高三数学复习专题数形结合
专题讲座： 数形结合
一、填空题
例1曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 【答案】：53,124??
??
? 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点M (2，4)，由图可得有两
个交点时k 的范围。
例2已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1,β=且αβα-与的夹角为120?
，则α的
取值范围是 【答案】：23
03
α<≤
【提示】作出草图，由1
sin sin 60
B
α
?
=
，故α=23sin 3B 又0120B ?
?
<<
0sin 1B ∴<≤，23
03
α∴<≤
例3已知向量(2, 0)OB =,(2, 2)OC =, (2cos , 2sin ),CA αα=则OA 与OB 夹角的范围为 【答案】：]12
5,12[
π
π 【提示】因2(cos ,sin ),CA αα=说明点A 的轨迹是以(2, 2)C 为圆心，2为半径的圆，如图，则OA 与OB 夹角最大是
5,4612πππ+=最小是4612
πππ
-=
例4若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为
【答案】：55,55??
-????
【提示】复数的模2
2
(cos )(2sin )2z a a θθ=++-≤，可以借助单位圆上一点(cos ,sin )θθ-和直线2y x =的一点(,2)a a 的距离来理解。
x x
y
M
例5若11
||2
x a x -+≥对一切0x >恒成立，则a 的取值范围是
【答案】：(,2]-∞ 【提示】分别考虑函数1y x a =-和211
2
y x =-
+的图像
例6 已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，
其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 【答案】b n a m <<<
【提示】由题可设()(),(0)g x kx x m k =->，
则()()()f x kx x m x n =--，作出三次函数图象即可。
例7若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 【答案】：0k <或4k =
【提示】：研究函数1y kx =（10y >）和函数2
2(1),(1)y x x =+>-的图像
例8已知函数2 1
()(2) 1ax bx c x f x f x x ?++≥-=?--<-?
，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为
21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 【答案】：230x y ++= 【提示】：由()(2)f x f x =--可得()f x 关于直线1x =-对称，画出示意图（略），(1,(1)f )和(3,(3))f --为关于直线1x =-的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。
例9直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________
【答案】：514a <<
【提示】研究22,0
,0
x x a x y x x a x ?-+≥?=?++
交于(0,)a 点，最小值为1
4
a -，要使1y =与其有四个交点，只需
114a a -<<，∴514
a <<
例10已知：函数()f x 满足下面关系：①(1)(1)f x f x +=-； ②当[]1,1x ∈-时，2
()f x x =.则方程()lg f x x =解的个数是
【答案】：9
【提示】：由题意可知，()f x 是以2为周期，值域为[0,1]的函数． 画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg101=， ∴由图象可知共9个交点．
例11设定义域为R 函数???=≠-=1
01
1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程
0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 【答案】：0,0c b =< 【提示】：由)(x f 的图象可知要使方程有7个解，应有0)(=x f 有3个解，0)(≠x f 有4个解。0,0<=∴b c
例12已知a 是实数，函数()22f x a x x a =+-，若函数()y f x =有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是_____________
【答案】：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【提示】易知0,()0a f x ≠=由，即220a x x a +-=，变形得11
2x x a
-=-，分别画出函数112y x =-
，21
y x a
=-的图象(如图所示)，由图易知： 当101a <-<或1
10a
-<-<时，1y 和2y 的图象有两个不同的交点，
∴当1a <-或1a >时，函数()y f x =有且仅有两个零点。
例13已知1,1,m n ≥≥且2222log
log log ()log ()2a
a a a m n am an +=+-，(1)a >，则
log ()a mn 的最大值为
【答案】：222+
【提示】令log ,log a a x m y n ==，这时问题转化为：
22(1)(1)4,(0,0)x y x y -+-=≥≥，求x y +的最值．
例14函数246u t t =++-的值域是 【答案】：22,26????
【提示】可令24,6x t y t =+=-消去
t
得：
22
216(04,022),
x y x y +=≤≤≤≤所给函数化为含参数u 的直线系
y ＝－x ＋u ，如图知min 22u =，当直线与椭圆相切于第一象限时u 取
最大值，此时由方程组22
216
y x u x y =-+??+=，则22
342160x ux u -+-=，由026,u ?=?=±因直线过第一象限，max 26u ∴=，故所求函数的值域为
22,26????
y
22
4
x
例15已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的x R ∈都有
(4)()f x f x +=；②对任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(2)y f x =+的图象关于y 轴对称.则(4.5),(6.5),(7)f f f 的大小关系是 【答案】：(4.5)(7)(6.5)f f f <<.
【提示】由①：4T =；由②：()f x 在[]0,2上是增函数；由③：
(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称.
由此，画出示意图便可比较大小.
例16关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；
③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22x y +=的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 【答案】：①②④⑤
【提示】研究曲线C ：221x y --+=的图像，与坐标轴没有交点，不是封闭图形，且2x →+∞ 时，2
1y →；2
y →+∞时2
1x →，作出草图即可
二、解答题
例17设a a >≠01且，试求方程)(log )(log 22
2a x ak x a a -=-有解时k 的取值范围：
【提示】将原方程化为log ()log a a x ak x a -=-22
∴-=
-x ak x a 22，且x ak x a ->->0022， 令y x ak 1=-，它表示倾角为45?的直线系，y 10>
令y x a 222=
-，它表示焦点在x 轴上，顶点为