200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形

1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009=

2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ．

3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab =

6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n=

9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21

c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ．

10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17

199562x y xy a b ++-+= .

11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111

()()()3+++++=-a b c b c a c a b ，

则a+b+c= .

12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a

- 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++=

15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++=

16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3

=abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于

17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是

18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y

++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y

x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ．

21.若正数m ，n 满足

43,+=m n = ．

22.已知a+b=8，ab=c 2

+16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y

+的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

25.已知ac b =2．试把222c b a ++分解因式，则222c b a ++＝ 。

26.若1)6=＝ 。

27.若,b a

c a c

b c b

a +=+=+那么abc a c c

b b a )

)()((+++= 。

28.已知实数a 、b 、x 、y 满足3,5ax by ay bx +=-=。则()()2222a b x y ++= ．

29.实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是 ．

30.实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,，则a+b= .

31.分解因式：xy y y x x -+--42222= ．

32.已知x ，y 满足，则x+y 的值为

33.已知：a 2b 2-6ab+a 2-2a+10=0 ,a,b 为实数， 则)20)(20(1

)2)(2(1

)1)(1(1

1

++++++++++b a b a b a ab 的值为 。

34.已知实数x ，y,z 满足1=+++++y x z

x z y

z y x ，则2

2

2

x y z y z z x x y ++=+++

35.若实数a 满足32233

1

132a a a a a a +-+=--，则1

a a +的值为

36.已知322(2)(1)1

520060,2x x x x x ---+--==-则

39.已知正实数a 、b 、c 满足方程组222229

218225a b ac b c ab c a bc ?++=?++=??++=?

,则a ＋b ＋c= 40.已知()()()214b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a

+＝ ． 42.已知,a b 为整数，且1111123a b a b a b a b a b ?? ???--= ? ??? ?-++??

满足，则a b +＝ 43.已知22214,a b c ++=a=b+c,则ab-bc+ac 的值为 。

44.设333199719961995z y x ==,0>xyz ,

且

,则

z

y x 111++= . 45.实数x 、y 满足x ≥y ≥1和2x 2

-x y -5x +y +4=0 . 则x + y = 46.设a ，b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是______。

47.已知a 2b-3c b-2c 3a c 3a 2b 234++++==,则2c

-3b a 3c 2b -a ++= ． 48.已知345x y y z z x

==+++则222x y z xy yz zx ++++= 49.a 、b 、c 为不等于零的实数，a+b+c ＝0，则a(

c 1b 1+)+b(a 1c 1+)+c(b 1a 1+)的值为 .

50.已知实数x ，y 满足方程(x 2+2x+3)(3y 2+2y+1)=3

4，则x+y= ． 51.已知23451345124512351234

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++==== 12345

a a a a k a +++=且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5≠0．则k 的值为 ． 52.已知实数a 、

b 、x 、y 满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a 2+b 2)xy+ab(x 2+y 2)= 。 53.已知261,2+=+=x y y z

,那么3z x += 。 54.因式分解：4x 2—4x －y 2

+4y －3= ． 55.已知：a 、b 满足a 3-3a 2+5a ＝l ，b 3-3b 2

+5b ＝5，则a+b ＝ . 56.计算：(3+1)2001-2(3+1)2000-2(3+1)1999+2 001=

57.计算：

22002=

58.正实数x ，y,z 满足xy=54+x+y ，yz=34+y+z ，zx=76+z+ x ，那么x+y+z+xyz= .

59.已知实数x 1、x 2、…、x 2002满足1x 1x 1x 200221-++-+- =2

1(x 1+x 2+…+x 2002)则，x 1+2x 2+…+2002x 2002

的值为=

60.已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2

+42≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．

61. 已知实数,,a b c 满足2a b =且21

04ab +=，则bc a

的值为

62.已知实数x ，y ，z 满足x+y ＝5及z 2＝xy+y 一9，则x+2y+3z ＝

63.实数,,a b c 满足222617,823,214,a b b c c c +=-+=-+=则a b c ++的值为

64.已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是 ．

65.实数x,y 满足x 2-2x-4y=5，则x-2y 的取值范围是

66.因式分解4x 3 -31x +15 =

67.若实数x ，y ，z 满足41

=+y x ，11=+z y ，37

1=+x z ，则xyz 的值为 .

68.已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +-++-+===+++-+-,则232

437a b c

a b c ++-=-++

69.已知实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，2221++=a b c ，则444a b c ++的值是＿＿＿.

70.如果实数a 、b 满足(a-2)2+b 2=3，则a b

的最大值是 ．

71.方程061

y x 21

y 311

xy 32

x 1211

22=+-+++的实数解是

72.若实数x ，y 满足(x+1x 2+)(y+1y 2+)=1则x+y=

73.满足a ＋b ＋c=0，abc=8的三个实数a ，b ，c 中，最大的一个实数至少等于

74.已知,5,7823,132-=-+-=+--=-+c b c b c a c a b a b a 则c

b a

c b a 375436-+++= 75.已知a 2+bc=14，b 2-2bc=-6．则3a 2+4b 2-5bc= 76.如果2421x x x ++=14，那么4225353x x x

-+= 77.如果实数x 、y 满足2x 2-6xy+9y 2-4x+4=0,

=

78.若13x x +=, 则3344173x x x x +

+++= 79.若a,b,c 是实数,且

2+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)2009=

80.若a,b,c 是实数,且

c 2+14=0,那么bc a 的值是 . 81.如果a 2

-3a+1=0,那么3

61a a +的值是 ． 82.已知a ≥b ＞0且3a ＋2b －6=ac ＋4b －8=0，则c 的取值范围是 ．

83.已知22112()0,0,0a b a b a b a b +≠≠++=+,那么a b

的值是 ．． 84.已知abc ≠0,且a b c a b c a b c c b a

+--+-++==,则()()()a b b c c a abc +++= ． 85.已知a 是实数，且使a 3＋3a 2＋3a ＋2＝0，那么（a ＋1）1996＋（a ＋1）1997＋（a ＋1）1998的值是 ．

87.若a,b,c 为实数,且111,,345ab bc ca a b b c c a ===+++,那么abc ab bc ca

=++ ．

88.已知1a a +=，则531a a

+的值等于 89.设a 2－b 2＝1＋2, b 2－c 2＝1－2，则a 4＋b 4＋c 4－a 2b 2－b 2c 2－c 2a 2

的值等于 。90.已知a 5－a 4b －a 4+a －b-1=0．且2a －3b=1，则a 3+b 3的值等于

91.已知均为实数，且 ,

92.x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6都是正数，且

2345613456124561235612346

12345123456

1,2,3,4,6,9,======x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x 则

x 1x 2x 3x 4x 5x 6=

93.已知a ，b ，c ．d 为正整数，且471

7(1)

,-+-==b d b d a c a c ，则c

a 的值是

94.若x 3+y 3=1000，且x 2y-xy 2=-496，则(x 3-y 3)+(4xy 2-2x 2y)-2(xy 2-y 3)= ．

95.若a ，b ，c ，d 为整数，(a 2+b 2)(c 2+d 2)=1993，则a 2+b 2+c 2+d 2= ．

96.若实数,x y ,满足22312120x y y +-+=，则x y =

97.已知22,240x y y y -=+-=，则x

y y -=

99.若实数对(x ，y)满足(x-3)2+(y-3)2=6，则y x

的最大值是 ． 100.分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3

＝ ． 101.若x-y ＝l ，x 3-y 3＝4，则x 13-y 13

＝ ． 102.已知：x y-xy y z-2yz x z-3zx x y 2xy y z 3yz x z 4zx +++==++++++，且231-x y z

=，则x y z ++= 103.若(x-1)(y+1)＝3，xy(x-y)＝4，则x 7-y 7

＝

104.已知实数x 2

=， 的值为 105.已知a 、b 、x 、y 为实数，且y+|x -2|-1=1-a 2，|x-4|=3y-3-b 2．则a+b+x+y=

106.设x ，y 为正实数，且xy = 1． z = 1x 4 + 1

4y 4 最小值是 ．

107.已知α是方程x 2

＋x －14＝0的根，则354321ααααα-+--的值等于 . 108.若 a 4 + b 4 =a 2–2a 2b 2 +b 2+6，则a 2 + b 2 = . 109.已知x 、y 满足22

524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为_______ 110.已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a=2005．若a

111.已知实数a ，b ，c ，满足a+b+c=0，2226++=a b c ，则a 的最大值为 .

112.已知240,4,mn p m n ++=-=则m+n 的值是 .

113.=m-n 的值为

114.若实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=9，那么代数式（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2的最大值为 ?．

115.已知a ＜3，b ＞3，且1a b k +=-， ab=3,则k 的最小整数值是 ．

116.若30350x y z x y z ，++=+-=，且x 、y 、z 均为非负数，则542M x y z =++的最大值

为 .

117.已知a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝4，那么a 4＋b 4＋c 4的值等于 ．

118.已知实数a 、b 、c 满足a -b+c=7 , ab +bc +b+c 2+16 = 0.则b

a 的值等于

119.若实数a 满足a 3 + a 2 – 3a + 2 = 3a – 1a 2 – 1a 3 ，则 a + 1a = ．

120.若a 4 + b 4 = a 2 - 2 a 2 b 2 + b 2 + 6 ,则a 2 + b 2 = .

121.已知实数x 、y 满足22244690x xy y x -+-+=___________.

122.已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a _________．

123.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足

1114,9,16,,,4916

bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则（a ＋c ＋e ）－（b ＋d ＋f ）的值为

124.设x 、y 为实数，代数式4284522++-+x xy y x 的最小值为

125. 已知,,x y z 为整数，且0,,x y z xy yz xz a b c ++===其中,,a b c 为不等于1的正数。则abc 的值为 126.已知y x x x )2(622222-=+-+-，则y

x -1的值为

127. 已知：,141=-+-c a 且a -1,4-c 都是整数.则a+c=

128.,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为（ ）

)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.

129.已知011≠+=+--y x y x ，则xy 的值为（ ）

(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2

130.已知实数x ，y 满足：4x 4 – 2x 2 = 3，y 4 + y 2 =3，则 4x 4 + y 4 的值为 ( ) (A)7 (B)1 + 13 2 (C) 7+ 13 2

(D)5 131.已知实数,,a b c 满足0,0,a b c abc ++=>a b c x a b c

=++，y a =（11b c +）＋

b （11

c a +）＋c （11a b

+）,则23x y xy ++的值等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不确定

132.已知a > 0，b > 0且 a ( a + 4 b ) = 3 b ( a + 2 b ). 则 a + 6ab – 8b 2a – 3ab + 2b

的值为( ) (A)1 (B)2 (C) 19

11 (D) 2

133.若a,b 为实数,满足a a -+11=b

b +-11,则(1+a+b)(1－a －b)的值是( ). (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2

134.已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z y y

x 25+-

的值为（ ）

（A ）1. （B ）31

. （C ）31-. （D ）21

.

135.若满足不等式317

158

＜＋＜k n n

的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（

） （A ）100 （B ）112 （C ）120 （D ）150

136.已知2152522＝－－－x x ，则221525x x －＋－的值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

137.已知实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，a b c =8，那么111

a b c ++的值

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定

138.设b>0，a 2-2ab+c 2=0，bc>a 2，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )．

(A)b>c>a (B)c>a>b (C)a>b>c (D)b>a>c

139.已知

（x>0），则22

22

41629x xy y x xy y +-+-的值是（ ）． （A ） 24

16

16

()()()392527B C D

140.如果多项式222242009p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）

（A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）2008

141.已知a －b ＝3，b ＋c ＝－5，则代数式ac －bc ＋a 2－ab 的值是( )

A 、－15

B 、－2

C 、－6

D 、6

142.若a 、b 、c 是三角形的三条边长，则代数a 2+b 2-c 2-2ab 的值（ ）．

（A ）大于零 （B ）小于零 （C ） 大于或等于零 （D ）小于或等于零

143.若a 、b 都是质数，且20032=+b a ，则b a +的值等于（ ）

（A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）2002

144.△ABC 的三边长为a ，b ，c ，若()322,22-=++=-c b a c b a a ，则这个三角形的最长一边是（ ）

（A ）a （B ）b （C ）c （D ）不能确定

145.已知y

x z c x z y b z y x a +=+=+=,,，则=+++++c c b b a a 111（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）

32 （D ）21 146.已知实数a 、b 、c 满足a 2+2b=7，b 2-2c=-1，c 2

-6a=-17．则a+b+c 的值等于( )． (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

147.若()()0()()

b c a c b a q a b c b c a --==≠--，则q 应满足的方程是（ ） A. 210q q --= B. 210q q -+= C. 4210q q --= D. 42

10q q -+= 148.如果a+b+c=O ．3

12111+++++c b a =O ，那么(a+1)2+(b+2)2+((c+3)2的值为 ( ) A ．3 6 B ．16 C ．14 D ．3

149.若x －1＝2(y ＋1)＝3(z ＋2)，则x 2＋y 2＋z 2

可取得的最小值为( ) (A) 6 (B)417 (C) 8314 (D) 29349

150.正实数a ，b ，c ，d 满足a + b + c + d = 1，设p = 3a + 1 + 3b+ 1 + 3c + 1 + 3d+ 1 ，

则( )

(A) p > 5 (B) p = 5 (C) p < 5 (D) p 与5的大小关系不确定

151.已知实数a 、b 、c 满足2|a+3| +4－b=0，c 2

+4b －4c －12 =0，则a+b+c 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9

152.已知实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=4，则(2x －y)2+(2y －z)2+(2z －x)2

的最大值是（ ） A ．12 B ．20 C ．28 D ．36

153.设b a ,是非零有理数，且ab b a b a 32,0)(2

22

+=+则的值为（ ） A 、3

1 B 、3 C 、1 D 、—1 154.已知 a+ b+ c= 3， 2223,a b c ++= 则200520052005a b c ++的值是（ ）

（A ）0 （B ）、 3 C 、 20052 D 、200532

155.若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－

x 5)＝242

，则2222212345x +x +x +x +x 的未位数字是( ) A 、1 B 、3 C 、 5 D 、7

156.若M=136498322++-+-y x y xy x (x ，y 是实数)，则M 的值一定是（ ）

（A ）正数 （B ）负数 （C ）零 （D ）整数

157.设A=)41001

441

431

(48222-++-+-? ，则与A 最接近的正整数是（ ）

（A ）18 （B ）20 （C ）24 （D ）25

158.若正实数a 、b 满足3++=b a ab ，则22b a +的最小值为（ ）

A.－7

B.0

C.9

D.18

159.已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ）

（A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－2

160.已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（

）

（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9

161.若实数a 、b 、c 满足条件111

1

a b c a b c ++=++,则a 、b 、c 中( ) .

(A)必有两个数相等(B)必有两个数互为相反数(C)必有两个数互为倒数(D)每两个数都不相等

162.已知x+y=1，x 3+3x 2+3x+3y-3y 2+y 3=37， 则(x+1)4+(y-1)4= ( )

A ．337

B ．1 7

C ．97

D ．1

163.已知x+y ≠0，x ≠z ，y ≠z ，且1+z)-y)(x (x yz ++z)-y)(y (x xz +=z)

-z)(y -(x xy ，则必有( )． (A)x ＝0 (B)y ＝0 (C)z ＝0 (D)xyz ＝0

164.若代数式M ＝lOa 2+b 2-7a+8，N ＝a 2+b 2

+5a+1，则M-N 的值( )． (A)一定是负数 (B)一定是正数 (C)一定不是负数 (D)一定不是正数

165若实数a b 、满足等式22337,+=+=+b a a a b b a b

则代数式之值为（ ） A ．237- B ．237

C ．2327-或

D ．2327或 166.有理数a 、b 、c 满足下列条件：a+b+c=0且abc<0，那么

c b a 111++的值( )． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．不能确定是正数、负数或0

167.若?ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c 44422=+-，b c a a c 44422=+-，

c a b a b 44422=+-，则?ABC 是（ ）

A. 钝角三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等边三角形

168.已知p ＋q ＋r ＝9，且xy

z r zx y q yz x p 222-=-=-, 则z y x rz qy px ++++等于( )

（A ）9 （B ）10 （C ）8 （D ）7

169.已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2＋b 2－c 2＋2ab( )

A ．一定是非零偶数

B ．等于零

C ．一定是奇数

D ．可能是奇数，也可能是偶数

170.若a ＋b ＋c ＝0，则a 3＋a 2c －abc ＋b 2c ＋b 3的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

171.已知实数a 、b 满足条件a 2+b 2+a 2b 2=4ab-1，则 ( )

172.如果实数x ，y 满足等式2x+x 2+x 2y 2+2=-2xy ，那么x+y 的值是( )

A.1. B ．0. C ．1 . D ．2．

173.已知1ab

a b =+，2bc

b c =+，3ca

c a =+，则a 的值等于（ ）

（A ）１ （B ）512

（C ）125

（D ）－１

174.设,,a b c 是ABC ?的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-,则这个三角形是（ ）

（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰三角形或直角三角形（D ）等腰直角三角形

175.已知的值为则1,01342

2

+=+-a a a a （ ） （A ）21 （B ）52 （C ）91 （D ）7

1 176.如果a+2b+3c=12，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ca ，则a+b 2+c 3

=( )． (A)12 (B)14 (C)16 (D)18

177.已知a

c c b y b a x -=-=-1，则x+y 的值等于( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)0．5

178.已知m ，n 是实数，且满足m 2＋2n 2＋m －34n ＋36

17＝0，则－mn 2的平方根是（ ） （A ）62 （B ）±62 （C ）61 （D ）±6

1 179.设x+y+z+u=1，(2x+y)：1=(2y+z)：2=(2z+u)：3=(2u+x)：4，则7x+3y+3z+u= ( )

A ．3

B ．2

C ．1．5

D ．1．2

182.已知实

数x,y,z 适合x+y=8 , z 2

=xy-16 ,则xyz = ( )

（A ）± 1 （B ）-1 （C ）1 （D ）0

183.已知实数a,b,c,d 满足a d d c c b b a ===，则=+-++++d c b a d

c b a （ ）

（A ） 0 （B ）2 （C ）0或2 （D ）-1或0或2

184.如果x 和y 是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x 3=0，那么x+y 等于（ ）

A 、3;

B 、13;

C 、213

1-; D 、4-13

185.已知03132=+++x x ，则2004321x x x x +++++ 的值为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）―1 （D ）2004

186.已知abc ≠0，且a+b+c=0, 则代数式2

2

2

a b c bc ca ab ++的值是（ ）

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

187.实数a ，b ，c ，d 满足：a ＋b ＋c ＋d ＝1001，ac ＝bd ＝4，则))()()((a d d c c b b a ++++=( )

A 、1001

B 、2002

C 、2003

D 、2004

188.正整数a 使关于x 的函数y x =的最大值也是正整数，则这个最大值等于( )

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

代数式恒等变形及答案

代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

2020年初中数学代数式的变形与代数式的求值练习题

代数式的变形与代数式的求值 （时间：100分钟 分数：100分） 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．在x ，13，23xy ，12x+12y ，xy -2，a π 中，单项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．x 的5倍与y 的差等于（ ） A ．5x-y B ．5（x-y ） C ．x-5y D ．x 5-y 3．用正方形在日历中任意框出的四个数一定能被（ ）整除 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．现规定一种运算：a*b=ab+a-b ，其中a 、b 为常数，则2*3+1*4等于（ ） A ．10 B ．6 C ．14 D ．12 5．已知一个凸四边形ABCD 的四条边长依次是a 、b 、c 、d ，且a 2+ab-ac-bc=?0，?b 2+bc-bd-cd=0， 那么四边形ABCD 是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形 6．若m 2x 2-2x+n 2是一个完全平方式，则mn 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．±1 D ．±2 7．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个赢利60%，?另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（ ） A ．赔38元 B ．赚了32元 D ．不赔不赚 D ．赚了8元 8．要使22969 m m m --+的值为0，则m 的值为（ ） A ．m=3 B ．m=-3 C ．m=±3 D ．不存在 9．已知23x ++23x -+22189 x x +-的值为正整数，则整数x 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．4或5 D ．无限个 10．已知有理数a 、b 满足ab=1，则M=11a ++11b +，N=1a a ++1b b +的大小关系是（ ） A ．M>N B ．M=N C ．M

三角函数恒等变换(整理)

高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<

4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0

初中奥数恒等变形知识点及习题2019

初中奥数恒等变形知识点及习题2019 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个. 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立

设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6 再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得出

初中奥数恒等变形知识点归纳整理.pdf

初中奥数恒等变形知识点归纳整理 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数 值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种 形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6

再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有 22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b=5 将b=5代入③得 1-5+c=2 c=6 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.

三角函数及恒等变换高考题大全

三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+=

200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

三角函数恒等变换

§6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）.

5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则.

13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

代数式的变形竞赛题

代数式的变形（整式与分式） 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1．配方 在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题. 例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2. 例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求的值. 解将条件化简成 2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值. 解∵a为x2-3x+1=0的根, ∴ a2-3a+1=0,,且=1. 原式 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则 p+q+r=0. P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ∴p3+q3+r3-3pqr=0

三角函数恒等变换

三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，

符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2

初一代数式的变形整式与分式

[文件] sxjsck0009 .doc [科目] 数学 [关键词] 初一/代数式/整式/分式 [标题] 代数式的变形（整式与分式） [内容] 代数式的变形（整式与分式） 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1． 配方 在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题. 例1 （1986年全国初中竞赛题）设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的 平方和，其形式是______. 解mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2. 例2（1984年重庆初中竞赛题）设x 、y 、z 为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2 =(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求)1)(1)(1() 1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值. 解 将条件化简成 2x 2+2y 2+2z 2-2xy-2x 2-2yz=0 ∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a 是x 2-3x+1=0的根,试求 1825222 345+-+-a a a a a 的值. 解 ∵a 为x 2-3x+1=0的根, ∴ a 2-3a+1=0,,且132+a a =1. 原式. 1131 3)32)(13(22 232-=+-=+-+++-=a a a a a a a a a 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c 则

高中数学三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

2代数式恒等变形

代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y z a b b c c a == ---，求x+y+z 的值。 例2．已知 ()() 23a b b c c a a b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿ 2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+a a a a 得＿＿＿＿＿＿＿

三角函数恒等变换含答案及高考题

三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，

分式的恒等变形(一)

分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =

三角函数诱导公式及恒等变换

授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换 教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点 三角函数公式的运用 教学内容 1、象限角 （1）各象限角的范围 （2）三角函数值在各象限的符号 αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换 3、同角三角函数的基本关系 ()()122=+ ()() = αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ； （2、若=?+=+α ααααcos sin 2cos 1 0cos sin 32 ，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ；

（一）诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题赏析 例题1、（2013广东，4）已知==??? ??+ααπcos 51 25sin ，那么（）； A ：52- B ：51- C ：51 D ：5 2 例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-?-+--?+) 2cos(cos cos ) 2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ 达标训练 （1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5 3 2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5 4.-D 正弦 余弦 正切 α- απ-2 απ+2 απ-2 2 απ +2 2 απ-23 απ+23

（2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23 sin sin 2-1（） ． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D （二）三角函数的求值与化简 1、两角和差公式 =+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。 公式拓展 =+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。 例题精讲 例题1、（2012重庆，5）=? ? ?-?17cos 30cos 17sin 47sin （） A. 23- B.21- C.21 D.2 3 例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。 达标训练 （1、（2014江苏，15）已知?? ? ??∈ππα，2，55sin =α. 求（1））（ απ +4 sin 的值；