2015年步步高二轮复习-专题二 第3讲 导数及其应用
第3讲导数及其应用
考情解读 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．
3．函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．
4．定积分的三个公式与一个定理
(1)定积分的性质：
①?b a kf(x)d x＝k?b a f(x)d x；
②?b a[f1(x)±f2(x)]d x＝?b a f1(x)d x±?b a f2(x)d x；
③?b a f(x)d x＝?c a f(x)d x＋?b c f(x)d x(其中a (2)微积分基本定理： 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?b a f(x)d x＝F(b)－F(a). 热点一导数的运算和几何意义 例1 (1)(2014·广东)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5 2的一个公 共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A 点坐标是解题的关键点，列方程求出． 答案 (1)5x ＋y －3＝0 (2)4 解析 (1)因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ， 所以y ′|x ＝0＝－5， 故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0. (2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1 k OA ＝－x 0y 0 ， 又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3a 20＝－1，即y 0＝3ax 3 0， 又ax 30＝y 0－1，所以y 0 ＝32， 代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±1 2 ， 将x 0＝±12，y 0＝3 2 代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4. 思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． (1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，则f ′(π3 )＝ ________. (2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π 2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于 ________． 答案 (1) 3 6－4π (2)2 解析 (1)因为f (x )＝x 2f ′(π3)＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′(π 3)＋cos x ． 所以f ′(π3)＝2×π3f ′(π3)＋cos π3.所以f ′(π3)＝3 6－4π. (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π 2 )＝1， 即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π 2处的切线的斜率是1， 直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a 2， 所以(－a 2)×1＝－1，解得a ＝2. 热点二 利用导数研究函数的性质 例2 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间； (2)当x ∈[0,4]时，求函数f (x )的最小值． 思维启迪 (1)直接求f ′(x )，利用f ′(x )的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f (x )的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到． 解 (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ，所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1. 当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下： x (－∞，－a －1) －a －1 (－a －1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 故f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)； 单调增区间为(－a －1，＋∞)． (2)由(1)得，f (x )的单调减区间为(－∞，－a －1)； 单调增区间为(－a －1，＋∞)． 所以当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,4]上单调递增，故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (0)＝a ； 当0<－a －1<4，即－5 故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (－a －1)＝－e －a －1 ； 当－a －1≥4，即a ≤－5时，f (x )在[0,4]上单调递减， 故f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝f (4)＝(a ＋4)e 4. 所以函数f (x )在[0,4]上的最小值为f (x )min ＝????? a ， a ≥－1，－e －a －1 ， －5 思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )； (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解． (4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值． 已知函数f (x )＝ln x ＋2a x ，a ∈R . (1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2a x 2. ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )＝1x －2a x 2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)， ∵g (x )＝x 2在[2，＋∞)上是增函数， ∴[g (x )]min ＝g (2)＝1. ∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2a x 2，x ∈[1，e]． ①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是增函数． 所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝3 2 (舍去)． ②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1 所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a 2 (舍去)． ③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2a e ＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e. 热点三 导数与方程、不等式 例3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝a x (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间； (2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤1 2恒成立，求 实数a 的最小值； (3)是否存在实数m ，使得函数y ＝g ( 2a x 2 ＋1 )＋m －1的图象与函数y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 思维启迪 (1)利用F ′(x )确定单调区间；(2)k ＝F ′(x 0)，F ′(x 0)≤1 2分离a ，利用函数思想求 a 的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化． 解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2. ∵a >0，由F ′(x )>0?x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0?x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由F ′(x )＝x －a x 2(0 k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0 2x 20＋x 0恒成立． ∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值1 2 ， ∴a ≥12，a 的最小值为12. (3)若y ＝g ( 2a x 2 ＋1 )＋m －1＝12x 2＋m －1 2的图象与y ＝f (1＋x 2)＝ln(x 2＋1)的图象恰有四个不同交 点，即12x 2＋m －1 2＝ln(x 2＋1)有四个不同的根， 亦即m ＝ln(x 2＋1)－12x 2＋1 2有四个不同的根． 令G (x )＝ln(x 2＋1)－12x 2＋1 2 . 则G ′(x )＝2x x 2＋1－x ＝2x －x 3－x x 2＋1＝－x (x ＋1)(x －1)x 2＋1 当x 变化时G ′(x )、G (x )的变化情况如下表： (－∞，－1) (－1,0) (0,1) (1，＋∞) G ′(x )的符号 ＋ － ＋ － G (x )的单调性 由上表知：G (x )极小值＝G (0)＝1 2，G (x )极大值＝G (－1)＝G (1)＝ln 2>0. 又由G (2)＝G (－2)＝ln 5－2＋12<1 2 可知， 当m ∈(12，ln 2)时，y ＝G (x )与y ＝m 恰有四个不同交点．故存在m ∈(12，ln 2)，使函数y ＝g (2a x 2＋1) ＋m －1的图象与y ＝f (1＋x 2)的图象恰有四个不同交点． 思维升华 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考． 已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x . (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2 ＋1 x (x >0)． ①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0 1 2a ，则f ′(x )>0， 故f (x )在(0，－ 1 2a ]上是增函数； 若x > －1 2a ，则f ′(x )<0， 故f (x )在[ －1 2a ，＋∞)上是减函数． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数； 当a <0时，f (x )在(0, － 1 2a ]上是增函数，在[ －1 2a ，＋∞)上是减函数． (2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]， 恒有ma －f (x )>a 2成立， 等价于ma －a 2>f (x )max . 因为a ∈(－4，－2)，所以 24 < －12a <12 <1. 由(1)，知当a ∈(－4，－2)时，f (x )在[1,3]上是减函数， 所以f (x )max ＝f (1)＝2a ， 所以ma －a 2>2a ，即m 因为a ∈(－4，－2)，所以－2 (1)已知a ＝?10 (e x ＋2x )d x (e 为自然对数的底数)，函数f (x )＝????? ln x ，x >0 2－x ，x ≤0 ，则f (a )＋f (log 21 6) ＝________. (2)(2014·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 思维启迪 (1)利用微积分基本定理先求出a ，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分． 答案 (1)7 (2)D 解析 (1)因为a ＝?10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1 ＝e ＋1－1＝e ，f (x )＝? ???? ln x ，x >0 2－x ，x ≤0，所以f (a )＋f (log 21 6)＝f (e)＋f (－log 26)＝ln e ＋2－(－log 26)＝1＋6＝7. (2)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2， ∴S ＝?20(4x －x 3 )＝ ??????2x 2－x 4 420 ＝8－4＝4，故选D. 思维升华 (1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数． (2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出． (1)若?a 1(2x ＋1 x )d x ＝3＋ln 2，且a >1，则a 的值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.323 D.353 答案 (1)D (2)C 解析 (1)?a 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1，由题意，可得a 2 ＋ln a －1＝3＋ln 2， 解得a ＝2. (2)由题图，可知阴影部分面积为?1－3(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝(3－13－1)－(－9＋9－9)＝323 . 1．函数单调性的应用 (1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的必要不充分条件． 2．可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点． 3．利用导数解决优化问题的步骤 (1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论． 4．定积分在几何中的应用 被积函数为y ＝f (x )，由曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b (a (1)当f (x )>0时，S ＝?b a f (x )d x ； (2)当f (x )<0时，S ＝－?b a f (x )d x ； (3)当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝?c a f (x )d x －?b c f (x )d x . 真题感悟 1．(2014·江西)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ________． 答案 (－ln 2,2) 解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ＝1e x ，∴y ′＝－e － x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)． 2．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )； (2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. (1)解 因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0 若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0， 故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ， f ′(x )＝3x 2＋3>0， 故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3. ②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x )＝3x 2－3<0， 故f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a . 综上，g (a )＝? ???? a 3 ，0 －2＋3a ，a ≥1. (2)证明 令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0 若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3， h ′(x )＝3x 2＋3， 所以h (x )在(a,1)上是增函数， 所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3， 且0 若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3， 所以h (x )在(－1，a )上是减函数， 所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3. 令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数． 所以，t (a ) ②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ， 故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3， 此时h (x )在(－1,1)上是减函数， 因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4. 综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 押题精练 1．已知函数f (x )＝x －1 x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)， 则实数a 的取值范围是__________． 答案 ????94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1 (x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋5 2x ， 则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋5 2x 在x ∈[1,2]上单调递减， 所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥9 4. 2．已知函数f (x )＝x 2 8 －ln x ，x ∈[1,3]． (1)求f (x )的最大值与最小值； (2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，求实数a 的取值范围； 解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1 x ，令f ′(x )＝0得x ＝±2， ∵x ∈[1,3]， 当1 ∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝1 2－ln 2； 又f (1)＝18，f (3)＝9 8 －ln 3， ∵ln 3>1，∴18－(9 8－ln 3)＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)， ∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为1 2－ln 2. (2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤1 8， 故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立， 只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <31 8 恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]． ∴??? g (0)< 318 g (2)<31 8 ，解得a <31 16 ， ∴实数a 的取值范围是(－∞，31 16 )． (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －2＝0 D ．x ＋y ＋2＝0 答案 A 解析 由已知，得点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0，故选A. 2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D 解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的 斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. 3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝ 2125x 3－4 5 x C ．y ＝3 125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋1 5 x 答案 A 解析 函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y ′≤0，经检验只有A 符合．故选A. 4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x <0} C ．{x |x <－1，或x >1} D ．{x |x <－1，或0 解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ， 因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0， 所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数． 又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1， 所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 5．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－1 2，0)内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[1 4，1) B ．[3 4，1) C ．(9 4，＋∞) D ．(1，9 4 ) 答案 B 解析 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0. 则有????? x >0，x 2－a >0或????? x <0，x 2－a <0， ∴x >a 或－a 即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)． 令g (x )＝x 3－ax ， 则g ′(x )＝3x 2－a . 由g ′(x )<0得－ 3a 3 3a 3，0)上是减函数，又函数f (x )在x ∈(－1 2 ，0)内单调递增，则有?? ? 0 －a ≤－12 ， －3a 3≤－12 ， ∴3 4 ≤a <1. 6．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0 围成的阴影部分的面积为( ) A ．?20|x 2 －1|d x B ．|?20(x 2－1)d x | C ．?20(x 2－1)d x D ．?10(x 2－1)d x ＋?21(1－x 2)d x 答案 A 解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等， 即?20|x 2－1|d x ，选A. 二、填空题 7．已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (2 3))处的切线斜率是________． 答案 －1 解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(2 3) ＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (2 3 ))处的切线斜率是－1. 8．若函数f (x )＝ax ＋1 x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 a <1 2 解析 f ′(x )＝(ax ＋1)′(x ＋2)－(x ＋2)′(ax ＋1)(x ＋2)2＝a (x ＋2)－(ax ＋1)(x ＋2)2＝2a －1 (x ＋2)2，令f ′(x )<0， 即2a －1<0，解得a <1 2 . 9．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________． 答案 [－2，－1] 解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.① 又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.② 联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]?[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1]． 10．已知函数f (x )＝－1 2x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________． 答案 0 解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2 ＋4x －3 x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋ 1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1 11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －3 2，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的 切线垂直于直线y ＝1 2x . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1 x ， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝5 4. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3 2， 则f ′(x )＝x 2－4x －5 4x 2 . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5. 12．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1 x －1 ＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数； (2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个． 解 (1)当a ＝2时，联立? ???? y ＝f (x )， y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1 x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)， 即联立 ? ???? y ＝0，y ＝x 3＋x 2 －x －2(x ≠1)， 求导得y ′＝3x 2＋2x －1＝0得 x 1＝－1，x 2＝1 3 ， 得到极值点分别在－1和1 3 处， 且极大值、极小值都是负值，图象如图， 故交点只有一个． (2)联立? ???? y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1 x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 即联立? ???? y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和1 3处，画出草图如图． h (－1)＝1，h (13)＝－527 ， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)， 故a ＝－5 27 时恰有两个公共点． 13．设函数f (x )＝a e x (x ＋1)(其中，e ＝2.718 28……)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线． (1)求函数f (x )，g (x )的解析式； (2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值； (3)若对?x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ， ∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4， ∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2. (2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2， 由f ′(x )<0得x <－2， ∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3， ∴t ＋1>－2. ①当－3 2. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)； ∴f (x )＝? ???? －2e － 2 (－3 2e t (t ＋1)(t ≥－2) (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵?x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立， ∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1. F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4 ＝2(x ＋2)(k e x －1)， ∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1 k ； 由F ′(x )<0得x k ，＋∞)单调递增． ①当ln 1 k <－2， 即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e － 2＋2＝2e 2(e 2－k )<0， 不满足F (x )min ≥0. 当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2 e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0. ③当ln 1k >－2，即1≤k k ，＋∞)单调递增． F (x )min ＝F (ln 1 k )＝ln k (2－ln k )>0， 满足F (x )min ≥0. 综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]． 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ） 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 2017年导数及其应用专题复习 知识点复习 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率： ()() 2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='=' →?=)()(lim )(000 00 ；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线() y f x =在点 ()() 00,x f x P 处的切线的斜 率． 4、常见函数的导数公式： ①' C 0=； ②1 ')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin ' =； ④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x ' ''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()() ()()()2 0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数' ' ()y f x =； （3）解不等式' ()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ） （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数及其应用专题训练 (时间:100分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 2.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=-的图象大致为() 4.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒 成立,则a的取值范围为() A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是() A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 6.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程是() A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 7.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 8.已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(- 2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是() A.b 1.导数应用之函数单调性 题组1： 1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间. 2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间. 3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间. 4.求函数1 ()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++的单调区间. 题组2： 1.讨论函数43 22411()(0)43 f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数3 2 ()3912f x x ax x =+--的单调区间. 3.求函数321()(2)4132 m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-的单调性. 题组3： 1.设函数3 2 ()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 在区间21()33 --， 是减函数,求a 的取值围． 2.(1)已知函数2 ()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,数a 的取值围. (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,数a 的取值围. 3.已知函数3 2 ()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a="b=" -3时，f （x ）=(x+3x-3x-3)e ，故 = (3) 分 当x<-3或0 导数及应用（２） 1.设)12ln()(2++=x b x x f )0(≠b ○1若)(x f 为增函数，求b 的范围 ○2若1=b ，求证对任意正整数n ，不等式)(n f n <恒成立 2.)(x f 为定义在),0(+∞的非负可导函数，且0)()('≤+x f x xf 对任意正数a, b 若b a <，则必有 Ａ.)()(a bf b af ≤ Ｂ. )()(b af a bf ≤ Ｃ. )()(b f a af ≤ Ｄ. )()(b bf a af ≥ 3.1)(32+++=x x ax x f ○1讨论)(x f 单调区间 ○2若)(x f 在)31 ,32 (--为减函数，求a 取值范围 4.设,0(ln 1 )(>=x x x x f 且)1±x ○1求)(x f 单调区间 ○2a x x >1 2对任意)1,0(∈x 成立，求a 的范围 1.1)(3++=x ax x f 有极值充要条件为 Ａ.0>a Ｂ. 0≥a Ｃ. 0 5.)1(ln )1(21 )(2>-+-=a x a ax x x f 证明：若5--x x x f x f 6.证明121 sin 2121212........654321+<+<-???n n n n 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数第2节 导数的应用（1）单调性 1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4 ()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性； 2.(优质专题广东文21）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间； 3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2 2 2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； 4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()() 21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； 5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4 3 x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性. 6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1 ax b f x x += +． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性； 7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性. 8.（优质专题山东文20（1））设()()2 ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R . （1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； 9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性. 10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()() 2 e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性； 南昌市高考数学一轮基础复习：专题3 导数及其应用B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2017高二下·宜春期中) 已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（） A . 函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点 B . 函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点 C . 函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点 D . 函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点 2. （2分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（） A . （﹣∞，）∪（1，2） B . （﹣1，1）∪（1，3） C . （﹣1，）∪（3，+∞） D . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 3. （2分）由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于（） A . 3 B . C . 1 D . 4. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的切线方程为，则（） A . 2 B . 1 C . 3 D . 0 5. （2分） (2019高二下·丰台期末) 已知是定义在上的奇函数，，当时， ，则使得成立的的取值范围是（） A . B . C . D . 6. （2分）已知f(x)＝x3＋x ，若a，b，，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值（） A . 一定大于0 B . 一定等于0 C . 一定小于0 D . 正负都有可能 7. （2分）定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A . B . C . D . 8. （2分）设函数，则是（） A . 奇函数，且在（0,1）上是增函数 B . 奇函数，且在（0,1）上是减函数 C . 偶函数，且在（0,1）上是增函数 D . 偶函数，且在（0,1）上是减函数 9. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣， ]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2 的解集为（） A . （，） B . （﹣，） C . （0，） D . （﹣，） 10. （2分） (2016高二下·江门期中) 设函数f（x）= +lnx，则（） (1)当aHb 时，讨论函数f (X)的单调性; 全国名校高中数学二轮专题提分优质专题汇编(附详解) 导数第2节 导数的应用(1)单调性 1.(优质专题天津文 20( 1))已知函数f(x) =4X -X 4 ,X 迂R ,求f(x)的单调性; 4.(优质专题全国2文21(1))设函数f (x ) = (1 —x 2 )eX . (1)讨论f ( X )的单调性; 2.(2013 广东文 21)设函数 f(x) = x 3-kx 2+x (k 迂 R ). (1)当k =1，求函数f (x)的单调区间; 3 2 4 5.(优质专题重庆文19 (1))已知函数f ( x )= ax 3 +x 2 ( a W R )在x = -—处取得极值. 3 若g (X ) = f ( X )eX ，讨论g (X )的单 调性. 3.(优质专题四川文21 (1))已知函数f(x)=-2xlnx + x 2 -2ax+a 2 ，其中a>0. 6. ( 2013湖北文21) 设a^O ，b^O ，已知函数 ax+ b 设g (X )为f (X )的导函数，讨论g (X )的单调性; 心x+1 全国名校高中数学二轮专题提分优质专题汇编(附详解) 7.(优质专题江苏19( 1))已知函数f (x)= x' + ax2 +b(a,b壬R).试讨论f(x)的单调性. 9.(优质专题新课标2卷文21(1))已知函数f ( X)=lnx+a 1- X).讨论f ( X)的单调性. 8.(优质专题山东文20( 1))设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a迂R . 10.(优质专题全国1文21*( 1))已知函数f( x)= e x(e x-a)—a2x. (1)令g(x )= f '(X )，求g(x )的单调区间; (1)讨论f(X)的单调性; 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．导数及导数应用专题练习题
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