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泊松分布

泊松分布

泊松分布

泊松分布

),是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数等等。

泊松分布的概率质量函数为:

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

性质

服从泊松分布的随机变量,其数学期望与方差相等,同为参数λ: E(X)=V(X)=λ 动差生成函数:

泊松分布

泊松分布的来源

在二项分布的伯努力试验中,如果试验次数n很大,二项分布的概率p很小,而乘积λ= n p比较适中,则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。这在现实世界中是很常见的现象,如DNA 序列的变异、放射性原子核的衰变、电话交换机收到的来电呼叫、公共汽车站候车情况等等。

证明如下。首先,回顾e的定义:

二项分布的定义:

如果令p = λ / n, n趋于无穷时P的极限:

泊松分布

[编辑]最大似然估计

给定n个样本值k i,希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。为计算最大似然估计值, 列出对数似然函数:

泊松分布

对函数L取相对于λ的导数并令其等于零:

泊松分布

解得λ从而得到一个驻点(stationary point):

泊松分布

检查函数L的二阶导数,发现对所有的λ与k i大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数L的极大值点:

泊松分布

[编辑]例子

对某公共汽车站的客流做调查,统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批(每批可以是1人也可以是多人)是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次,共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100个、81个、34个、9个、6个。使用极大似真估计(MLE),得到λ的估计为0.8696。实际上各批次发生的频率与λ = 0.87的泊松分布吻合的非常好。

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