直线的点法向式方程

11.1直线的方程（2）

教学目标：掌握直线的点法向式方程.

教学难点：理解直线的点法向式方程的推导；法向量和方向向量的转化.

知识链接：

1.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a //”的充要条件是

2.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a ⊥”的充要条件是 学习探究：

探究1：已知直线l 过点)1,3(-P 且与向量)1,2(-=n 垂直，思考并回答下列问题：

（1）这样的直线是唯一的吗？（2）若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式.

探究2：已知直线l 过点),(00y x P 且与非零向量),(b a n =垂直，若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式.

例题：在ABC ?中，已知()()1364--，，，B A 和()54-，

C ，求： （1）高A

D 的方程. （2）BC 边的方程（2）BC 边的中垂线l 的方程.

思考1：向量),(),,(),(b a t b a n b a m -=-==与有怎样的位置关系？

思考2：如何根据直线方程求该直线的法向量和方向向量！！！！！

0:=++c by ax l ，则法向量=n 方向向量=d

练习1：已知直线l 经过A （-3,4）、B （2，-1）两点,且与向量),1(m n =垂直，求m

练习2：已知21n n 、分别是直线21l l 与的法向量，则“21l l ⊥”是“21n n ⊥”的（ ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件 写出下列直线方程的一个法向量n ：

（1）y x 312=- （3）3=y （4）02=+x 作业（2014.12.23）

1.写出下列直线的一个法向量和一个方向向量

（1）直线0123=--y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d

（2）直线62)1(3=--y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d

（3）直线01=-x 的一个法向量=n 一个方向向量=d

（4）直线0=y 的一个法向量=n 一个方向向量=d

（5）直线

3

221+=-y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d

2.依据下列条件，求出直线l 的点法向式方程：

（1）过点P （2，-3），与向量)2,3(-=n 垂直.

（2）过点P （-3，0），方向向量)5,3(=d ；

3.先求过点A （3，0），B （-2，1）两点的直线的点方向式方程，再化为一般式.

4.在ABC ?中，()()1364--，，，B A ，()54-，

C ，求中线BM 、高CN 的一般式方程.

5.求经过点A （1，-3），且与直线0123=+-y x 平行的直线方程.

6.求经过点A （1，-3），且与直线0123=+-y x 平行的直线方程.

(推荐)高中数学直线与方程知识点总结

直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，

如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2

直线的方向向量与点向式方程

《直线的方向向量与点向式方程》教学设计 授课教师专业、班级 授课类型新授课时第1课时 所在册第二册所在章节第九章第1.1节 课题内容直线的方向向量与点向式方程 一、教材及单元内容分析 1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。 2．本章内容分析：本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.) 3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基 础。直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质. 二、学情分析 学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技 之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学 了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试 不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做 作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到 玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。 三、教学目标 知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程. (2)理解直线的点向式方程的推导过程. 能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程. 情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。 培养学生观察和归纳的能力。 四、教学重点与难点 【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程.. 【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程.. - 1 -

直线与方程(经典例题)

直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0

公开课教案---直线的点向式方程

公开课教案 课题：直线的点向式方程. 授课人：罗华光（邻水职中） 教学目标： 1．理解直线的点向式方程的推导过程，掌握直线的点向式方程. 2．会运用直线的点向式方程. 3．培养学生数形结合的思想和转化的思想和能力. 4．培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点：直线的点向式方程. 教学难点：直线的点向式方程的推导. 教学方法：讲授法. 教学过程： 一、复习回顾 在第七章我们学习了向量共线（或平行）的概念，如图9-1.是一定点，是过点与共 线（或平行）的直线，为上的任一点，由向量共线（或平行）可知，一定存在一个实数， 使＝， 二、问题情境 已知直线过一个一点且和一个非零向量共线（或平行），这条直线是否唯一确定？.（学生动手验证）今天我们来推导已知直线过一个点且和一个非零向量共线（或平行）的直线的方程(教师将导入语叙述到这时板书课题)

在直角坐标系中，已知点(，)(图9－1)，我们来求过点，并且与非零向量 共线（或平行）的直线的方程.其中叫做直线的方向向量. 设(，)是一动点，点∈的充分必要条件是与共线（或平行），即 ＝，∈，(1) 将(1)换用坐标表示，得(－，－)＝(，)，即(2) 消去参数，得(－)－(－)＝0 (3) 在方程(2)中，如果≠0，≠0可得到(4) 方程(3)和(4)都叫做通过(，)，方向向量为＝(，)的直线的点向式方程. 特别地， 当＝0(此时≠0，否则为零向量)时，则由(3)式得到方程＝， 它表示通过(，)，且平行于轴的直线(图9–2(1)). 当＝0(此时≠0，)则由(3)式得到方程＝， 它表示通过(，)，且平行轴的直线(图9–2(2)). 有了直线的点向式方程，只要知道直线上一点的坐标和一个方向向量，就可以直接根据直线的点向式方程求出直线的点向式方程.

直线的方程知识点及题型归纳总结

直线的方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 斜率与倾斜角 我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。 x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合 的直线的倾斜角为0，倾斜角不是 2 π 的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。 当0k =时，直线平行于轴或与轴重合； 当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式 1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式 12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式 121212tan (,)2 y y k x x x x π αα-= =≠≠- 3.直线方程的几种形式 （1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+ （3）两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。 注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式： 1x y a b +=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。 （5）一般式：2 2 0(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =r 是这 条直线的一个法向量）

最新直线与方程和圆与方程-知识点总结

第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤

直线的点法向式方程

11.1直线的方程（2） 教学目标：掌握直线的点法向式方程. 教学难点：理解直线的点法向式方程的推导；法向量和方向向量的转化. 知识链接： 1.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a //”的充要条件是 2.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a ⊥”的充要条件是 学习探究： 探究1：已知直线l 过点)1,3(-P 且与向量)1,2(-=n 垂直，思考并回答下列问题： （1）这样的直线是唯一的吗？（2）若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式. 探究2：已知直线l 过点),(00y x P 且与非零向量),(b a n =垂直，若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式. 例题：在ABC ?中，已知()()1364--，，，B A 和()54-， C ，求： （1）高A D 的方程. （2）BC 边的方程（2）BC 边的中垂线l 的方程. 思考1：向量),(),,(),(b a t b a n b a m -=-==与有怎样的位置关系？ 思考2：如何根据直线方程求该直线的法向量和方向向量！！！！！ 0:=++c by ax l ，则法向量=n 方向向量=d 练习1：已知直线l 经过A （-3,4）、B （2，-1）两点,且与向量),1(m n =垂直，求m 练习2：已知21n n 、分别是直线21l l 与的法向量，则“21l l ⊥”是“21n n ⊥”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 写出下列直线方程的一个法向量n ：

高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1．掌握直线的一般式方程； 2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处； 3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 要点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为 A C y x B B =--，它表示过点0, C B ?? - ? ?? ，斜率为 A B -的直线． 当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即 C x A =-，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0， 也可以是 11 22 x y -+=，还可以是4x―2y+2=0等．） 要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 要点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 要点三：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

(完整版)高中直线方程知识点总结

直线方程. 一．直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0， 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率: 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在. 二．直线方程的几种形式： x ααtan =k ο90=α12x x =l x

(三）位置关系判定方法： 当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件） 直线过定点 如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m -6=0,不论m 取何值恒过定点（-1，2） 四. 直线的交角： ⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 1l 2l 1l 2l 1l 2l θ),0(πο90≠θ2 11 21tan k k k k +-= θ1l 2l 1l 2l 1l 2l θ1l 2l ?? ?? ? 2,0πο90≠θ2 11 21tan k k k k +-=θ

五. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有. 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：. 特例：点P(x,y)到原点O 的距离： 2. 过两点. 当（即直线和x 轴垂直）时，没有斜率 ⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 ，它们之间的距离为，则有. 注；直线系方程 1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ?R, C ≠m ). 2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ?R) 3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0) 4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ?R ） 注：该直线系不含l 2. 六. 关于点对称和关于某直线对称： ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. ),(00y x P P C By Ax l ,0:=++l d 2 2 00B A C By Ax d +++= 21221221)()(||y y x x P P -+-=||OP =1 21 2222111),(),,(x x y y k y x P y x P --= 的直线的斜率公式：12()x x ≠2121,y y x x ≠=)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++d 2 2 21B A C C d +-=

高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结

高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程 一、知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两 点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直， 斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

高中直线与方程知识点解析及经典例题

高中数学必修2知识点——直线与方程 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即0tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0

例：直线053=-+y x 的倾斜角是( ) ° ° ° ° （3）直线方程 ①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式： 11 2121 y y x x y y x x --= --（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。 ④截矩式：1x y a b += 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。 ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○ 1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

直线方程知识点总结

直线方程知识点总结 一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角1 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ、与x轴相交; ⅱ、x轴正向; ⅲ、直线向上方向、2 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为、3 倾斜角的范围、4 ；（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。②经过两点（）的直线的斜率公式是（）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为，则注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式为斜率，是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式是直线在x轴

上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y 轴或过原点的直线一般式，，为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）（3）若，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式若两点，且线段的中点的坐标为，则 3、过定点的直线系①斜率为且过定点的直线系方程为；②过两条直线, 的交点的直线系方程为（为参数），其中直线l2不在直线系中、 三、直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2、几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点与任一点的距离（2）点到直线的距离点到直线的距离（3）两条平行线间的距离两条平行线, 间的距离（注意：1 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）补充： 1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）、已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子

直线和圆的方程知识点总结

一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1 l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线???=++=++0:0:222 21111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++=. 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221) ()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λ λλλ++=++= 1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --= 的直线的斜率公式：. 12()x x ≠ 当2121,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α＝?90，没有斜率王新敞 ⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有222 1B A C C d +-=. 注；直线系方程 1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ?R, C ≠m ). 2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ?R) 3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0) 4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ?R ） 注：该直线系不含l 2.

直线与方程知识点总结

直线与方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

直线与方程知识点总结 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率 ①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则21 2121 ()PQ y y k x x x x -=≠- ②斜率的范围：k R ∈ (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式： 11 12122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

直线的点方向式方程

直线的点方向式方程数学教研组孙贤欢 教学目标： 1、理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程。 2、学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养。 3、培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。 教学重点：直线的点方向式方程。 教学难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导。 教学过程：…… 师：两点能够确定一条直线，假如拿掉 一个点（板书：擦掉一个点），换一 个怎样的条件，那么也能够确定一 条直线呢？ 生：方向 师：很好，那么今天我们主要研究一下当一条直线的方向和一个非零向量平行的情况！ 直线l过点()0 ,y x P，且与非零向量()v u, =平行，求直线l上任意一点()y x Q,满足的关系式？同时给出方向向量的定义！ ╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝╚╝ 2、关于探究教学。整节课为学生创设了主动学习的时间和空间，使学生在独立思考的基础上，与他人合作交流，共同去试验、思考、解释，经历“再创造、再发现”的过程。对于给定条件，而结论开放的探究型命题的证明，由于学生思维结构的差异和时间的限制，学生的命题无法一一在课上进行解答。教师需事先对学生可能想到的结论作一个估计，出现冷场时教师可先找一个例子作为引子；即便学生探究时出现错误，也应从鼓励学生积极思考的角度出发，进行点评。 3、关于一题多解：学生的知识结构、思维方式是不同的，需要遵循学生在活动中的求异思维和创新精神，尊重学生个性的张扬，鼓励学生多角度多方法的求证。当然，教师要对方法的方向适时地引导。点评（高级教师姚建新）： 二期课改的理念是以学生为中心，培养学生的能力，余老师的《不等式的基本性质》一课，在课堂教学中体现了新课程理念下的教学方式，从学生崇拜的偶像—刘翔，创设问题情景，激发学生的学习热情，采用探究教学方式，围绕不等式的基本性质引导学生主动提出问题、探究问题，确立了学生的主体地位，余老师以问题链的形式出现，问题是探究的核心，有思必有疑，有疑必有问，“问”是创新意识的具体体现，在探究、学习的过程中，学生积极、主动、兴奋地参与到这样的过程中，既尊重学生的个性，展现了知识的发生、发展过程，又学生的能力得到了真正发展，是一堂真正落实二期课改三维目标的好课。

必修2直线与方程知识点总结与题型

第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<