2014年上海中学自招数学试卷
2014年上海中学自招数学试卷
一. 填空题
1. 已知111a b a b +=+，则b a a b +=
2. 有 个实数x ，可以使得120x -为整数
3. 如图，ABC V 中，AB AC =，CD BF =，BD CE =，
用含A ∠的式子表示EDF ∠，则EDF ∠=
4. 在直角坐标系中，抛物线223
4
y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两
点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足1123OB OA -=，则m = 5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆 A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有 个可能的值
6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有 一船不空也不满，则学生共有 人
7. 对于各数互不相等的正整数组12(,,,)n a a a ???（n 是不小于2的正整数），如果在i j <时有i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组123(,,,a a a 456,,)a a a 的逆序数为2，则654321(,,,,,)a a a a a a 的逆序数为
8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式
11102119
n x n <<+有唯一的整数解的n 的最大值为
二. 选择题
9. 已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，
则符合条件的整数a 的个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
10. 如图，D 、E 分别为ABC V 的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设ABM V 面积为1S ，ACN V 面积为2S ，则 （ ）
A. 12S S >
B. 12S S =
C. 12S S <
D. 无法确定
11. 设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则（ ）
A. 甲必有实根，乙也必有实根
B. 甲没有实根，乙也没有实根
C. 甲、乙至少有一个有实根
D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
12. 设222212310071352013a =+++???+，2222
12310073572015
b =+++???+，则以下四个选项中最 接近a b -的整数为（ ）
A. 252
B. 504
C. 1007
D. 2013
三. 解答题
13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.
（1）线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；
（2）若30BAC ?∠=，45CAD ?∠=，4AC =，求MN 的长.
14. 是否存在m 个不全相等的正数1a 、2a 、???、m a (7)m ≥，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 1-
2. 11
3. 1
902
A ?-∠ 4. 2 5. 11 6. 44 7. 13 8. 220
二. 填空题
9. C 10. B 11. C
12. B
二. 解答题
13.（1）垂直；（2.
14. 6m k =，2k ≥，k 为正整数.