导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析

一、内容安排

本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分.

导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数.

这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”.

导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法.

微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的.

本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考）

3. 1导数的概念 ............. 约3课时

3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时

3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时

3. 4复合函数的导数............. 约2课时

3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时

3. 6函数的单调性............. 约1课时

3. 7函数的极值 ............. 约2课时

3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时

3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时

小结与复习.............. 约2课时

二、教学目标

1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2.熟记基本导数公式：

c 0 , (c 为常数),(x n) nx n 1, (sin X) cosx , (cosx) sin x

3.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.

4?了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数.

5.会求指数函数和对数函数的导数 * （熟记e x, a x, Inx , log a X的导数公式）

6?会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般是指单峰函数）的最大值与最小值.

7?通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想.

三、重点与难点

从教学角度考虑本章的重点之一是：根据导数定义求简单函数导数的方法.一方面，按导数的定义求导数可以帮助学生进一步理解导数的概念；另一方面，像两个函数四则运算的求导法则，复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数.

从学生掌握知识的角度考虑本章的重点之二是：掌握利用导数判别可导函数极值的方法.教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大（小）值的判定，其中最关键的是可导函数极值的判别定.通过判定可导函数

的极值，可以使学生加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解；并且，掌握了可导函数极值的判别法之后，再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法，就不成问题了.

难点之一：对导数概念的理解?一方面，导数的概念建立在极限的思想上，因此它比较抽象；另一方面，导数概念的定义方法学生不太熟悉.教学中，应结

合光滑曲线的斜率，非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景，从物理和几何两方面入手引导学生逐步理解导数的概念.

难点之二：求实际问题（包括科技、经济、社会中的）的最大值与最小值*在掌握可导函数极值的判别法之外，判定可导函数的最值并不困难，但对一些实际问题，往往会遇到障碍*这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相应的函数关系（即建模）

四、教材主要特点

（一）加强知识发生过程的学习

学生开始接触的知识，关键是对导数的基本概念、性质等有一个初步的认识，进而达到能够运用由其内容反映出来的数学思想和方法的目点*为此，适当介绍有关概念、性质的来龙去脉，对学生了解、把握它们是十分必要的* 本章的主要概念是导数，教科书在讲述导数的概念时，首先用比较多的篇幅介绍了导数产生的几何背景一一光滑曲线的切线的斜率，以及物理背景一一瞬时速度，由此引

c 0 , (c 为常数),(x n) nx n 1, (sin X) cosx , (cosx) sin x 出函数在一点的导数的定义.接下来，又阐述了导数的几何意

义，这样处理，符合学生的认识规律，有利于学生正确理解和掌握导数的意义函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值是导数应用的具体内容，为了使学生能够正确地运用相应的方法，教科书首先从几何直观上让学生了解这此概念，进而引出它们与导数的关系，从而获得解决问题的方法，这样处理，符合知识的发生和发展过程及学生的认识规律，有利于学生正确理解和运用相应的方法.而整章从介绍光滑曲线的斜率，以及物理背景一一瞬时速

度（知识的发生），到导数的概念和基本函数的导数及有关求导法则（知识的发展）直到最后导数的应用，更是遵循了微积分建立的历史过程.

（二）降低理论要求，重视数学应用

学习导数，要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作

中的问题*高中阶段，在导数概念的严谨性、知识的系统性上多花时间与精力，既没有

必要也不可能收到明显的效果.因此，与以往高中教材中的导数部

分比较，本章在数学应用的内容上适当加强了，而在理论要求上则有所降低?

本章导数的初步知识中介绍了一此导数公式与求导法则，教材侧重的是公式在求导中的应用，而淡化（或删除了）公式与法则的理论推导.

例如，在导数公式中，函数x m的导数公式只给了m是正整数情况下的证明，函数sinX、COSX的导数公式则没有给出证明；（对数函数与指数函数的导数公式没有给出

证明，是因为超出了目前的学习范围），在两个函数四则运算的求导法则中，没有给出商的求导法则的证明，没有给出复合函数求导法则的证明

（最近册去）这些都表明皆在降低理论要求.

五、教学中应注意的问题

（一）突出教学重点，把握教学要求

为了提高教学效率，在每个知识的教学中，一定要抓住重点，并把握好教学要求

的深度和广度*

1. 3.1导数概念中，学习导数概念的实际背景时，侧重点应放在瞬时速度

的讲授上，而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料.是因为所汲及地物理背景

比较贴近学生的生活经验，学生容易理解?可关于曲线的切线，在对极限的思想

还不熟悉的时候，要学生体会“PQ是曲线的割线，当点Q沿着曲线无限接近于

点P时，如果割线PQ有一个极限位置，则直线叫做曲线在点P处的切线”这个

定义，比较困难.

在导数的定义中，应抓住增量y的意义，增量X可正可负，它只是一个

f（X0 X） f（X0）的意义和特

lim —y

改变量*强调定义式f（x0）

lim

"x 0 X "x 0

征*

2.对于导数公式和两个函数的和、差、积、商的求导法则，不需要补充介绍其证明，但要熟记公式和法则，关键是能让学生运用它正确地求简单的初等函数的导数，简单的初等函数把握在习题、复习题的形式为宜，避免过于复杂的运算.

3.复合函数的导数，只需要掌握它的法则，在这里一定要控制好习题的难度（一般可控制在幕函数中的复合，和正弦函数、余弦函数构成的复合函数中，复合的次数一般可控制在两次以内）.

4.导数应用部分，重点让学生掌握求简单函数极值和单调区间的方法；根据函数图象，利用直观的方法让学生理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的量值与导数的关系.

5?了解通过介绍微积分建立的时代背景和历史意义.

（二）注意知识的纵横联系，交叉综合.

学习导数的知识，从纵向看，要与前一章的“极限”知识特别是高一所学的函数知识相联系，从横向看，要重视与物理知识和实际知识的联系.

在本章之前，学生已经学过一些函数的知识.高一所学的一次、二次函数、

分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是研究导数的具体函数，简单的初等函数也由它们复合而成，是学习导数的基础而函数的单调性和最大值、

最小值问题前面已有涉及，但使用的是初等方法，能解决的是几类典型的问题，而求导的方法更具有一般意义，让学生加以对比可以对学生导数的必要性有更深的认识.

此外，我们所学的导数是用极限方法定义的，因此，本章与前一章“极限” 联系也十分密切.微积分从它的产生到发展，与物理有着密不可分的联系.教学中，一方面，借助实际问题的物理背景，可以帮助学生理解导数的有关概念；另一方面，本章所学的导数的应用，不少是物理的实际问题.

（三）重视对知识应用意识的培养

导数非常明显的特征就是和实际问题联系的紧密性和它的应用性.应用意识的培养一方面可以通过解决大量的实际问题来实现，另一方面也可以通过介绍微积分建煌时代背景和历史意义，使学生明白数学源于生活实际，又应用于生活实际，同时培养学生探索和创新的精神.