,求a 的值并证

明:32

2x e >.

2014届高三第一次月考试题

数学（文科）答案

参考公式： 2013。09 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()U A B = e

B ．{13}x x -<<

C ．{1}x x <-

D ．{3}x x > 2．如果函数2

()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（） A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-

3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4.在△ABC 中，若60A ∠= ，45B ∠= ，BC =则AC = （）

A. C. D.

5. 设25a

m ==，且

2a b

+=，则m = （）

6．已知函数3()sin 2()2f x x x π??

∈ ??

R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数

D ．函数)(x f 在区间0,2π??

????

上是增函数 7．直线20ax y a -+=与圆2

9x y +=的位置关系是（） A .相离 B .相切 C .相交 D .不确定

8. 给出如下三个命题：

①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；

②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；

9第题图

③在ABC ?中，“45A > ”是

“sin 2

A >

的充要条件。其中不正确的命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

9.设直线x t =与函数2

(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（）

A ．1

B ．

．2

10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，

则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于

)(x f 的同值变换的是

A ．2

)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称 B ．12

)(1

-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称

C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称

D ．()sin 3f x x π?

，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

11.若数列}{

n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L . 15 12．若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 . 12a >

13．已知双曲线22

221x y a b -=()

0,0a b >>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与

抛物线2

16y x =的焦点相同，则双曲线的方程为．【解】

1412

x y -=． 14.函数()sin(),(,,f x A x A ω?ω?=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则

____)0

(=f

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分12分）已知函数

1()cos sin cos 2222

x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若()10

f α=

,求sin 2α的值. 解： (1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos 2-- 2

sinx 21cosx 121--+=）（

）

（4x cos 22π

所以f(x)的最小正周期为2π,值域为???

????-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，

）（10234cos 22=+πα 所以cos(5

4=+πα). 所以）

（）（

2cos 22

cos 2sin π

ααπ

α+

-=+-= 25

251814cos 212

=+-=）（π

α 16. （本小题满分13分）在ABC ?中，c b a 、、分别为角A B C 、、的对边，

已知)2sin ,2(cos C C = ，)2sin ,2(cos C C -=，且2

=?n m .

(1) 求角C ；(2) 若11

a b +=

，ABC ?的面积233=S ，求边c 的值.

16. 解：(1) 依题知得 2

=?n m 即 212sin 2cos 22=-C C ……3分

也就是 2

1cos =

C ，又π<

=C ………………………6分

(2) ab C ab S 43sin 21==

，且2

3=S ，所以 6=ab ……………8分又2

11492cos ()33624c a b ab C a b ab a b ab ??

=+-=+-=+-=-?= ???

得27=c .

17. （本小题满分13分）如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A 。（Ⅰ）求实数b 的值；

（Ⅱ）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程。 17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，

考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I ）由22

4404y x b x x b x y

=+?--=?

=?得，（*）

因为直线l 与抛物线C 相切，所以2

(4)4(4)0,b ?=--?-=解得b=-1。

（II ）由（I ）可知2

1,(*)440b x x =--+=故方程即为，

解得x=2，代入2

4, 1.x y y ==得故点A （2，1），因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离，即|1(1)|2,r =--= 所以圆A 的方程为22

(2)(1) 4.x y -+-=

18. （本小题满分14分）设数列{}

n a ，

{}n b 满足3,4,6332211======b a b a b a ，

且数列*

1{}()n n a a n N +-∈是等差数列，数列*

{2}()n b n N -∈是等比数列。（1）求数列

{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）是否存在*

k N ∈，使??

? ??

∈-21,0k k b a ，若存在，求出k ，若不存在，说明理由。解：（1）由题意得：

121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+- )4(0)1()2(6-+++-+-+=n

[]2

)1()4()2(6--+-+=n n ＝2

1872+-n n ； …3分

由已知22,4221=-=-b b 得公比21=

q 11111

2(2)()4()22n n n b b ---=-=?，

28()2

n n b =+? …6分

（2）k k b a k f -=)(k

2171928222k k ??????=-+-+??? ? ?????????2k

17491872242k ??????=---?+?? ? ?????????

， ∴当4≥k 时，)(k f 是增函数。又21)4(=

f ，所以当4≥k 时2

)(≥k f ，又0)3()2()1(===f f f ，所以不存在k ，使??

? ??

∈21,0)(k f 。 19. （本小题满分14分）设()nx mx x x f ++=

1. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；（2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -）

.解：（1）已知()nx mx x x f ++=

1，()n mx x x f ++=∴22' 又()()()322322

-+-+=--=n x m x x x f x g 在2-=x 处取极值，则()()()3022222'

=?=-+-=-m m g ，又在2-=x 处取最小值-5.

则()()()25342222

=?-=-+?-+-=-n n g ，()x x x x f 233

123

++=

∴ （2）要使()nx mx x x f ++=

1单调递减，则()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数，所以()022

=++=n mx x x f 两根设做a ，b 。即有： b-a 为区间长度。又()()+∈-=-=-+=

-N n m n m n m ab b a a b ,2444222

又b-a 为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，5,3==n m 符合。 20．（本小题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-. （1）讨论函数()f x 的单调区间和极值;

（2）已知1 2.71828)x e ==L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点,求a 的值并证

明:3

2x e >.

20．（本题满分14分）解：在区间()0,+∞上,11()ax

f x a x x

-'=

. ……………………2分 ①若0a ≤,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,无极值； ………………4分 ②若0a >,令()0f x '=得: 1x a

. 在区间1(0,)a

上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a

+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11

()ln

1ln 1f a a a

=-=--. 综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,无极值； …………………7分 ③当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a ，递减区间是1(,)a

+∞，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a

=--. …………………9分

(2) 0,f =∴

2-=，解得:a =

…………………10分 ∴()ln

f x x x =. …………………11分

又3

3()022e f e =->Q ,53

25()022

f e =-<,3522()()0f e f e ∴?< ……13分

由(1)函数()f x 在)+∞递减,故函数()f x 在区间3522

(,)e e 有唯一零点, 因此32

2x e >. ………………14分