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巧求幅角主值

定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题(教师版) https://www.wendangku.net/doc/2616164327.html,work Information Technology Company.2020YEAR

定弦定角最值问题（答案版）【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．2441- 解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90° ∴AO ′＝5 又O ′B ＝O ′C ＝4 ∴AD ＝5－4＝1 【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（） A ．213- B ．213+ C ．5 D ．9 16 解：连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB ＝∠AED ＝90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-

【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．324- 解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135° 如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴O ′B ＝O ′C ＝4 又∠ACO ′＝90° ∴AO ′＝5 ∴AD 的最小值为5－4＝1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（） A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+

定弦定角最值问题含答案

精品文档定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）【一般解题步骤】 ①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置，计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

精品文档．精品文档24△＝D为，∠ACB3，BC＝45°，△【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，ABC中，AC ＝，CP于交⊙OP点，交BC于E点，弧AE＝ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD）则AD的最小值为（ 2 ．． C DA．1 B．2 2?441 ACB＝45°解：∵∠CDP＝∠ （定弦定角最值）BDC∴∠＝135°有最小值如图，当AD过O′时，AD 135°∵∠BDC＝BO∴∠′C＝90° ∴△BO′C为等腰直角三角形 ′＝45°＋45°＝90°∴∠ACO5 ∴′＝AO4 C＝B＝O′又O′1 4＝AD＝5－∴为直径作圆，连接AD为AC上一动点，以5AC＝3，BC＝，且∠BAC＝90°，D】【例2如图，）CEBD交圆于E点，连，则CE的最小值为（ 162213?13? D．AC．．5 B ．9 ：连接AE解的直径∵AD为⊙O AED∴∠AEB＝∠＝90° ∴E点在以AB为直径的圆上运动 213?CE有最小值为过圆心当CEO′时，

最值问题(定弦定角定线段)

最值问题专题训练一、定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．2 41- 4 【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（） 16 A．2 13+C．5 D． 13-B．2 9 【练习1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM 上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．3 4- 2 【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为3 2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（） A．3 6 12+B．3 4 6+ 12+D．3 3 6+C．3 3

【练习2】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（） A ． 21 B ．22 C ．23 D ．4 3 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________ 【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________ 【练习3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值知识要点：一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ i sinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ+ i sinθ）其中z r =θ为复数z的辐角。 ②非零复数z辐角θ的多值性。为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角因此复数z的辐角是θ+2kπ（k∈z） ③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。

定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

何量z z z z z 1221→ -=对应于与复数z 2－z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

定弦定角最值问题(教师版)

解：连接CD ∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135° 如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴O ′B ＝O ′C ＝4 又∠ACO ′＝90° ∴AO ′＝5 ∴AD 的最小值为5－4＝1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（） A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+ 【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（） A ． 21 B ．22 C ． 2 3 D ．43

(完整版)定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）【一般解题步骤】 ①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置，计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．2441- 解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90° ∴AO ′＝5 又O ′B ＝O ′C ＝4 ∴AD ＝5－4＝1 【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（） A ．213- B ．213+ C ．5 D ．9 16 解：连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB ＝∠AED ＝90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．324-

最值问题(定弦定角定线段)教学提纲

最值问题(定弦定角定线段)

最值问题专题训练一、定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2 D．2 41- 4 【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（） A．2 13+C．5 13-B．2 16 D． 9 【练习1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P 在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3 4- 2

【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（） A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+ 【练习2】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（） A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________

A B C D P 【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________ 【练习3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________ 4．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有 2 2 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ 5．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________ 二、定角、定线段与定圆问题

高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值知识要点：一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ）其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ 叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

arg z 2=∠xoz 2=θ 2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0）除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。二、基本方法求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式如求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44 -i １２（）＝１２［（－４）＋（－４）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ -4（k z ∈）辐角主值为74 π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

复数的三角形式及乘除运算

复数得三角形式及乘除运算一、主要内容: 复数得三角形式,模与辐角得概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义、二、学习要求： 1、熟练进行复数得代数形式与三角形式得互化,会求复数得模、辐角及辐角主值、 2、深刻理解复数三角形式得结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式、 3、能够利用复数模及辐角主值得几何意义求它们得范围（最值）、 5、注意多 4、利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算得几何意义解决相关问题、? 种解题方法得灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法、三、重点: 复数得代数形式向三角形式得转换，复数模及复数乘除运算几何意义得综合运用、四、学习建议: １、复数得三角形式就就是彻底解决复数乘、除、乘方与开方问题得桥梁,相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式得转化就就是非常有必要得、前面已经学习过了复数得另两种表示、一就就是代数表示,即Z=a+bｉ(a,b∈R)、二就就是几何表示,复数Z 既可以用复平面上得点Ｚ(a,b)表示，也可以用复平面上得向量来表示、现在需要学习复数得三角表示、既用复数Z得模与辐角来表示,设其模为r,辐角为θ，则Z=ｒ(cosθ+isinθ)(r≥0)、既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在得联系并能够进行互化、代数形式r=三角形式Ｚ＝a+ｂｉ(a,ｂ∈R) Z=r(cosθ＋iｓinθ)(r≥0）复数三角形式得结构特征就就是:模非负,角相同,余弦前,加号连、否则不就就是三角形式、三角形式中θ应就就是复数Ｚ得一个辐角,不一定就就是辐角主值、五、基础知识 ?１)复数得三角形式 ?①定义:复数z＝a+bi (a，b∈Ｒ)表示成ｒ(cosθ+ iｓiｎθ)得形式叫复数z得三角形式。即z=r(cｏsθ+ i sin θ）其中θ为复数z得辐角。 ?②非零复数z辐角θ得多值性。以oｘ轴正半轴为始边,向量所在得射线为终边得角θ叫复数ｚ=a＋bi得辐角因此复数z得辐角就就是θ＋2ｋ(k∈ｚ) ③辐角主值表示法;用ａｒｇz表示复数z得辐角主值。定义:适合[０,２)得角θ叫辐角主值唯一性：复数z得辐角主值就就是确定得,唯一得。 ④不等于零得复数得模就就是唯一得。 ?⑤z=0时,其辐角就就是任意得。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值得确定。(求法） ?这就就是复数计算中必定要解决得问题,物别就就是复数三角形式得乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其就就是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式就就是复数运算中极为重要得内容（也就就是解题术)复数在化三角式得过程中其模得求法就就是比较容易得。辐角得求法,辐角主值得确定就就是难点,也就就是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值得求法。 ?2)复数得向量表示 ?在复平面内与复数ｚ１、z2对应得点分别为ｚ1、z2（如图）何量

数学物理方法

第一章复数与复变函数 §1-1 复数和复数运算一、复数的基本概念 1、复数及其表示：对“数”的基本运算，仅有实数域R 是不够的，如16 世纪Cardaro 指出，二次方程x 2+2x+2=0 根为11?±?，这就产生了虚数的1?概念，记为：1?=i 。定义：虚数I ，其单位为i ，满足运算关系： 1;;1;1432=?=?=?=i i i i i [1] 实数R 与虚数I 构成复数域C 。其中的元素c ∈C ，记为： c= a + ib [2] 其中a,b ∈R。分别称为c 的实部和虚部，记为： c b c a Im ;Re == [3] 共轭复数：定义c 的共轭复数c *： c *=a-ib [4] 显然，c 和c *互为共轭，它们关于实轴对称。复数的模：如同实数的绝对值，复数的“大小”由模来表示，定义： 2/1*2/122)()(c c b a c ?=+= [5] 注：22c c ≠ 2、复变数及其表示：复数采用变量z 表示： ⑴ 代数式表示法： z=x+iy (x,y ∈R，z∈C ) [1] 它还有其他表示。 ⑵ 坐标表示法：二维有序实数集R ×R ： z=(x,y) [2] 如i= (0,1)。其共轭复数和模分别表示为： 22*);,(y x z y x z +=?= [3] ⑶ 指数式表示法： φρi e z = [4]

ρ即为复数的模；φ=Arg(z)为辐角。z 具有周期性：T Φ=2π。对应辐角φ具有多值性： φ=Arg(z)=arg(z)+ k2π (k∈Z) [5] 规定主辐角arg(z)范围： πρ2arg 0;0<≤∞≤≤z [6]（[-π，π]对称性更好）的z 值为主值。不特指，一般只写主值。如2πi e i =。共轭和模分别表示为： ρρφ==?z e z i ;* [7] 这两种表示法有鲜明的几何意义：复数可以由平面直角或极坐标坐标系中的一个点来表示，这个平面通常称为复平面。如图1所示：X 轴称为实轴；Y 轴为虚轴。由坐标之间的转换，两者的关系： ???==φρφρsin cos y x 或 ?????=+=x y tg y x /22φρ [8] 此外从图中可以看出：⑴ 共轭复数z 和z *关于实数轴(X-轴)对称；⑵ 模为复数点到原点的距离（线段）。规定：|z|=0,∞时，即复数在原点或无穷远点，辐角不定。它们也称支点。这可以由复数球给以解释。（同事物的不同表示方法，在数学上称为“同构”）。 3、复数公式： ⑴ 欧拉公式：由第[8]式和代数式表示： )sin (cos φφρi z += 与指数式比较，即有： φφφsin cos i e i += [9] [9]式是著名的欧拉公式。 ⑵ 隶美弗定理：反映了指数与三角函数之间的关系，同时可以用在一些计算中，如： )(221121)sin )(cos sin (cos φφφφφφ+=++i e i i [10] [10]式为隶美弗定理。

定弦定角最值问题复习过程

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题【例1】在△ABC中，∠ABC=60°，AC=6，求△ABC面积的最大值．【例2】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在CB、AB上，且AE⊥CF于G，连BG．则GB的最小值是_______． 1.如图，∠XOY= 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB= 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________． 2．如图正方形ABCD，AB=10，E、F分别为CD、AD上动点，且始终有CE=DF，连接CF、BE交于O点，连接AO，求△AOB面积的最小值【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）例1 例2 练习【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为3 2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC 的面积的最大值是（）【练】如图⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________ G A C E F O E D C B A

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值知识要点：一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ）其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。以ox 轴正半轴为始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题（答案版）【例11 （2016 ?新观察四调模拟 1）如图，△ ABC中，AC = 3 , BC = 4j2，/ ACB = 45° D为△ ABC内一动点，O O为^ ACD的外接圆，直线 BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（ D. 741 4^2 解：???/ CDP = / ACB = 45° ???/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过0时，AD有最小值 ???/ BDC = 135 ° ???/ BOC = 90 ° ?- △ BOC为等腰直角三角形 :丄 ACO = 45。+ 45 °= 90 ° ??? AO = 5 又 O B = O 'C= 4 ? AD = 5 — 4= 1 【例21如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于E 点，连CE,贝y CE的最小值为（ 2 C. 5 ?/ AD为O 0的直径 ???/ AEB = / AED = 90 ° ??? E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心 0时，CE有最小值为J13 1）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4运，/ ACB = 45° AM II BC，【练1 （2015 ?江汉中考模拟 BP交△APC的外接圆于点P在射线AM上运动，连 A . 1 B . C. ?

解：连接CD FAC = Z PDC = Z ACB = 45 ° BDC = 135 ° ???/ 如图，当AD过圆心0时，AD有最小值 ???/ BDC = 135° ???/ BO 'C = 90° 又/ ACO = 90° ??? AO = 5 ? AD的最小值为 5 — 4= 1 4P M D 【例3】（2016 ?勤学早四调模拟 1）如图，O O的半径为2,弦AB的长为2/，点P为优弧AB 上一动点，AC丄AP交直线PB于点C,则△ ABC的面积的最大值是（ C. 12 3^3 A. 12 6^3 B. 6 3 品 + 口016?学早佩?删一11帕如開，（50汩丰径etr：；■带』5凹艮尢？Jb点P糊:亚甘用上一可皿:丄处交直线戸母干怎G刚&1F匚的面积的眾"A灌是＜ A. 12+6 C L2+J 75 * 构诂H色BE崔歿扭摘汞眇三上P, 発罠二/肚的衆如杞.刖点C負的匪离最俎丁堪￡=2再?厶CA町…'点芒在O席上.斗仙=60%当点f为阀;曲旳中百时.点￡至］.松們距fflS丸1 此梅二勺豚CV=2祷+3』^^c=|x2^X(27143)=6+3^/5* 【练】（2014 ?洪山区中考模拟 1）如图，O0的半径为1, AC丄AP交直线PB于点C, C. 2 则△ ABC的最大面积是（ 2 也 4

定弦定角最值问题 (1)

九年级讲义：定弦定角最值问题 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD 交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（） 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（） 2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为3 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________

O A B C D P 【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于 E 、 F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________ 【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________ 针对练习： 1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有2 2 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ 2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ）其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤

定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．2441- 【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（） A ．213- B ．213+ C ．5 D ． 916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．324-

【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（） A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+ 【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（） A ． 21 B ． 22 C ． 23 D ． 4 3 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________

定弦定角

定弦定角整理解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60? 、45? ）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例题讲解：例1、（2016深圳二模）如图，在等腰Rt ABC ?中，90BAC ? ∠=，AB ﹦AC ，42BC =，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为．例2、（2014洪山区一模）如图，⊙O 的半径为1，弦AB ﹦1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积为．

例3、（2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．例4、（2016黄冈二模）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．

巩固练习： 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E ，连BE ，则BE 的最小值为． 2、直线4y x =+分别与x 轴、y 轴相交于点M ，N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交于点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是． 3、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的?AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在? AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为． 4、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是． 5、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为．

定弦定角最值问题(含答案)汇编

定弦定角最值问题(含答案)