全等三角形解答题--答案
2016暑假作业(七)
全等三角形解答题答案
参考答案与试题解析
一．解答题（共28小题）
1．（2012?）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：AD∥BC．
【解答】证明：∵AC、BD交于点O，
∴∠AOD=∠COB，
在△AOD和△COB中，
∵
∴△AOD≌△COB（SAS）
∴∠A=∠C，
∴AD∥BC．2．（2016?重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD．求证：EF∥CD．
【解答】证明：∵AE∥BD，
∴∠A=∠B，
∵AC=BF，
∴AC+CF=BF+CF，
∴BC=AF，
在△EAF和△DBC中
∵，
∴△EAF≌△DBC（SAS），
∴∠EFA=∠BCD，
∴EF∥CD．
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3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，
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∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，
∴∠AGC=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
4．（2014?）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
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（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH ⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF 都是钝角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
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5．（2013?）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是DE ∥AC；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是
S1=S2．
（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
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又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，
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∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°=2÷=，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF 的长为或．
6．（2013?）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B
重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB
的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，
QE与QF的数量关系式QE=QF；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的
数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的
结论是否成立？请画出图形并给予证明．
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【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF，理由是：如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°，
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF；QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
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∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中，
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
7．（2013?涪陵区校级模拟）如图，△ADE的顶点D在△ABC的BC边上，
且∠ABD=∠ADB，∠BAD=∠CAE，AC=AE．
求证：BC=DE．
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【解答】证明：∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
∵在△ABC和△ADE中，
．
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC=DE．
8．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE 拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，
即∠BAM=∠CAM，
在△ABM和△ACM 中，，
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∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC；
（2）MB=MC．
理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD=BE′，CE=CF，
∵M是ED的中点，B是DE′的中点，
∴MB∥AE′，
∴∠MBC=∠CAE，
同理：MC∥AD，
∴∠BCM=∠BAD，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠MBC=∠BCM，
∴MB=MC；
（3）MB=MC还成立．
如图4，延长BM交CE于F，
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME，
在△MDB和△MEF 中，，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF，
∵∠ACE=90°，
∴∠BCF=90°，
∴MB=MC．
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9．（2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．
求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
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∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD．
10．（2009?）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其
中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交
AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，
其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜
想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，
其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写
出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
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【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），
∴BC=BE，AC=DE．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°．
∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE．
∴CF=EF．
又∵AF+CF=AC，
∴AF+EF=DE．
（2）解：画出正确图形如图②
∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；
（3）不成立．
证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
，
∴△BCF≌△BEF（HL），
∴CF=EF；
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．
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11．（2015?）如图，已知∠ABC=90°，D 是直线AB 上的点，AD=BC ． （1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF=BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；
（2）如图2，E 是直线BC 上一点，且CE=BD ，直线AE 、CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）△CDF 是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF ⊥AD ，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC ， 在△FAD 与△DBC 中，
，
∴△FAD ≌△DBC （SAS ）， ∴FD=DC ，
∴△CDF 是等腰三角形， ∵△FAD ≌△DBC ， ∴∠FDA=∠DCB ， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF 是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，
∴∠APD=∠FCD=45°．
12．（2016?）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点
A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的
结论．
【解答】证明：（1）①如图1，
∵AB⊥AD，AE⊥AC，
∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，
∴∠1=∠2，
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在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
②如图1，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AEC=∠3，
在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠BCE=90°，
∵AH⊥CD，AE=AC，
∴CH=HE，
∵∠AHE=∠BCE=90°，
∴BC∥FH，
∴==1，
∴BF=EF；
（2）结论仍然成立，理由是：
如图2所示，过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，
∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，
∴∠2=∠CAD，
∵MN∥AH，
∴∠3=∠HAE，
∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，
∴∠ACH=∠HAE，
∴∠3=∠ACH，
在△MAE和△DAC中，
∵
∴△MAE≌△DAC（ASA），
∴AM=AD，
∵AB=AD，
∴AB=AM，
∵AF∥ME，
∴==1，
∴BF=EF．
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13．（2015春?鄄城县期末）如图1，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的一条直线，且点B ，C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于点D ，CE ⊥AE 于点E ．
（1）BD=DE+CE 成立吗？为什么？
（2）若直线AE 绕点A 旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD 与DE ，CE 关系如何？请说明理由．
【解答】解：（1）BD=DE+CE 成立，
∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， ∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90° ∴∠ABD=∠CAE ， ∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
∵，
∴△ABD ≌△CAE （AAS ）， ∴BD=AE ，AD=CE ， ∵AE=AD+DE ， ∴BD=DE+CE ； （2）BD=DE ﹣CE ；
∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， ∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE﹣CE．
14．（2015秋?微山县期末）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点
D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）．求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）．那
么图中是否存在与AM相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．
∴∠CAE=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，
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，
∴△AEC≌△CGB（ASA）．
∴AE=CG．
（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．
∴∠CMA=∠BEC．
∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△CAM和△BCE中，
，
∴△CAM≌△BCE（AAS）．
∴AM=CE．
15．（2015秋?丰润区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E 为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）AF=CG；（2）DG=CF；
（3）直接写出CF与DE的数量关系．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC
∴△BCG≌△CAF，
∴BG=CF；
（2）连接AG，如图1所示：
在△ACG与△BCG 中，，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
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