§11。2概率 互斥事件有一个发生的概率

§11。2概率

一、【高考要求】

了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 二、【基本知识】

1 互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A ?B)=０；(A+B)=P （A ）+ P(B)

一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥

2．对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生这时P(A ?B)=０, P(A+B)=P （A ）+ P(B)＝１ 一

般地,()

()A P A p -=1

3对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：

第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集

对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事

件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =?对立事件一定是互斥事件，但

互斥事件不一定是对立事件

4互斥事件有一个发生的概率：当A 、B 为互斥事件时，事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：

P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥），且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1当计算事件

A 的概率P （A ）比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些，为此有P （A ）=1－P （A ）

5.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++ ＝

12()()()n P A P A P A +++ 6分类讨论思想：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想 三、【基本训练】

1、个事件互斥是这两个事件对立的（B ）

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件 2、一批羽毛球产品中任取一个，质量小于48 g 的概率是03，质量不小于485 g 的概率是032，那么质量在［48，485）g 范围内的概率是（B ） A 062 B 038 C 07 D 068 3、、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（D ）

A 60%

B 30%

C 10%

D 50%

4、装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（C ）

A 至少有1个白球，都是红球

B 至少有1个白球，至多有1个红球

C 恰有1个白球，恰有2个白球

D 至多有1个白球，都是红球

5、批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为（B ）

A

1

B

7

C

1

D

2

解析：P =

510

4

8

12C C C +

510

5

8

C C =

252

140+

252

567

四、【典型例题】

例1：今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率

解：设恰有两封信配对为事件A ，恰有三封信配对为事件B ，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C ，则“至少有两封信配对”事件等于A +B +C ，且A 、B 、C 两两互斥∵P （A ）

=

55

2

5A

2C ?，P （B ）=

55

3

5A

C ，P （C ）=

55

A

1，∴所求概率P （A ）+P （B ）+P （C ）答：至

例2：9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：

（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率

解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 36C 3

3种等可能的结果（1）三个亚洲国家队分给甲、

乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有C 26C 24C 2

2种

分法故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A 33·C 26C 24C 22种，所求概率P （A ）

=

33

36392

2

242633C C C

C C C A ?9

答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是

9（2）∵事件“至少有两个

亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－

28

9答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是

五、【课堂检测】

1、数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛求：

（1）恰有一名参赛学生是男生的概率；

5

32

6

1

313=

C C C （2）至少有一名参赛学生是男生的概率

5

426

2

3

1313=

+C

C C C

（3）至多有一名参赛学生是男生的概率

5

42

6

2

3

1

31

3=

+C C C C

六、【课堂小结】

1求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互

斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率 再利用公式)

(1)(A P A P -=就可求出所求事件的概率2概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A 、B 互斥时，P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则公式不能使用 七、【课后作业】 1、、2、3、4、5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率： （1）三个数字完全不同，2）三个数字中不含1和5，（3）三个数字5个恰好出现两次

解：从五个数字中，任意有放回地连续抽三个数字，共出现12553

=种不同的结果 （1）三个数字完全不同的有603

5=A 种，所以三个数字完全不同的概率为125

601=

=p （2）三个数字中不含有1和5的情况有2733

=种，所以所求概率为2=

p

（3）由于三个数字中5恰好出现两次的情况有：2

1

3412C C ?=种所以所求概率为125

123=

p

互斥事件及其概率

第7课互斥事件及其概率 【考点导读】 1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立. 2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算. 【基础练习】 1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分 也不必要） 2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ . ①至少有1个白球，都是红球②至少有1个白球，至多有1个红球 ③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，都是红球 3．从 个同类产品（其中 个是正品， 个是次品）中任意抽取

个的必然事件是④ . ① 个都是正品②至少有 个是次品③ 个都是次品④至少有 个是正品 4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率 是 0.38 . 5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% . 【范例解析】 例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件. （1）恰好有1件次品恰好有2件次品； （2）至少有1件次品和全是次品； （3）至少有1件正品和至少有1件次品； （4）至少有1件次品和全是正品.

解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件 点评解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义. 例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）少于7环的概率. 解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44. （2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03. 例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求： （1）取出1球是红球或黑球的概率； （2）取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解：记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任取一球为绿球}，则

2019-2020年高中数学第3章概率3.4互斥事件及其发生的概率自主练习苏教版必修

2019-2020年高中数学第3章概率3.4互斥事件及其发生的概率自主练习 苏教版必修 我夯基我达标 1．如果事件A、B互斥，A、B的对立事件分别为C、D，那么( ) A．A+B是必然事件．C+D是必然事件 C．C与D一定互斥．C与D一定不互斥 思路解析：如果事件A、B互斥，则它们的对立事件也互斥. 答案：C 2．一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件中哪些是互斥事件. 事件A：命中的环数大于8； 事件B：命中的环数大于5； 事件C：命中的环数小于4； 事件D：命中的环数小于6． 思路解析：互斥事件是指不能同时发生的两个事件.命中的环数大于8与命中的环数小于4及命中的环数小于6不能同时发生；命中的环数大于5与命中的环数小于4也不能同时发生. 答案：事件A与C，事件A与D，事件B与C分别为互斥事件. 3．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A．至少有一次正面和最多有一次正面．最多有一次正面和恰有两次正面C．不多于一次正面和至少两次正面．至少有两次正面和恰有一次正面 思路解析：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.也就是说，对立事件首先是互斥事件；至少有一次正面和最多有一次正面不是互斥事件；最多有一次正面和恰有两次正面也不是互斥事件及至少有两次正面和恰有一次正面. 答案：C 4．从一堆产品（其中正品与次品的个数都大于2）中任取两个，下列每对事件是对立事件的是( ) A．恰好有2个正品与恰好有2件次品 B．至少有1件正品与至少有1件次品C．至少1件次品与全是正品 D．至少1件正品与全是正品 思路解析：对立事件首先是互斥事件，且这两个事件中必有一个发生，它们的和事件是必然事件.恰好有2个正品与恰好有2件次品是互斥事件，但它们的和事件不是必然事件；至少有1件正品与至少有1件次品不是互斥事件；至少有1件正品与全是正品也不是互斥事件. 答案：C 5．某人打靶，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( ) A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 思路解析：“至少有1次中靶”说明连续射击2次，中靶1次或2次，它的反面是2次都不中靶. 答案：C 6．有一道难题，甲能解出的概率是0.1，乙能解出的概率是0.2．现甲、乙两人共同独立地解此题，该难题被解出来的概率是0.1+0.2=0.3吗？为什么？ 思路解析：利用概率的加法公式的前提是这些事件是彼此互斥的事件，否则就不能利用

苏教版必修3高一数学7.4.1互斥事件及其发生的概率练习

第9课时7.4.1 互斥事件及其发生的概率(1) 分层训练 1、某人在打阿靶中，连续射击2次，至少有1次中靶的对立事件是（ ） A 、两次都中靶 B 、到多有一次中靶 C 、两次都不中靶 D 、只有一次中靶 2、某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级均属次品，若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为（ ） A 、0.99 B 、0.98 C 、0.97 D 、0.96 3、甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.2，两人下成和棋的概率为0.35，那么甲不输的概率为（ ） A 、0.2 B 、0.35 C 、0.55 D 、0.65 4、一个盒内放有大小相同的10个小球，其中有5个红球、3个绿球、2个白球，从中任取2个球，至少有一个绿球的概率是（ ） A 、 152 B 、158 C 、157 D 、5 2 5、某人进行射击表演，已知其击中10环的概 率0.35，击中9环的概率为0.30，中8环的概率是0.25，现准备射击一次，问击中8环以下（不含8环）的概率是多少？ 6、若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么? 拓展延伸 7、已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是7 1 ，从中取出2粒都是白子的概率是 35 12 ，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？ 8、四位同学各人写好一张贺卡，集中起来每人从中抽取一张，试求都抽不到自己所写卡片的概率。 9、某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生人 求:(1)派出医生至多2人的概率; （2）派出医生至少2人的概率. 本节学习疑点： 7.4.1随机事件及其概率(1)

苏教版必修3高一数学7.4.2互斥事件及其发生的概率练习

第10课时7.4.2 互斥事件及其发生的概率(2) 分层训练 1、先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是123,,P P P ，则（ ） A .123P P P =< B .123P P P << C .123P P P <= D .321P P P =< 2、已知直线36y x =-+与4y x =-+,现将一个骰子连掷两次,设第一次得的点数为x ,第二次得的点数为y ,则点(x ,y )在已知直线下方的概率为_____________. 3、 某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标为1000千瓦时,按照上个月的用电记录,30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率为_______________. 4、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数，事件B 为出现2点，已知P （A ）= 21，P （B ）=6 1 ，求出现奇数点或2点的概率之和． 5、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 拓展延伸 6、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率． 7、．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率． 8、一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．若甲队全投3分球，则有8次投篮机会．若甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0 .8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？ 本节学习疑点： 7.4.2随机事件及其概率(2)

互斥事件及其和事件的概率优质课教案

3.1.3《互斥事件及其和事件的概率》教学设计 课题：3.1.3 《互斥事件及其和事件的概率》 教材分析： 《必修三》在第三章引进概率后，首先介绍了概率的定义，以及古典概型、几何概型概率公式，为了将一些较复杂的概率的计算化成较简单的概率的计算，就要根据不同事件之间的联系和关系，将我们所考虑的事件作出相应的正确运算本节将围绕着解决求较复杂事件概率的问题，介绍互斥事件以及事件的和的意义 率 学情分析： 学生在此之前学习了概率的定义，并且学会运用古典概型，几何概型的相关公式公对一些简单的等可能随机事件求概率，但对于较复杂概率问题，如果学生直接根据概率的定义来进行计算是很不方便的，由于概率这一章所涉及到的内容与他们生活联系较紧密，学生有相对较大的兴趣，对于问题的解决都能够有自己的想法，然而想法是建立在他们的生活经验上，并没有理论知识的支持，而对于较复杂问题，仅凭已有认知和自己的生活经验，并不能够真正解决问题，他们需要学习新的理论知识，需要通过书本上的知识与已有认知的结合，从而完善他们的认知结构，解决更多的概率问题。 教法分析： 本节课主要采用的教学方法是讲授法，在设计教学内容的过程中，站在学生思维的角度，根据学生的最近发展区创设问题情景，引导学生从集合间的关系类比分析事件之间的关系，感悟数学划归的思想方法，将复杂的求概率的问题转化成几个互斥事件概率和的问题，或者是求其对立事件概率的问题，从而达到解决问题的目的，进而引导学生归纳猜想，得到多个事件彼此互斥的概率公式，通过验证、练习巩固、总结反思。整个教学过程以学生为主体，站在学生的角度，换位思考，通过预测学生的心理需求，预判学生的思维活动，预设课堂重点关注的问题，引导学生把所学、所悟、所感、所创激发出来，促进他们积极发现数学的内在规律、理解数学的本质、感悟数学的精神．教师也时刻监控学生的认知与思维过程，用鼓励性的语言与学生进行交流、探讨，帮助学生发现问题、解决问题。 教学重难点： 【教学重点】互斥事件的概念及其概率的求法。 【教学难点】对立事件与互斥事件的关系，事件A+B的概率的计算方法。 教学过程： 一、讲解新课：

互斥事件有一个发生的概率教案 (1)

互斥事件有一个发生的概率 授课人王汉雄 一、教学目标： 1、知识教学点： 理解互斥事件与对立事件，并能加以应用。 2、能力训练点： 通过互斥事件概率的计算，提高分析问题与解决问题的能力。 3、德育渗透点： 结合互斥事件，对立事件的计算方法，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法。 二、教学重点与难点： 1、重点：互斥事件概率计算。 2、难点：对互斥事件，对立事件的理解。 三、教学过程： [设置问题] 在10个杯子里，有5个一等品，3个二等品，2个三等品。现在我们从中任取一个。 设：“取到一等品”记为事件A “取到二等品”记为事件B “取到三等品”记为事件C 分析：如果事件A发生，事件B、C就不发生，引出概念。 概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。（如上述中的A与B、B与C、A与C） 一般的：如果事件A1、A2……An中，任意两个都是互斥事件，那么说A1、A2…… An彼此互斥。 例1某人射击了两次。问：两弹都击中目标与两弹都未击中，两弹都未击中与至少有一个弹击中，这两对是互斥事件吗？

例2：P213，想一想。 再回想到第一个例子：P （A ）=105 P （B ）=103 P （C ）=102 问：如果取到一等品或二等品的概率呢？ 答：P （A+B ）=1035+=105+103 =P （A ）+P （B ） 得到下述公式： 一般的，如果n 个事件A1、A2、……An 彼此互斥，那么事件“A1+A2+……+An ”发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率之和，即P （A1+A2+……+An ）=P （A1）+P （A2）+……+P （An ） 例1：任在20件产品中，有15件正品，5件次品，从中任取3件，求 ①：其中，至少有1件次品的概率 ②：其中，没有次品的概率 析：这是属于互斥事件的概率计算，加强学生对公式的理解。 解①： 记其中有1件次品的概率为事件A1 记其中有2件次品的概率为事件A2 记其中有3件次品的概率为事件A3 P （A1）=4605.032021515=?C C C P （A2）=1316.032011525=?C C C P （A3）=0088.032035=C C ②：记“没有次品”为事件A0 P （A0）=3991.0320315=C C 根据题意：A1、A2、A3彼此互斥，所求概率 P （A1+A2+A3）=P （A1）+P （A2）+P （A3）=6009.0 综上所述，我们看到它的两个问题属于互斥事件，定义有一个发生，引出概念。 对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件。

随机事件、互斥事件及其概率

第一课时随机事件、互斥事件及其概率 2．理解古典概型； 3．了解几何概型； 4．了解互斥事件及其发生的概率。 二 复习要求 在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进而知道概率的统计定义的意义以及概率和频率的区别；了解互斥事件、对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，是否是对立事件，了解互斥事件的概率加法公式，了解两对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；理解古典概型及其计算公式，会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；体会几何概型的几何意义，理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 在复习这一部分内容时，要能把这一章中所蕴含的主要思想方法贯穿于平常的教学实践中去，如利用树形图去确定基本事件数中的数形结合思想，利用互斥事件去求概率中的分类讨论思想，把实际问题转化为几何概型去求解中的转化与化归的思想，以达到培养学生数学思维的目的。 三 重难注意点 1．概率与频率，概率的频率定义是和一定的实验相联系的，频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，频率是随机的，随着实验次数的改变而改变，而概率是确定的，是客观存在的，与实验的次数无关。概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小。 2．互斥事件与对立事件，判断事件是互斥还是对立，应主要抓住定义，不可能同时发生的事件称为互斥事件，必有一个要发生的两互斥事件称为对立事件，互斥事件是对立事件的必要而不充分条件，将所给事件转化为互斥事件和对立事件去处理，体现了化整为零，正难则反的思想。 3．古典概型，判断一个试验是否为古典概型，主要看试验结果的两个特征，一是有限 性，二是等可能性，在利用古典概型计算公式 ()n m A P =时，应首先完成古典概型的判断，而后进行相关计算，其中n 是试验所包含的所有基本事件数，m 是事件A 包含的基本事件数。 4．几何概型，判断一个概型是否为几何概型，主要看三个特征，一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形的测度的问题。在几何概型中，一个随机事件A 发生应理解为取到区域D 内的某个指定区域d 中的点，

互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验

本周课题：互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 本周重点： 1、互斥事件、对立事件的概率的求法 2、相互独立事件同时发生的概率乘法公式． 3、正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件． 4、n次独立重复试验中某事件恰好发生n次的概率计算公式． 本周难点： 1、互斥事件、对立事件的概念 2、事件的相互独立性的判定，独立重复试验的判定 3、事件的概率的综合应用． 本周内容： 1、事件的和、事件的积的意义 (1)A+B表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生． 事件“A1+A2+…+A n”表示这样一个事件：在同一试验中，A1，A2，…，A n中至少有一个发生即表示它发生． (2)A·B表示这样一个事件：事件A与事件B中都发生了就表示它发生． 事件“A1·A2·…·A n”表示这样一个事件：A1，A2，…，A n中每一个都发生即表示它发生． 2、互斥事件 (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件． 一般地：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，…，A n，彼此互斥． (2)一般地：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B) (说明：如果事件A，B不互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)) 如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) 3、对立事件 (1)必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记作 (2)

高三数学互斥事件有一个发生的概率

高三数学互斥事件有一个发生的概率 一、课题：互斥事件有一个发生的概率 二、教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率． 三、教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四、教学过程： （一）主要知识： 1．互斥事件的概念： ； 2．对立事件的概念： ； 3．若,A B 为两个事件，则A B +事件指 ． 若,A B 是互斥事件，则()P A B += ． （二）主要方法： 1．弄清互斥事件与对立事件的区别与联系； 2．掌握对立事件与互斥事件的概率公式； （三）基础训练： 1．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，若产品中出现乙级品的概率 为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则在成品中任意抽取一件抽得正品的概率为（ ） ()A 0.04 ()B 0.96 ()C 0.97 ()D 0.99 2．下列说法中正确的是 （ ） ()A 事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 ()B 事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小 ()C 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 ()D 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 3．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个 球，其中至少有1个绿球的概率为 （ ） () A 15 2 () B 15 8 () C 5 2 () D 15 7 4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以10 7 为概率的事件是（ ） ()A 都不是一等品 ()B 恰有一件一等品 ()C 至少有一件一等品 ()D 至多一件一等品 5．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率 为 （ ） ()A 3 5350 C C ()B 1235553 50C C C C ++ ()C 1－345 350 C C ()D 1221545545 3 50 C C C C C + （四）例题分析： 例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率： (1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.

最新高中数学随机事件、互斥事件的概率练习题

随机事件、互斥事件的概率 1.下列事件中，随机事件的个数为 ( ) ①物体在只受重力的作用下会自由下落； ②方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根； ③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过 10次； ④下周六会下雨． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：①是必然事件；②是不可能事件；③、④是随机事件． 答案：B 2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面 朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是 ( ) A ．P (M )＝13，P (N )＝12 B ．P (M )＝12 ，P (N )＝12

C ．P (M )＝13，P (N )＝34 D ．P (M )＝12 ，P (N )＝34 解析：I ＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)}，M ＝{(正， 反)、(反，正)}，N ＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)}， 故P (M )＝12，P (N )＝34 . 答案：D 3.甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%， 则甲、乙二人下成和棋的概率为 ( ) A ．60% B ．30% C ．10% D ．50% 解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40% ＋P ，∴P ＝50%. 答案：D

4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正 常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和 3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为 ( ) A ．0.95 B ．0.97 C ．0.92 D ．0.08 解析：记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ， 是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是 正品(甲级)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝ 92%＝0.92. 答案：C 5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1 本，取出的是理科书的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到

随机事件及其概率互斥事件

-187- 11.3随机事件及其概率、互斥事件 要点集结 1．事件的分类 (1)在一定的条件下，________________的事件，叫做必然事件． (2)在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做________________． (3)在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做_________．事件一般用大写字母A ，B ，C…表示． 2．互斥事件、对立事件 在同一次试验中，________________的两个事件称为互斥事件，若A 、B 为互斥事件，则A ＋B 表示事件A 、B 至少有一个发生． 两个互斥事件________________，则称这两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为A . 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_____.(2)必然事件的概率：P (E )＝____.(3)不可能事件的概率：P (F )＝____. (4)概率的加法公式:如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝____________. (5)对立事件的概率:若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件． P (A ∪B )＝____，P (A )＝________. 基础自测： 1．下列事件：①当x 是实数时，x －|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码．其中是随机事件的是________(填序号)． 2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________(填序号)． ①至多有一次中靶；②两次都中靶；③两次都不中靶；④只有一次中靶． 3．从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是________(将正确说法的序号填在横线上)． ①3个都是正品；②至少有1个是次品；③3个都是次品；④至少有1个是正品． 4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个， ①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为________(填序号)． 5．从一批羽毛球中任取一个，质量小于4.8克的概率是0.3，质量不小于4.85克的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)克范围内的概率是________． 6．从1,2，…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是________(填序号)． 7．考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率为________． 8．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________． 9．随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)． 10．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩， 指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题 满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答： (1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？ (2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？ (结果保留分数)

互斥事件,相互独立事件的概率复习讲义

互斥事件，相互独立事件的概率复习讲义 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事 件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,, ,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积.

高中数学互斥事件教案

互斥事件 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。 二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。 三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片 四、教学设想： 1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等； （2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}…… 师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115； （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)． 3、 例题分析： 例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环； 事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。 解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）. 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2 1，求出“出现奇数点或偶数点”． 分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解． 解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A ∪B,因为A 、B 是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=21+2 1=1 答：出现奇数点或偶数点的概率为1

互斥事件及其概率

互斥事件及其概率 教学目标： （1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件， 进而判 断它们是否是对立事件． （2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算． （3）注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维． 教学重点： 互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式． 教学难点： 利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率． 教学过程： （一） 知识要点： 1．互斥事件： 不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 2．互斥事件的概率： 如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21Λ两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ΛΛ． 3．对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ．对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=． 思考：对立事件和互斥事件有何异同？ （二） 例题选讲： 例1、一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？ 解：事件A 和B 互斥。 因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件． （2） 求射击1次，命中不足7环的概率．

随机事件、互斥事件的概率

第十章 第五节 随机事件、互斥事件 的概率 题组一随机事件及概率 1.下列事件中，随机事件的个数为 ( ) ①物体在只受重力的作用下会自由下落； ②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根； ③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次； ④下周六会下雨． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①是必然事件；②是不可能事件；③、④是随机事件． 答案：B 2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是 ( ) A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝ C．P(M)＝，P(N)＝ D．P(M)＝，P(N)＝ 解析：I＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)}，M＝{(正， 反)、(反，正)}，N＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)}，

故P(M)＝，P(N)＝. 答案：D 题组二互斥事件与对立事件 3.甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、 乙二人下成和棋的概率为 ( ) A．60% B．30% C．10% D．50% 解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40%＋P，∴P＝50%. 答案：D 4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为 ( ) A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08 解析：记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙 级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级) 的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92. 答案：C 5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E是彼此互斥的，取到理科书 的概率为事件B、D、E的概率的和．P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D) ＋P(E)＝＋＋＝. 答案：C 6．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为__________．

第7课 互斥事件及其概率

第7课 互斥事件及其概率 【考点导读】 1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立. 2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算. 【基础练习】 1.两个事件互斥是这两个事件对立的 必要不充分 条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、 既不充分也不必要） 2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ③ . ①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球 ③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球 3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是 ④ . ①3个都是正品 ②至少有1个是次品 ③ 3个都是次品 ④至少有1个是正品 4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g 范围内的概率是 0.38 . 5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% . 【范例解析】 例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每 件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件. （1）恰好有1件次品恰好有2件次品； （2）至少有1件次品和全是次品； （3）至少有1件正品和至少有1件次品； （4）至少有1件次品和全是正品. 解：依据互斥事件的定义，即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件 点评 解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义. 例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）少于7环的概率. 解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为 P=0.21+0.23=0.44. （2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03. 例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求： （1） 取出1球是红球或黑球的概率； （2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解：记事件A 1={任取一球为红球}，A 2={任取一球为黑球}，A 3={任取一球为白球}， A 4={任取一球为绿球}，则12345421(),(),(),()12 12 12 12 P A P A P A P A = = = = （1）()1212543()()12 12 4 P A A P A P A +=+= +=

互斥事件、独立事件的概率

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/2d7514299.html, 互斥事件、独立事件的概率 作者： 来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期 ■ 高考对互斥事件、独立事件概率的考查一般集中在互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算上，作为计算概率的一个工具，与其他知识交汇考查. ■ 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.若采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥 事件，不能重复和遗漏；若采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误. ■ ■ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，数据如表1所示. 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%，求一位顾客一次购物的结算时间不超过？摇？摇2分钟的概率（将频率视为概率）. 破解思路先确定事件属性，找到构成事件的若干互斥事件；再用频率估计概率，计算相 应事件的频率；然后对互斥事件概率求和即可. 概率解答题要注意规范解答，基本步骤是“设（事件）、判（事件属性）、算（概率）、答”. 经典答案由已知得25+y+10=55，x+y=35，所以x=15，y=20. 设A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率，得P（A1）=■，P（A2）=■，P（A3）=■. 因为A=A1∪A2∪A3，且事件 A1，A2，A3互斥，所以P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=■+■+■=■. 答：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为■. ■ 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；