2012年湖北省高考试卷数学理试卷
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2012年湖北省高考试卷
数学理
本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. 1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（ ）
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或－1 2．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，复数a bi +=（ ）
A ．12i +
B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i -
3．如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1）=（ ）
A ．2Φ（1）－1
B ．Φ（－4）－Φ（－2）
C ．Φ（2）－Φ（4）
D ．Φ（4）－Φ（2）
4．设k R ∈，下列向量中，与向量Q=（1，-1）一定不平行的向量是（ ） A ．b=（k ，k ） B ．c=（-k ，-k ） C ．d=（k 2 +1,k 2 +1） D ．e=（k 2一l,k 2—1）
5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（ ）m 2
．
正视图 侧视图 俯视图
A ．624+
B ．64+
C ．224+
D ．24+
6.设函数)2
2
,0)(sin(3)(π
φπ
ωφω<
<-
>+=x x f 的图像关于直线3
2π=x 对称,它的周期
是π,则（ ）
A.)(x f 的图象过点)2
1
,0(
B.)(x f 在]3
2,12
[π
π上是减函数
C.)(x f 的一个对称中心是)0,12
5(
π
D.将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数
x y ωs in 3=的图象.
7．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）
A ．258
B ．642
C ．780
D ．1538
8．双曲线222
2
1(1,1)y x a b a
b
-
=≥>的离心率为2
2
1b +的最小值为（ ）.
A ．
3
34 B ．
3
3
3+ C ．2 D ．
2
3
1+
9．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+x
x ，函数????
?>≤+++=0,
20
,2)()(2x x x b a x x f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数是( ) A ．4
B ．3
C ．2
D. 1
10．设O 是正三棱锥ABC P -的底面⊿ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、
PB 的延长线分别交于Q 、R ，则
PS
PR
PQ
111+
+
( )
A 、有最大值而无最小值
B 、有最小值而无最大值
C 、无最大值也无最小值
D 、是与平面QRS 无关的常数
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在
答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）
11．对任意的实数x ，有32
3
0123
(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则a 2的值是 。
12．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上,则sin 22cos 2αα+= .
13．如图所示高脚杯的轴截面是方程为)0(22>=p py x 的抛物线，现放一
半径为r 小球到高脚杯中，若小球能落到杯子底部，则小球的半径r 的取值范围为 . 14．由9个正数组成的数阵11121321
222331
32
33a a a a a a a a a ??
?
? ???
每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++，232221a a a ++，333231a a a ++成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的322212,,a a a 必成等比数列；
②第一列中的312111,,a a a 不一定成等比数列；
③23213212a a a a +≥+；
④若9个数之和大于81，则22a >9．
其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的
题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，A B 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，C D A B ⊥，垂足为D ，且5A D D B =，设C O D θ∠=，则tan θ的值为 .
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直角坐标系xo y 中，直线l 的参数方程为 为参数），
，
t t y t x (33??
?=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C
的极坐标方程为03cos 42
=+-θρρ，则圆心C 到直线l 距离为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q=（a 2，1），p=（c b -2， C cos ）且q p //．求：
（I ）求sin A 的值； （II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-C
C 的取值范围．
某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在
每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA = 1， PD ＝ 2 ，E 为PD 上一点，PE = 2ED ． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D －AC －E 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF // 平面AEC ？ 若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
20、（本小题满分13分） 如图，F 1、F 2分别为椭圆
222
2
10x y (a b )a
b
+
=>>的焦点，椭圆的
右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF = .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围． E
P
D
C
B
A
已知数列{}n a 满足4
11=
a ，2
)1(11
--=
--n n
n n a a a （*∈≥N n n ,2）。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
1n
n a
b =
，求{}n b 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）设2
)12(sin π
-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：对7
4,<
∈?*n T N n 。
22. (本小题满分14分) 已知函数()()ln 0x a f x ax a x
-=-
≠
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值； （Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有1111ln
23!
n
e
n n +
+++
≥ （e 为自然对数的底数）；
（Ⅲ）当a ＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数()y f x =的图象相切？ 若存在，
有多少条？若不存在，说明理由．
数学（理）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. CBDCA CBABD
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在
答题卡对应题号．．．．．．．
的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11、6 12、－2 13、p r ≤<0 14、①②③
15
．
16
．
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， 根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，
又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
1sin cos sin 2
C A C ∴=，0sin ≠C ，2
1cos =
∴A ，
又0A π<< 3
π=
∴A ；sin A =
2
3 ………………………5分
（II ）原式C C C C
C C C C
C cos sin 2cos 21cos sin 1)
sin
(cos 211tan 12cos 22
2
2
+-=+
--
=++-=，
)4
2s i n (22c o s 2s i n π
-=-=C C C ，
∵π3
20< π 12 134 24 < - <- C ，∴1)4 2sin(2 2≤- <- π C ， ∴2)42sin(21≤ - < -π C ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． …………………………11分 18、解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1221()(1)(1)(1)23318 P A =- - - = ………………………………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，5 4 121(0)(1)(1),23 48 P ξ==- - = 13441 12121(1)(1)(1)(1),223238 P C ξ==--+-= 22213441121 127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-= 332 22441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233 P C C ξ==--+-= 43 34121121(4)()(1)()(1),2322316 P C ξ==-+-= 4121 (5)(),2324 P ξ=== ……………………………………………………………9分 所以随机变量ξ的分布列如下： 故1171318 01234548824316243 E ξ=+++++= ………………………12分 19、解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 , ∴ PA 2 + AD 2 = PD 2 , 即：PA ⊥ AD ---2分 又PA ⊥ CD , AD , CD 相交于点D, ∴ PA ⊥ 平面ABCD -------4分 （Ⅱ）过E 作EG//PA 交AD 于G ， 从而EG ⊥ 平面ABCD ， 且AG = 2GD , EG = 13 PA = 1 3 , ------5分 连接BD 交AC 于O, 过G 作GH//OD ，交AC 于H ， 连接EH ． GH ⊥ AC , ∴EH ⊥ AC , ∴∠ EHG 为二面角D —AC―E 的平面角． -----6分 ∴tan ∠EHG = EG GH = 22 ．∴二面角D —AC―E 的平面角的余弦值为3 6-------8分 （Ⅲ）以AB , AD , PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0 ，0， 0），B （1，0，0） ，C （1，1，0），P （0，0，1），E （0 , 23 ,1 3 ）,AC = （1,1,0）, AE = （0 , 23 ,1 3 ） ---9分 设平面AEC 的法向量n = （x, y,z ） , 则 ?????=?=?0 AE n AC n ，即：?? ?=+=+020z y y x ， 令y = 1 , 则n = （- 1,1, - 2 ） -------------10分 假设侧棱PC 上存在一点F, 且CF ＝ λCP ， （0 ≤ λ ≤ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则BF ?n ＝ 0． 又因为：BF ＝ BC + CF ＝ （0 ，1，0）+ （-λ,-λ,λ）= （-λ,1-λ,λ）, ∴ BF ?n ＝λ+ 1- λ- 2λ = 0 , ∴λ = 1 2 , 所以存在PC 的中点F, 使得BF//平面AEC ． ----------------12分 20、解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分 ∵122AF AF = ∴ 2F 是1A F 的中点 ∴223,2a b == ∴ 椭圆方程为 2 2 13 2 x y + = ……5分 (II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142 S M N P Q == ； …………6分 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠， 联立22(1)13 2y k x x y =+?? ?+=? ?代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-= 设()()1122,,,P x y Q x y 则22 12122 2 636,2323k k x x x x k k --+= = ++………8分 ∴ )2 12 2 123k PQ x k +=-=+ ，同理22 11123k M N k ? +? ??=+ ∴四边形PMQN 面积222 21242112613 k k S M N PQ k k ?? ++ ? ?? ==??++ ?? ? ………10分 令2 2 1u k k =+ ，则()24242,4613 613 u u S u u +≥= =- ++，易知S 是以u 为变量的增函数 所以当1,2k u =±=时，m in 9625 S =，∴96425 S ≤< 综上可知，96425 S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为 96,425?? ???? ………13分 21、解：（Ⅰ）∵ 1 2)1(1-- -=n n n a a ，∴?? ????-+-=-+--1 1)1(1)2()1(1 n n n n a a ， 又∵ 3)1(1 1 =-+a ，∴数列? ???? ?-+n n a )1(1是首项为3，公比为-2的等比数列， n n a )1(1-+=1 ) 2(3--n ，即1 2 3)1(1 1 +?-= --n n n a 。………………………………4分 （Ⅱ）12649)123(1121+?+?=+?=---n n n n b ， n S =n n n +--?? +--?? 2 1)21(164 1)41(19=92643-+?+?n n n 。………8分 （Ⅲ）∵2 )12(sin π -n =n )1(-，∴1 2 31) 1()2(3)1(1 1 1 +?=---?-= ---n n n n n c ， 当n ≥3时，n T = 1 2 31 123112311 311 2 +?+ ++?++?++-n 1 3 2 2 312 31 2 317 14 1-?+ +?+ ?++< n =2 11] )21(1[121 28 112 - -?+ -n = ?? ????-?+ -2)21(16128 11n 748447612811<=+<,……………12分 又∵321T T T <<，∴对7 4,< ∈?* n T N n 。……………………………13分 22、（Ⅰ）解：由题意2 ()x a f x x -'= ． ………………1分 当0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 此时函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数， 2 m in ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………3分