正态分布附其经典习题及答案
25.3正态分布
【知识网络】
1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；
2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；
3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】
例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1
答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%
B ．50%
C ．97.5%
D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）
A 32
B 16
C 8
D 20
答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102
)，
8080
9080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。
∴ （5）如图，两个正态分布曲线图：
1为)(1
,1x σμ?，2为)(22x σμ?，
则1μ2μ，1σ2σ（填大于，小于）
答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2
：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5
9
61321210313010=?+?+?+?
. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=151412056563
10
381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()
45
1
15141321=
??? ??-??? ??
-=?=?B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()
45
44
45111=
-=?-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45
44
． 方法二：
∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
()()
()45
44
15143215143115132=
?+?+?=
?+?+?=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544
.
例3
X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=?+?+?==?+?+?=EY EX
6.0,855.0==DY DX
所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．
例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。 答案：设取出的红球数为X ，则X —H （6，6，12），666
612
()k k
C C P X k C -?==，其中k=0,1,2,…,6
∴1675100
()100502010029.4446277154231
E Y =?
+?+?-?=-，故我们不该“心动”
。
【课内练习】
1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。
3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()
∑=-n
i i x x n 1
21是指
A ．σ
B ．μ
C ．2
σ D ．2
μ（
）
答案：C 。解析：由方差的统计定义知。
4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4=ξV ，则n 的值是。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()4)1(=-=p np V ξ
5．对某个数学题，甲解出的概率为2
3
，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E
（X ）=。
答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==?===?+?=231
(2)342
P X ==?=。
∴1
5117()012212212
E X =?+?
+?=。 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是。 (1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-= 7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则V （X ）=。 答案：3512。解析：1 (),1,2,,66P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。 8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示： 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。 答案： 由于E （甲）=E （乙），V （甲） 9．交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为ξ），求抽奖人获利的数学期望。 答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，则ξ可能取的值为2，6，10. 4528)2(21028===C C P ξ，4516)6(2101218===C C C P ξ，451 )10(210 2 2===C C P ξ 5 1845162451104516645282==?+?+? =ξE 设η为抽奖者获利的可能值，则5-=ξη，抽奖者获利的数学期望为 57 55185)5(-=-= -=-=ξξηE E E 故，抽奖人获利的期望为-7 5 。 10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差. 答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2. 则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 2 00.0810.4420.480.440.96 1.4E ξ=?+?+?=+=， 222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-?+-?+-?=++=， 或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=。 【作业本】 A 组 1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则E （X ）等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、4.5 D 、4.75 答案：C 故E （X ）=3?2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σ σπ22 21)(r x e x f -= B ．2 222)(x e x f - = π π C ．()4 12 221)(-=x e x f π D ．2 221)(x e x f π = 答案：B 。解析：选项B 是标准正态分布密度函数。 3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。解析：22 () x f x -= 。 4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。 5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。 答案：84；75.6。解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28V(X)=40×0.7×0.3=8.4 故E(η)=E(3X)=3E(X)=84V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6 6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试 验，若此人每次试验成功的概率为 3 2 ，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。 解：X 故22113()1233999E X =?+?+?=，22211338 ()149()399981 V X =?+?+?-=。 7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=3 4 ，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望. 答案：解：由已知可得),2(~s B X ，故3 2,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是36 1 )31()21(22=?， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92 )32313132)(21212121(=?+??+?， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=?? 所以36 13 9192361)0(= ++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361 )31()21(22=?， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=?? 所以36591361)2(= +==Y P ，故2 1 )2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P 所以 Y 的期望是E （Y ）= 9 。 8．一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元. （1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. （2）求开发商盈利的最大期望值. 答案：解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概 率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72. （2）不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=?-+-?-=E (万元)； 召开新闻发布会盈利的期望值是 8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=?--?-?+?-+-?-=E （万元） 故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元.. B 组 1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X 的方差是 （ ） A 、0.5 B 、0.475 C 、0.05 D 、2.5 答案：B 。解析：X —B （10，0.05），()100.050.950.475V X =??=。 2．若正态分布密度函数()2 12 (),() x f x x R -- = ∈，下列判断正确的是 （ ） A ．有最大值，也有最小值 B ．有最大值，但没最小值 C ．有最大值，但没最大值 D ．无最大值和最小值 答案：B 。 3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是 （ ） A ．0．6826 B ．0．3174 C ．0．9544 D ．0．9974 答案：C 。解析：由已知X —N （100，36）， 故88100112100 (88112)()(22)2(2)10.954466 P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=。 4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X 表示得分数，则E （X ）=________；V(X)= _________. 答案： 14；165。解析：由题意知，X 可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下： E(X)=0×6+1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9 V(X)=2 0×16+21×13＋22×1136＋23×16＋24×136－2 914?? ? ??＝162165 注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X 的分布列。 5．若随机变量X 的概率分布密度函数是())(,221)(8 2,2 R x e x x ∈= +- π ?σμ，则)12(-X E =。 答案：-5。解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=?--=-。 6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X 的均值、标准差。 解：∵X —B 1111 (100,),()1000.2,()100(1)0.1996500500500500E X V X ∴=?==??-= X 的标准差 0.04468σ=。 7．某公司咨询热线电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况 （1）求至少一路电话号不能一次接通的概率； （2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”； （3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X 的数学期望. 答案：解：（1）只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； （2）“损害度”512 45 )4 3()4 1 (2 3 3 5= C ； （3）一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是4.87，所以一周内5个工作日打入电话数的期望是24.35.. 8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？ 答案：解：电池的使用寿命X —N(35.6,4.42 ) 则35.64035.6 (40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4 X P X P P Z P Z --≥=≥=≥=-≤= 即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。 本资料来源于《七彩教育网》https://www.wendangku.net/doc/266834172.html,