平方根和开平方(基础)知识讲解

平方根和开平方（基础）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果2x a

=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数a

的两个平方根可以用“

a的正平方根（又叫算术平

方根），读作“根号a”

；a的负平方根，读作“负根号a”.

要点诠释：

a

0，a≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2

）结果不同：

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

||00

a a

a a

a a

>

?

?

===

?

?-<

?

()

2

a a

=≥

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

250

=

25

=

2.5

=

0.25

=.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根

B.l 是l 的一个平方根

C.()24-的平方根是－4

D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C ；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.5，所以本说法正确；

B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；

C.4，所以本说法错误；

D.因为0＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）9-没有平方根．（ ）

（24=±．（ ）

（3）21()10-的平方根是110

±．（ ） （4）25

--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，

提示：（24=；（4）

25是425的算术平方根．

2、 填空： （1）4-是 的负平方根．

（2表示 的算术平方根，= ．

（3的算术平方根为 ．

（43=，则x = ，若3=，则x = ．

【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164

(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（ ）：

①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B ；

提示：①④是正确的.

【变式2】（2015?凉山州）的平方根是 ．

【答案】±3. 解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.

3x 的取值范围是______________．

【答案】x ≥1-；

【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.

【总结升华】a 0，a ≥0. 举一反三：

【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ．

【答案】3x ≥.

类型二、利用平方根解方程

4、（2015春?鄂州校级期中）求下列各式中的x 值，

（1）169x 2=144

（2）（x ﹣2）2﹣36=0．

【思路点拨】

（1）移项后，根据平方根定义求解；

（2）移项后，根据平方根定义求解．

【答案与解析】

解：（1）169x 2=144， x 2144=169

，

x= x=1213±

. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，

（x ﹣2）2=36，

x ﹣2=

x ﹣2=±6，

∴x=8或x=﹣4．

【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．

类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求

长和宽各是多少米？

【答案与解析】

解：设宽为x，长为3x，

由题意得，x·3x＝1323

32x＝1323

x=±

21

x＝－21(舍去)

答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.

平方根知识讲解

平方根 【学习目标】 1. 了解平方根、算术平方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根. 【要点梳理】 【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】 知识点一、算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数. 要点诠释：①算术平方根一定是正数. ②负数没有算术平方根. ③0的算术平方根是0. 知识点二、算术平方根的性质 特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知识点三、平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数. ② 0的平方根是0. ③负数没有平方根 【典型例题】 类型一、算术平方根的概念 1、求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）49 64 （3） 2. 计算下列各式的值 （1）√1（2）√9 25 （3）?√0.49 3. 判断下列各式是否有意义？为什么？ （1）-√3（2）√?3（3）√（?3）2 （4）√0 练1、求下列各数的算术平方根 （1）（2）81 （3）32 2.计算下列各式的值 （1）√9（2）√22（3）±√64 81 3.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x?1（3）√x2 类型二、算术平方根的比较大小

1、比较下列各组数的大小： （1）与 （2）与8 类型三、平方根的概念 1、 求下列各数的平方根． （1）100 （2）4964 （3） (4)32 2.判断下列说法是否正确 （1）0的平方根是0； （2）1的平方根是1； （3）-1的平方根是-1； （4）是的一个平方根. 练 1. 求下列各数的平方根． （1）49 （2）425 （3） (4)0 2. 判断下列说法是否正确 （1）5是25的算术平方根； （2）56是2536的一个平方根； （3）(?4)2的平方根是-4； （4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程 （1）x 2=25；（2）x 2?81=0；（3）25x 2=36．

平方根知识点总结讲义

平方根知识点总结讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

平方根知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根 （规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数. 要点诠释：有意义时，a≥0，a≥0. 2.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方如果2x a a≥a的算与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0) 术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算 术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，

初一下数学讲义 -平方根(提高)知识讲解

平方根（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 【高清课堂：389316 平方根，知识要点】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a 0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥， 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义

知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ） A.10<

2. 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-） （ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0

随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说法正确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 30 04.0

七年级下册6.1平方根 知识点 习题

七年级下册 6.1平方根 知识点 1.算术平方根的概念及表示方法（重点） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。 总结：○10的算术平方根是0 ○2负数没有算术平方根，也就是说，当式子a有意义时，a一定表示一个非负数。 例：求下列各数的算术平方根 （1）256； （2）625； （3） 22 41-40 【针对性训练】 1.下列说法正确的是（） A、任何数都有算术平方根； B、只有正数有算术平方根； C、0和正数都有算术平方根； D、负数有算术平方根。 2.下列数没有算术平方根是（）A、5 B、6 C、0 D、-3 3．下列说法正确的是（） A、0的算术平方根是0 B、9是3的算术平方根 C、3是9的算术平方根 D、-3是9的算术平方根 4.下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a2的算术平方根是a；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（） A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个 5.选择下列语句正确的是（） A. 1 64 -的算术平方根是 1 8 - B. 1 64 -的算术平方根是 1 8 C. 1 64 的算术平方根是 1 8 D. 1 64 的算术平方根是 1 8 - 6．7是___________的算术平方根。

8．169121_______+=． 9．2 (5)-算术平方根是________ 2.平方根的概念及其性质 定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。这就是说，如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根。例如：4和-4是16的平方根，简记为4±是16的平方根。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。正数a 的平方根记为a ±。 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 总结：○1被开方数a 是非负数（即正数和零） ○ 2平方和开方是互逆运算关系 例：求下列各数的平方根 ()()2 1-3； ()152149； （3）0； （4）1. 【针对性训练】 1.下列说法正确的是（ ） A 、0没有平方根； B 、4的平方根是2； C 、-2是4的平方根； D 、-1的平方根是-1。 2.81的平方根是（ ） A 、9 B 、9± C 、3 D 、±3 3．下列说法正确的是（ ） A 、0.9的算术平方根是0.3 B 、-2a 一定没有算术平方根 C 、4的平方根是±2 D 、3-表示3的算术平方根的相反数 4．平方根等于它本身的数有（ ） A 、0； B 、0、1； C 、1； D 、-1、0、1、 5．81的平方根是__________ 6．___________的算术平方根和平方根等于它本身。 7．若2 49x =，则x=________． 8．2.56的平方根是______;算术平方根是____. 9．10-4平方根是________

平方根和立方根知识点

平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±

平方根和开平方(基础)知识讲解

平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.5，所以本说法正确； B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.4，所以本说法错误； D.因为0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25 --是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（24=；（4） 25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ． （3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ． 【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

平方根立方根知识点归纳及常见题型上课讲义

“平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a （a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81± ； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-

例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是± a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=，求xyz 的值。

平方根知识点汇总讲义

平方根知识点汇总讲义

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平方根 知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术 平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 2(0)||0 (0)(0) a a a a a a a >??===??-

初中平方根知识讲解

平方根（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥ a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没 有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方 根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 ||0 00 a a a a a a >?? ===??-

最新平方根知识点总结讲义

平方根 知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： 有意义时，a 0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥， 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-

【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m － 1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥?? -≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：

平方根知识点总结讲义汇编

平方根知识点总结 【学习目标】 1?了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2?了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根. 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即X2 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 o的算术平方根还是0）: a的算术平方根记作?.a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数? 要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即?a >o, a >o. 2.平方根的定义 如果X2 =a，那么X叫做a的平方根?求一个数a的平方根的运算，叫做开平方?平方与开平方互为逆运算?a（ a〉o）的平方根的符号表达为_,a（八0），其中日是a的算术平方根? 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 i.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和?、a 2 ?联系：（1）平方根包含算术平方根； （2 ）被开方数都是非负数； （3） 0的平方根和算术平方根均为0. 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根. （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根?因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根?要点三、平方根的性质 a （a 0） \ a2 =| a | = 0 （a = 0） -a （a :: 0） .a = a a - 0 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动1 位?例如：.62500 =250 , 、625 =25 , 625 =2.5 , 0.0625 =0.25. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 CI、若2m — 4与3m — 1是同一个正数的两个平方根，求m的值. 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m — 4二一（3m —

平方根知识讲解

平方根（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方 根（规定0的算术平方根还是0）；a a的算术平 方根”，a叫做被开方数. 要点诠释： 有意义时，a ≥0，a≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算. a(a≥0) 的平方根的符号表达为0) a≥ ，其中 a的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来 研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0) ||0(0) (0) a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如：250 = ，25 = 2.5 =，

0.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义 (4) 3x -． 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥ (3)由题意可知：1010 x x +≥??-≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤有意义． (4)由题意可知：1030x x -≥??-≠? ，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠时，3 x -有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨

人教七年级下册平方根与立方根的知识要点归纳

人教版七年级下册平方根与立方根的知识要点归纳 【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如. 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30有意义的条件是a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0）=a取任何数）。 5、区分)2=a（a≥0），与2a=a

6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

【强烈推荐】七年级数学平方根知识点复习

七年级数学平方根知识点复习 1、二次根式的概念（a ≥0）的式子叫做二次根式。 注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为 负数没有平方根，所以a ≥0 2、取值范围 （1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 （2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0 3a ≥0）的非负性 a ≥0）表示a （a ≥00（a ≥0）。 注意：a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0， 所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2（a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的 性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若0=，则a=0,b=0；若 20b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。 4、二次根式2的性质：2a =（a ≥0） 描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。 5、二次根式的性质 (0)(0)a a a a a ≥?==?-

1.414 1.732 2.236 ≈≈≈ ；；； 2a的取值范围可以是任意实数，即不论a 3a，再根据绝对值的意义来进行化简。 6、2 1、不同点：22表示一个正数a 示一个实数a的平方的算术平方根；在2中a可以是正实数，0，负实数。但2 20 ≥0 ≥。因而它的运算的结果是有差别的，2a =（a≥0）， (0) (0) a a a a a ≥ ? ==? -< ? 2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，2a＜0时，2a =-。 7、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

平方根-知识讲解

平方根 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根． 2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. 要点诠释：一个正数a a的负平方根用“ ”表示；因 此，一个正数a ”表示，其中a叫做被开方数. 2.算术平方根的定义 正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）的 . 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0) ||0(0) (0) a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】

初一下册平方根知识点总结

个性化教学辅导方案 教学 内容 平方根 教学目标1. 解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。 2、学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。 重点难点平方根的概念； 平方根的概念和平方根的表示方法； 教学过程知识梳理 知识点一算术平方根 例1：一张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？ 分析：这个问题的本质，即求平方等于1.44的数是什么？也就是知道某个数的平方，如何去求这个数呢？ 概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a，读作“根号a”，a叫作被开方数。 规定：0的算术平方根是0. 例1：求下列各数的算术平方根。 （1） 100 （2） 16 9 （3） 0.25 （4）3 例2：求下列各数的值。 （1）25（2）0.09（3）2 (6) 知识点二平方根

例：因为23= 9 , 2 (3) -= 9, 所以一个数的平方等于9，这个数是3或-3。 概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．就是说，如果2x= a (a≥0)，那么x 就叫做a 的平方根．记作a ± 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 例1：求下列各数的平方根： （1）81 （2）4 25 （3）100 （4）0.49 总结：一个正数a 的正的平方根，用符号2a表示，一个正数a 的负的平方根，用符号2a - 表示。这两个平方根合在起来可以记作2a ±。根指数是2时通常将这个2省略不写，如2a 记作a。 例2：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 总结：一个正数有两个平方根，它它们互为相反数； 0的平方根是0； 一个负数没有平方根； 注意：因为负数没有平方根，所以a中的被开方数a≥0，当 a <0时，a没有意义. 例1：下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。 －64、 0，()24-， 例2：若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是。若3x-6总有平方根，则x 的取值范围是。

平方根知识点总结归纳讲义

欢迎阅读平方根知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术 2. 如果. a(a≥ 1 2 .因此， .例如： 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，求m的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m－4＝－（3m－1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m－4＝－（3m－1）， 解得m＝1； ∴m的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ (4) 解：(1)(2)(3)(4)【答案】 ∴11a b += 类型二、平方根的运算 3、求下列各式的值． 2234+； 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】

人教版七年级数学下册平方根(基础)知识讲解

人教版七年级数学下册 平方根（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 【高清课堂：389316 平方根，知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 0的算术平方根还是0）；a a的算术平方根”，a叫做被 开方数. 要点诠释： a 0，a≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运算.a (a≥0) 的平方根的符号表达为0) a≥ 是a的算术 平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.因为25＝5，所以本说法正确； B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误； D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25-- 是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425 的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2116 表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ．