人教版九年级上册数学期中试卷易错题(Word版 含答案)
人教版九年级上册数学期中试卷易错题（Word 版 含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2k
y x
=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；
（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．
【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝6
． 【解析】
解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．
（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3
y x
=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝
12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝3
2
．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．
∴S S ACO ODB ??＝2OA OB ?? ???
＝23，∴OA OB ＝±63（舍负取正），即OA OB ＝6
3． ∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝
OA OB 6
．
2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为±，方程的另一个根是5．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
3．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
）
=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-?- =x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
4．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程(
)
2x 31x 30-++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上，
且AB ：AC=1：2
（1）求A 、C 两点的坐标；
（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解)
2x 31x 30-+=得（x 3x ﹣1）=0，
解得x 13，x 2=1。
∵OA ＜OB ，∴OA=1，3A （1，0），B （03AB=2。 又∵AB ：AC=1：2，∴AC=4。∴C （﹣3，0）。； （2）由题意得：CM=t ，3
①当点M 在CB 边上时，3t 3 ②当点M 在CB 边的延长线上时，S=t 3t 3）。 （3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（123
【解析】
试题分析：（1）通过解一元二次方程(
)
2x 31x 30-
++=，求得方程的两个根，从而
得到A 、B 两点的坐标，再根据勾股定理可求AB 的长，根据AB ：AC=1：2，可求AC 的长，从而得到C 点的坐标。
（2）分①当点M 在CB 边上时；②当点M 在CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式。
（3）分AB 是边和对角线两种情况讨论可求Q 点的坐标：
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）． （1）求点D 的坐标． （2）求直线BC 的解析式．
（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）D （4，7）（2）y=39
44
x -（3）详见解析 【解析】
试题分析：（1）解一元二次方程求出OA 、OB 的长度，过点D 作DE ⊥y 于点E ，根据正方形的性质可得AD=AB ，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE ，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA ，AE=OB ，再求出OE ，然后写出点D 的坐标即可；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同理求出点C 的坐标，设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．
试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
过D作DE⊥y于点E，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∠DAE+∠OAB=90°，
∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB，
∵DE⊥AE
∴∠AED=90°=∠AOB，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE=OA=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，
同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入B（3，0），C（7，3）得，，
解得，
∴y=x﹣；
（3）存在．
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
6．已知，抛物线y ＝-12
x 2
+bx+c 交y 轴于点C （0,2），经过点Q （2,2）.直线y ＝x+4分别交x 轴、y 轴于点B 、A ．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P 为抛物线上一动点（不与点C 重合），PO 交抛物线于M ，PC 交AB 于N ，连MN. 求证：MN∥y 轴；
（3）如图,2，过点A 的直线交抛物线于D 、E ，QD 、QE 分别交y 轴于G 、H.求证：CG ?CH 为定值.
【答案】（1）2
122
y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】
（1）把点C 、D 代入y ＝-
12
x 2
+bx+c 求解即可；
（2）分别设PM 、PC 的解析式，由于PM 、PC 与抛物线的交点分别为：M 、N.，分别求出M 、N 的代数式即可求解；
（3）先设G 、H 的坐标，列出QG 、GH 的解析式，得出与抛物线的交点D 、E 的横坐标，再列出直线AE 的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证． 【详解】 详解：（1）∵y ＝-
12
x 2
+bx+c 过点C （0,2），点Q （2,2）， ∴2122222b c c ?
-?++???=?
＝, 解得：1
2b c =??=?
. ∴y=-
12
x 2
+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2
由2
2122y kx y x x =+??
?=-++??
得
12
x 2
+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-
由2
1=22y mx y x x =???-++??
得
12
x 2
+(m-1)x-2=0， ∴124b
x x a
?=-
=- 即x p?x m =-4， ∴x m =
4p x -=21
k -. 由24y kx y x =+??=+?
得x N =
2
1
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+
22
m
k -∴=
∴直线QG 的解析式为22
m
y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n
y x n -=
+； 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??
得
221
=222
m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理，2E x n =-
设直线AE 的解析式为：y=kx+4，
由2
4122y kx y x x =+???=-++??
， 得
12
x 2
-(k-1)x+2=0 124b
x x a
∴?=-
= 即x D x E =4，
即（m-2）?（n-2）=4 ∴CG?CH=（2-m ）?（2-n ）=4.
7．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x
﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值
为4；（3）Q的坐标为（5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），进而根据S
＝S△PHB+S△PHC＝1
2
PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝1
2
x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即1
2
x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①；
（2）如图2，过点P 作
PH//y 轴交BC 于点H ，
设点P （x ，
12x 2﹣32
x ﹣2），则点H （x ，1
2x ﹣2）， S ＝S △PHB +S △PHC ＝
12PH?（x B ﹣x C ）＝12×4×（12x ﹣2﹣1
2x 2+32
x+2）＝﹣x 2+4x ， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝2时，S 的最大值为4； （3）①当点Q 在BC 下方时，如图2，
延长BQ 交y 轴于点H ，过点Q 作QC ⊥BC 交x 轴于点R ，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ， ∵∠ABQ ＝2∠ABC ，则BC 是∠ABH 的角平分线，则△RQB 为等腰三角形， 则点C 是RQ 的中点， 在△BOC 中，tan ∠OBC ＝
OC OB ＝1
2＝tan ∠ROC ＝RC BC
， 则设RC ＝x ＝QB ，则BC ＝2x ，则RB 22(2)x x 5＝BQ ， 在△QRB 中，S △RQB ＝
12×QR?BC ＝12BR?QK ，即122x?2x ＝1
2
5， 解得：KQ 5
∴sin ∠RBQ ＝KQ
BQ
55x
＝45，则tanRBH ＝43，
在Rt △OBH 中，OH ＝OB?tan ∠RBH ＝4×
43＝163，则点H （0，﹣16
3
），
由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4
3
（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53
， 当x ＝
53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，
同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929
）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929
）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
8．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2
0x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣
4
≤b ＜0． 【解析】 【分析】
（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；
（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线，从而可以求得b 的取值范围．
【详解】
解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，
即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，
∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，
即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），
∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣
b a
， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122
x x
+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a
-）， ∵直线y ＝﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线，
∴点（2b a -，2b
a -）在直线y ＝﹣x+2121
a +上， ∴2b
a -
＝21221
b a a ++
∴﹣b ＝
2
21
a a ≤
+4，（当a ＝2
时取等号）
∴0＜﹣b
≤b ＜0，
即b 的取值范围是﹣2
4
≤b ＜0． 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．如图1，抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；
②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231
26
y x x =-；（3）①()22
1
2123
n n y x x n -=
-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】
（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】
解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），
由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（
12b ，12b ），D 1（12b ，12
b
-）， ∵B 1在抛物线c 上，则
12b =(12
b )2
， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），
把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；
（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，
222,22b b B ??∴ ???，22
2,22b
b D ??- ???
. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴
=- ???
. 解得24b =或20b =（不合舍去），
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上，
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-，即221
22
y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，
解得3x b =，或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，
333,22b b B ??∴ ???，333,2
2b
b D ??- ???.
3B 在抛物线2C 上，
2
333122222
b b b
??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上，
()366612a ∴-=-.解得31
6
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-，即231
26
y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22
1
2123
n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2
201820161223y x x =
-?，220192017
1223
y x x =-?. 当0x ≠时，2
2018201920162017
111
0233y y x ＞??-=
-
???
， 20182019y y ∴＞.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．
10．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(?1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ； （1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；
（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =2
3
S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.
【答案】（1）213
222
y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10 【解析】 【分析】
（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；
（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长． 【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），
∴2016420a b a b -+=??++=?，解得：12
32a b ?
=-????=??
，
∴抛物线解析式为：213
222
y x x =-
++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0）， ∴AB=5，OC=2，
∴S △ABC =12AB?OC=1
2×5×2=5， ∵S △ABC =2
3S △ABD ，
∴S △ABD =315
522
?=，
设D （x ，y ）， ∴11155222
AB y y ?=??=， 解得：3y =；
当3y =时，213
2322
y x x =-
++=， 解得：1x =或2x =，
∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）； 当3y =-时，213
2322
y x x =-
++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；
综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴22125AC =+=,222425BC =+=， ∴222AC BC AB +=，
∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，
如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，
由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴
AO AC OM CF =，即15
25OM = 解得：2OM =， ∴
OC AC FM AF =，即25
35
FM = 解得：6FM =，
∴点F 为（2，6），且B 为（4，0）， 设直线BE 解析式为y=kx+m ，则
2640k m k m +=??+=?，解得3
12
k m =-??
=?，
∴直线BE 解析式为：
312y x =-+； 联立直线BE 和抛物线解析式可得：
231213
222y x y x x =-+??
?=-++??
， 解得：40x y =??=?
或53x y =??=-?，
∴点E 坐标为：(5,3)-，
∴22(54)(3)10BE =-+-=. 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
11．如图，四边形ABCD 为正方形，△AEF 为等腰直角三角形，∠AEF ＝90°，连接FC ，G 为FC 的中点，连接GD ，ED ．
（1）如图①，E 在AB 上，直接写出ED ，GD 的数量关系．
（2）将图①中的△AEF 绕点A 逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB ＝5，AE ＝1，将图①中的△AEF 绕点A 逆时针旋转一周，当E ，F ，C 三点共线时，直接写出ED 的长．
【答案】（1）DE 2DG ；（2）成立，理由见解析；（3）DE 的长为2或2． 【解析】 【分析】
（1）根据题意结论：2DG ，如图1中，连接EG ，延长EG 交BC 的延长线于M ，连接DM ，证明△CMG ≌△FEG （AAS ），推出EF=CM ，GM=GE ，再证明△DCM ≌△DAE （SAS ）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG ，延长EG 到M ，使得GM=GE ，连接CM ，DM ，延长EF 交CD 于R ，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM，
∴∠CMG＝∠FEG，
∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，
∴△CMG≌△FEG（AAS），
∴EF＝CM，GM＝GE，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，
∴△EGD是等腰直角三角形，
∴DE＝2DG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，
∴△CGM≌△FGE（SAS），
∴CM ＝EF ，∠CMG ＝∠GEF ， ∴CM ∥ER ， ∴∠DCM ＝∠ERC ， ∵∠AER+∠ADR ＝180°， ∴∠EAD+∠ERD ＝180°， ∵∠ERD+∠ERC ＝180°， ∴∠DCM ＝∠EAD ， ∵AE ＝EF ， ∴AE ＝CM ，
∴△DAE ≌△DCM （SAS ）， ∴DE ＝DM ，∠ADE ＝∠CDM ， ∴∠EDM ＝∠ADC ＝90°， ∵EG ＝GM ， ∴DG ＝EG ＝GM ，
∴△EDG 是等腰直角三角形， ∴DE ＝2DG ．
（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，
在Rt △ADC 中，AC 22AD CD +2255+2，
在Rt △AEC 中，EC 22A AE C -22(52)1-7， ∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，
∴CG ＝
1
2
CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°，
∴DG 22CD CG -2253-4， ∴DE 2DG ＝2．
②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝2．