实数的性质及运算

第2课时 实数的性质及运算

1．了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(重点)

2．了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点)

一、情境导入

如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD 和一正方形卧室CEFG ，其中正方形厨房ABCD 的面积为10平方米，正方形卧室CEFG 的面积为15平方米，小明想知道这两个正方形的边长之和BG 的长是多少米，你能帮他计算出来吗？

二、合作探究

探究点一：实数的性质

分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

(1)3－64； (2)225； (3)11.

解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数．

解：(1)∵3－64＝－4，∴3－64的相反数是4，倒数是－14

，绝对值是4； (2)∵225＝15，∴225的相反数是－15，倒数是115

，绝对值是15； (3)11的相反数是－11，倒数是111

，绝对值是11. 方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同．

探究点二：实数的运算

【类型一】 利用运算法则进行计算 计算下列各式的值：

(1)23－55－(3－55)； (2)|3－2|＋|1－2|＋|2－3|.

解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．

解：(1)23－55－(3－55)

＝23－55－3＋5 5

＝(23－3)＋(55－55)

＝3；

(2)因为3－2＞0，1－2＜0，2－3＞0， 所以|3－2|＋|1－2|＋|2－3| ＝(3－2)－(1－2)＋(2－3)

＝3－2－1＋2＋2－ 3 ＝(3－3)＋(2－2)＋(2－1)

＝1.

方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．

【类型二】

利用实数的性质结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a 2－|b －a |－（b ＋

c ）2.

解析：由于a 2＝|a |，

（b ＋c ）2＝|b ＋c |，所以解题时应先确定a ，b －a ，b ＋c 的符号，再根据绝对

值的意义化简．

解：由图可知a <0，b －a >0，b ＋c <0.

所以，原式＝|a |－|b －a |－|b ＋c |＝－a －(b －a )＋(b ＋c )＝－a －b ＋a ＋b ＋c ＝c .

方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a |＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.

三、板书设计

实数?????

实数的性质实数的运算

由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度

《实数的性质及运算》教学设计

实数的性质及运算 教学目标 知识与技能： 掌握实数的相反数和绝对值； 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法： 通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 情感态度与价值观： 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 教学重点 1、会求实数的相反数和绝对值； 2、会进行实数的加减法运算； 3、会进行实数的近似计算. 教学难点 认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 教学过程 一、导入新课： 1、回顾有理数中的相反数、绝对值、倒数的概念 相反数：有理数a的相反数是a -. 绝对值：当a≥0时， a a= ，当a≤0时， a a- = 倒数：如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 . 2、思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ 二、实数的性质：有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念对实数仍然适用. 三、练一练 1. 3的相反数是，

π的相反数是 ， 5-1的相反数是 . 2. -π的绝对值是 ， 3-的绝对值 = ， 0的绝对值 = ， 总结归纳： 1. a 是一个实数，实数a 的相反数为-a. 2、①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 典例例精析： 1、写出下列各数的相反数和绝对值： 3.14.-π 2、（1）求 327的相反数， （2）已知3a = ，求a. 实数的运算： 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 实数的运算顺序： (1)先算乘方和开方; (2)再算乘除，最后算加减; (3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 典例精析： 例3 计算下列各式的值： ,0,,a a a ??=??-?000.a a a 当时；当时；当时>=<

(完整版)初三数学总复习实数的概念及实数的运算

初三数学第一轮总复习 第一讲实数的概念及实数的运算 （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 (1)有理数: 和 统称为有理数。 （2）无理数： 小数叫做无理数。 （3）实数： 和 统称为实数。 （4）实数和 的点一一对应。 （5） 实数的分类 ①按定义分: ②按符号分: 实数( ) ( )0() ()()( )? ???????????????? ； 实数( )( )()0()( )( ) ??????? ?? ?????? （6）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （7）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （8）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1a . 。 （9）绝对值： =a 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号 时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 5.零指数幂和负指数幂:当a ≠0时a 0 =____;当a ≠0时且n 为整数时,a -n =(a 1 )n 6.三个重要的非负数： 二：【经典考题剖析】 例1 ①a 的相反数是-1 5 ,则a 是_______。(3－2)的倒数是_______，相反数是______． ②．数a ，b 在数轴上的位置如图所示: 化简2 () ()|| a a b a b a b -+--. a b ③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．

七年级数学下册教案实数的性质及运算二

第2课时实数的性质及运算 【教学目标】 1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应； 2、学会比较两个实数的大小； 了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算； 3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。【学难点与重点】 1、难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解 2、重点：实数与数轴上的点一一对应关系 【教学过程】 一、创设情境 我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？ 1、课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会． 2、你能在数轴上画出坐标是2的点吗？画一画，说说你的方法． 教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来． 练习：学生自己完成课本第178页练习第1题． 在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数． 类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义． 3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？ 二、比一比 1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这个结论在实数范围内也成立。 2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 例1比较下列各组数里两个数的大小 ，-6；（3）－2，33 （1）2，1.4；（2）5 .1的大小比较； 分析：像例1(1)，即可以将2，1.4的大小比较转化为2，96 也可以先求出2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。 三、算一算 问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？ 答：加、减、乘、除、乘方和开方运算． 接着问：有哪些规定吗？

实数的运算——教学设计

6.3实数的运算——教学设计 教学目标： 知识与能力：了解实数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然 成立，能熟练地进行实数计算。 过程与方法：在实数运算时，根据根据问题的要求，取其近似值，转化为有理数 进行计算。 情感态度与价值观：在知识的学习过程中，感受事物之间的相互联系。 教学重点：实数的运算律。 教学难点：实数的混合运算。 教学方法：讲授法 教学准备：多媒体 教学过程： 一、创设情境，导入新课 复习导入： 1、实数的分类： 按照定义分类如下： 实数????????数）无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数 按照正负分类如下： 实数???? ???????????负无理数负有理数负实数零 负无理数正有理数正实数 2、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 3、用字母表示有理数的加法交换律和结合律。 4、有理数的混合运算顺序。 二、合作交流，解读探究 自主探索 独立阅读，自习教材． 提出问题 在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝

对值的意义是否完全一样？ 总结 （1）、实数的相反数：数a 的相反数是a -。 （2）、一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相 反数，0的绝对值是0. （3）、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非 负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、 结合律、分配律等运算性质也适用。 从数系的扩充，进一步引导学生对于实数的相反数、绝对值以及实数的运算 的认识与学习。 三、例题精讲，拓展新知 例1： （1）分别写出14.3-6-π，的相反数； （2）指出331,5--分别是什么数的相反数； （3）求364-的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是3，求这个数。 解析： （1）因为ππ-=-=14.3)14.3-(6)6(--，，所以14.3-6-π，的相反数分别为π-14.36，。 （2）因为3331)13(,5-)5(--=--=，所以，331,5--分别是13,53-的相 反数。 （3）因为4646433-=-=-，所以44643=-=-。 （4）因为33,33=-=，所以绝对值为3的数是3或3-。 例2：计算下列各式的值： （1）2)23(-+； （2）3233+。

【说课稿】实数的性质及其运算(3)

实数的性质及其运算 一、教材分析 本节课是沪科版初中数学教材七年级（下册）第六章第二节第二课时的内容，是在学生学习了无理数、实数的概念及实数的分类后的一节习题课，依据教材的编排顺序，首先采用类比的方法，用有理数中关于绝对值、相反数及倒数的意义来类比出实数中的相反数、绝对值及倒数的意义；接下来安排了两个不同类型的例题。例题1是利用近似值比较大小，例题2是关于实数的近似计算。本节课是实数相关知识的延伸，对于后面学习好二次根式的性质与运算，有至关重要的作用。 二、教学目标分析 根据数学课程标准的要求:了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值;能用有理数估计一个无理数的大致范围，结合学生的年龄特征和知识储备及本节课的特点，制定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：会求实数的相反数与绝对值，学会使用计算器求无理数的近似值，进而比较两个实数的大小； 2数学思考：经历求实数的相反数与绝对值的类比过程，进行类比学习,发展学生的类比思想 3解决问题：借助于近似值，会比较两个实数的大小，能用有理数估计一个无理数的大致范围， 4情感态度：让学生通过动手、动脑，感悟知识的生成、发展及变化。 三、教学重点、难点 实数是在有理数的基础上进行的扩充，因而有理数中的一些概念，运算律和运算法则在实数范围内仍然成立，引导学生类比有理数的相关知识，来探究实数相关知识。本节课的重点难点确定如下： 重点：会求实数的相反数与绝对值 难点：借助于实数的近似值，进行实数的大小比较及运算 四、教法与学法 本节课在学生自主学习、小组讨论的基础上尽可能的让学生自己提出问题，自己解决。在学生不能解决的时候由师生共同探讨解决，以发展学生的能力，力求使每一位学生都能“主动参与，乐于探究，交流与合作”。 五、教学过程 1、复习有理数中关于绝对值、相反数及倒数意义； 2、创设情景：出示两个计算题 （1）若X≤2，化简︱3︳-︳1︱

实数的概念性质和运算

第一章实数的概念、性质和运算 【考试大纲内容精要解析】 第一节“条件充分性判断”——解题策略与应试技巧 MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。内容涉及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。 以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析： 一、充分条件的有关概念 1、四种命题及其关系： 原命题互逆逆命题 若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ 互互 互为为互 否否 逆逆 否否 否命题逆否命题 若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ 【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假） 2、充分条件、必要条件 )，称p是q的充分条件，q是p的必要条件 若p，则q（即p q 充分条件：有之则必然，无之未必不然 必要条件：有之未必然，无之则必不然 【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语” （2）推导方向 对于具体问题可以有以下情况：（1）充分不必要 (2) 必要不充分 （3）充分而且必要（充要） （4）既不充分也不必要

3、MBA 联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然 （1）若p 是q 的充分条件，也说：p 具备了使q 成立的充分性； （2）若p 不是q 的充分条件，即 p q ?，也即：p 不具备使q 成立的充分性。 由于在MBA 联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p q ?”与“p q ?”两种类型的命题真假。 解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。 例1：x,y 是实数，︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ (1)x ＞0, y ＜0 (2) x ＜0, y ＞0 【解题分析】：（1）“有之” x ＞0,y ＜0 “则” ︱x ︱+︱y ︱=x －y ︱x －y ∣= x －y (∵x －y ＞0) “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（1）充分 （2）“有之” x ＜0,y ＞0 “则” ︱x ︱+︱y ︱＝﹣x ＋y ︱x －y ∣＝﹣x ＋y (∵x －y ＜0） “必然”︱x ︱+︱y ︱=︱x －y ∣ 故条件（2）也充分 注：对“无之未必不然”可以这样理解。如上例中条件（1）为结论成立的充分条件，但若无条件（1）（即“无之” ），结论未必不成立（“未必不然”）。如上述的条件（2）仍然使结论成立。这说明充分条件不一定唯一。 4、从集合的角度分析 若从集合的观点对条件充分性问题加以分析。我们可以发现：条件充分性问题实质上是两个集合之间的一种蕴含关系。 对于命题：“若A ，则B ”，实质上是指A 蕴含B 。回顾集合之间的包含关系：若A ?B （即A 是B 的子集），指“对任意的x ∈A,有x ∈B ”。这正是关系“A B ?”。因而我们有：若能够判断出A ?B ，即A 是B 的子集，则A 就是B 的充分条件。 MBA 中的很多问题，可以用集合的方法进行判断。 例2：关于x 的不等式x ≤1. (1) x ＜1 (2)x ＝1 解题分析：设B ＝｛x ∣x ≤1｝，A 1＝｛x|x ＜1｝，A 2=｛x ∣x ＝1｝ 虽然有A 1?B ，A 2?B 故条件（1）充分，条件（2）也充分。 注：对于任意两个集合A 与B ，它们之间可能的关系有： （ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ） MBA 联考中的“条件充分性判断”问题，由于只考虑充分性，如判断A 是否为B 的充分条件，则只有图(ⅲ)、(v) 满足A ?B 。 即A 是B 的充分条件，其它关系下，A 都不是B A B A B B A A B A （B ）

实数的运算

实数的运算 一、目标： 理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式. 二、 重点、难点： 掌握实数的运算法则及用实数的运算法则进行简单的计算. 三、预学 1．复习 实数的运算法则和运算性质及顺序. 2．讨论 232,323,232?++以上算式有什么特征？计算的结果是什么？ 学习单 1.不用计算器，计算： ;646362)1(-+ ;522225)2(÷?÷ ;)5 25(5) 3(- ;125)13()5)(4(322+-

2.不用计算器，计算： (1))63)(63(-+; (2)2 )223(+; (3);)32()2(2 3?+ (4) ;)10()4 1 (22+-- (5)205)1 31(1?+--; (6) 02)12()23(-+-; (7) 22)15()15(--+ （8）2 222)5()3()3()6(-----+;

实数的运算巩固练习 班级 姓名 评价 1、不用计算器，计算：（5.5分?16=88分） （1）22272523--+ （2）32 5 341345323++- （3）1523356?- （4）3102310÷÷? （5）( )1515265÷-? （6）()( ) 2 2 5210?+ （7）( ) 2 12+ （8） ( )( ) 2 2 1313-- + （9）36001.010*******++-- （10）33233410101010---+-

（11）5353 ???? ? ?? （12）( ) () 322122 ++- （13）40×10 （14）5125÷ （15）()( ) 2 2 315315+- （16） ()( ) 2 5252-+- 2、如图，在一个边长为()232+的正方形内部，挖去一个长为( )15+，宽为 ( ) 15-的长方形，求剩 余部分的面积。（10分） 3、请你思考下列计算过程，因为,121112=所以11121=；因为,123211112 =所以11112321=， 由此猜想：____________76543211234567898=（2分）

实数的概念与运算1

实数的概念与运算 (1) 班级________ 姓名________ 小组 _______ 一：学习目标：了解实数的定义与分类，会进行实数的有关运算.提高运算能力。 二：学习过程： （一）：【知识梳理】 1.实数的有关概念 （1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，则 。 （2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a ≠0）的倒数为1a .则 。 （4）绝对值： （5）实数和 的点一一对应。 2.科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a ×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这 个数字的有效数字。 3.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ． 有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：a b -＞0a ?＞b ，a b -=0a b ?=，a b -＜0a ?＜ b （2）商值比较法： 若a b 、为两正数，则a b ＞1a ?＞b ；1;a a b b =?=a b ＜1a ?＜b （3）绝对值比较法： 若a b 、为两负数，则a ＞b a ?＜b a b a b a =?=；；＜b a ?＞b 5．二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2() ()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ 二：【经典考题剖析】 1．下列各数中：-1，0，169，2π ，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722. 有理数集合{ …}； 正数集合 { …}； 整数集合 { …}； 自然数集合{ …}； 分数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 2. 已知(x-2)2 +|y-4|+6z -=0，求xyz 的值．． 课海拾贝/ 反思纠错

实数的性质及运算

第2课时 实数的性质及运算 1．了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(重点) 2．了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点) 一、情境导入 如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD 和一正方形卧室CEFG ，其中正方形厨房ABCD 的面积为10平方米，正方形卧室CEFG 的面积为15平方米，小明想知道这两个正方形的边长之和BG 的长是多少米，你能帮他计算出来吗？ 二、合作探究 探究点一：实数的性质 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)3－64； (2)225； (3)11. 解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数． 解：(1)∵3－64＝－4，∴3－64的相反数是4，倒数是－14 ，绝对值是4； (2)∵225＝15，∴225的相反数是－15，倒数是115 ，绝对值是15； (3)11的相反数是－11，倒数是111 ，绝对值是11. 方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同． 探究点二：实数的运算 【类型一】 利用运算法则进行计算 计算下列各式的值： (1)23－55－(3－55)； (2)|3－2|＋|1－2|＋|2－3|. 解析：按照实数的混合运算顺序进行计算． 解：(1)23－55－(3－55) ＝23－55－3＋5 5 ＝(23－3)＋(55－55) ＝3；

(2)因为3－2＞0，1－2＜0，2－3＞0， 所以|3－2|＋|1－2|＋|2－3| ＝(3－2)－(1－2)＋(2－3) ＝3－2－1＋2＋2－ 3 ＝(3－3)＋(2－2)＋(2－1) ＝1. 方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律． 【类型二】 利用实数的性质结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a 2－|b －a |－（b ＋ c ）2. 解析：由于a 2＝|a |， （b ＋c ）2＝|b ＋c |，所以解题时应先确定a ，b －a ，b ＋c 的符号，再根据绝对 值的意义化简． 解：由图可知a <0，b －a >0，b ＋c <0. 所以，原式＝|a |－|b －a |－|b ＋c |＝－a －(b －a )＋(b ＋c )＝－a －b ＋a ＋b ＋c ＝c . 方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a |＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 三、板书设计 实数????? 实数的性质实数的运算 由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度

初中数学复习实数的概念及运算(含答案)知识讲解

第1讲实数概念与运算 一、知识梳理 实数的概念 1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。 (1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。 (2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。实数a的相反数是______0的相反数是________ ②性质：若a+b=0 则a与b互为______, 反之，若a与b 互为相反数，则a+b= _______ (3)倒数： ①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。 ②a 的倒数是________(a≠0) (4)绝对值：①定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______, 叫数a的绝对值。 ② 2、平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a≥0） (2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a≥0） (3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。 注意：负数_________平方根。 实数的运算 1、有效数字、科学记数法 （1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

（2）科学记数法：一个数M 可表示为a ?10n 或a ?10-n 形式，其中1//10a ≤∠，n 为正整数，当/M/≥10时，可表示为__________形式，当/M/<1时，可表示为____________形式。 2、实数的运算： （1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。 （2）零指数：0a =__________（a≠0），负指数：p a -=________（a≠0，p 是正整数）。 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 二、题型、技巧归纳 考点一：实数的概念 1、5-的相反数是（ ） A ．5 B ．5- C ．55- D ．55 2、如果 2()13?-=，则“”内应填的实数是（ ） A ． 32 B ． 23 C ．23- D ．32 - 3、在实数π、13 、2、sin30°,无理数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 技巧归纳： 1.只有符号不同的两个数互为相反数； 2.乘积为1的两个数互为倒数 3.无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 考点二：平方根、算术平方根、立方根 4、已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个数是 ． 技巧归纳： 一个数的平方根互为相反数，相加等于0 考点三：实数的运算 5、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m 的颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为( )

著名机构七年级数学春季班讲义1实数的概念(学生)

实数的概念 课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ???????????????? ?????????正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数 4. 平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.

8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； ； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义 如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质 （1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示； （2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在； （4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”. 热身练习

[第6-7讲] 实数(平方根、算术平方根、 立方根、实数的概念及基本运算、混合运算)=预习与巩固

实 数1（平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算） 板块一：战前准备——打败拦路虎！ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(－2)2＝4，则－2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：－5的平方根为_______？ 总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 示例：4的平方根是±2，其中2叫做4的算术平方根。 5叫做5的算术平方根。 练习：2564 的平方根是______，算术平方根是______。 0.0001的平方根是________，算术平方根是________。 (－3)2的平方根是________，算术平方根是________。 ______，算术平方根是______。 a (a ≥0)的平方根是________，算术平方根是________。 又总结了： 1．先确定这个数是谁，再去判断它的平方根和算术平方根。( (－3)2 2a ≥00！(双重非负)

6.3 第2课时 实数的性质及运算 (3)

第六章 实数 6.3 实数 2课时 实数的性质及运算 . . . . . 一个正实数的绝对是 ，一个负实数的绝对是 ，0的绝对，互为相反数的两个实数的绝对 . ） - ） 13 D.13 - 四、我的疑惑 ___________________________________________________________________________________________

_ 一、要点探究 探究点1：实数的性质 问题1：如果a 表示一个正实数，那么 就表示一个负实数，则a 与-a 互为 ，0的相反数是 ，是 ，-的相反数是 ，π的相反数是 . 问题2：______(0)=______(0)______(0) a a a a ì>?? =í?

4; =（） 的绝对值是-（） (3)- （） 2.下列各数中，互为相反数的是( ) A.3 与1 3 B.2与(-2）2 D.5与|-5| 32 --( ) A.5 B.-1 C.5- 5 4.比较大小：（1 （2） 是的相反数;π-3.14的相反数是 . 6.计算: （1） ； （2 ； （3） 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：https://www.wendangku.net/doc/218210728.html,(无须注册，直接下载) += +- 21

初中数学实数的概念与运算教案

第1课时实数的概念与运算 【复习目标】 1．理解有理数、相反数、绝对值、乘方的意义，掌握有理数的运算律，能运用运算律简化运算，并能运用有理数的运算解决简单的实际问题． 2．会求有理数的相反数与绝对值，能比较有理数的大小，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 3．能用数轴上的点表示有理数及简单的无理数，知道实数与数轴上的点一一对应． 4．了解平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数、近似数、有效数字的概念，了解开方与乘方互为逆运算． 5．会用根号表示平方根、立方根，能用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，能把给出的实数按要求进行分类，会比较实数的大小，会进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）． 6．能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，在解决实际问题时能根据问题的要求对结果取近似值，会用科学记数法表示一个较大或较小的数，能用有理数估计一个无理数的大致范围． 【知识梳理】 1．实数的分类： (1)按定义分类： 2．数轴：规定了________、_______和_______的直线叫做数轴，数轴上的点与_______是一一对应的关系．

3．相反数：只有_______的两个数互为相反数．数a的相反数是_______；若a和b互为相反数，则a＋b＝_______． 4．绝对值：在数轴上，表示数a的点到_______的距离，叫做数a的绝对值，记作a，正数的绝对值是_______，负数的绝对值是_______，0的绝对值是_______，即 5．倒数：乘积为_______的两个数互为倒数．数a(a≠0)的倒数是________；若实数a，b互为倒数，则ab＝_______． 6．科学记数法：把一个数表示成a×10n(_______≤a<_______，n为不等于0的整数）的形式的方法叫做科学记数法． 7．近似数与有效数字：一个与实际数值很接近的数叫做近似数．一般地，近似数由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，这时，从左边第一个不是_______的数字起，到_______止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 8．平方根、算术平方根与立方根： (1)若x2＝a(a≥0)，则称x为a的_______，记为＋a或a，其中a叫做a的_______．0的算术平方根是_______．同样，若x3＝a，则称x为a的_______，记为3a，0的立方根为_______． (2)一个正数的平方根有两个，它们_____，负数没有平方根．一个数的立方根只有一个．9．实数的大小比较： (1)数轴表示法：将两个实数分别表示在数轴上，_______边的数总比_______边的数大． (2)代数比较法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而________． (3)根式比较：若a>b≥0，则a_______b． 10．实数的运算： (1)实数的运算法则： ①加法法则：同号两数相加，取_______的符号，并把绝对值_______；异号两数相加，取_______的加数的符号，并用_______减去_______；互为相反数的两数之和等于_______． ②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______． ③乘法法则：两数相乘，同号得_______，异号得_______，并把绝对值相乘；0乘任何

实数(实数的概念运算及大小比较)

实数(实数的概念、运算、及大小比较) 一.教学内容： 第一单元实数(实数的概念、运算、及大小比较) 二.教学目标： 1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. (1)了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 (2)会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 (3)画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。 (1)了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运 算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 (2)了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。 (3)了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值) ，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 (4)了解计算器使用的基本过程。 三.教学重点和难点： 1. 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2. 相反数、倒数、数的绝对值概念； 3. 在已知中，以非负数a2、|a、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。 4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。 四.课堂教学： (一)知识要点：知识点1 :实数分类 有理数实数'正整数整 数零 负整数 正分数 戾分数 无理数方法(1) 正无理数负无理数

中考数学复习专题1实数的有关概念及运算

专题01 实数的有关概念及运算 知识点名师点晴 实数的 分类 1.有理数会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数 2.无理数会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 实数的 有关概 念 1.相反数、倒数、绝对值会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 2.科学计数法、近似数掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 3.实数的非负性利用实数的非负性解决一些实际问题 实数的 运算和 大小比 较 1.实数的估算求一个无理数的范围 2.实数的大小比较理解实数的大小比较的方法 3.实数的运算掌握实数的混合运算 ?2年中考 【2015年题组】 1．（2015 51 2 ） A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之 间 【答案】C． 考点：估算无理数的大小． 2．（2015常州）已知a=2 2 ，b=3 3 ，c=5 5 ，则下列大小关系正确的是（） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A．

考点：实数大小比较． 3．（2015泰州）下列4个数：9，22 7 ，π， ()03 ，其中无理数是（） A．9B． 22 7C．πD． ()03 【答案】C． 【解析】 试题分析：π是无理数，故选C． 考点：1．无理数；2．零指数幂． 4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数35 - 的点P应落在线段（） A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵25＜3，∴0＜35 -＜1，故表示数35 -的点P应落在线段OB上．故选B． 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴． 5．（2015广元）当01 x <<时，x、 1 x、2x的大小顺序是（） A． 2 1 x x x << B． 2 1 x x x << C． 2 1 x x x << D． 2 1 x x x << 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵01 x <<，令 1 2 x= ，那么 2 1 4 x= ， 1 4 x = ，∴ 2 1 x x x << ．故选C． 考点：实数大小比较． 6．（2015 5210 a b a b +++-+= ，则 ()2015 b a - =（）

【教学设计】实数的性质及其运算

实数的性质及其运算 1．了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；(重点) 2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．(重点、难点) 一、情境导入 如图所示，小明家有一正方形厨房和一正方形卧室，其中正方形厨房的面积为10平方米，正方形卧室的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和的长是多少米，你能帮他计算出来吗？ 二、合作探究 探究点一：实数与数轴的关系 【类型一】求数轴上的点对应的实数 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数． 解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数． 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋.则点C到点A的距离也为1＋.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.∴点C所表示的实数为－2－. 方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 【类型二】利用数轴进行估算 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()

A．6个B．5个C．4个D．3个 解析：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C. 方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．【类型三】结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：－－－. 解析：由于＝，＝＋，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简． 解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0. 所以，原式＝－－－＋＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c. 方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：＝探究点二：实数的性质 求下列各数的相反数和绝对值： (1)；(2)－；(3)－1＋. 解析：根据相反数、绝对值的定义求解． 解：(1)的相反数是－，绝对值是； (2)－的相反数是－＋，绝对值是－＋； (3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋. 方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可．求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 探究点三：实数的运算 计算下列各式的值： (1)2－5－(－5)； (2)－|＋|1－|＋|2－|. 解析：按照实数的混合运算顺序进行计算． 解：(1)2－5－(－5) ＝2－5－＋5 ＝(2－)＋(5－5) ＝； (2)因为－＞0，1－＜0，2－＞0， 所以－|＋|1－|＋|2－|

1、实数的有关概念及运算

分类训练1、实数的有关概念及运算 一、选择题 1、在数－3， －2 ，0 ，3 中，大小在－1和2之间的数是（ ） A 、－3 B 、－2 C 、0 D 、3 2、在0 ，2 ，（－3）0，－5这四个数中，最大的数是（ ） A 、0 B 、2 C 、（－3）0 D 、－5 3、－5的倒数是（ ） A 、5 B 、 51 C 、－5 D 、－51 4、（π－3.14）0的相反数是（ ） A 、3.14－π B 、0 C 、1 D 、－1 5、计算35+-的结果是（ ） A 、－2 B 、2 C 、－8 D 、8 6、计算3＋（－3）的结果（ ） A 、6 B 、－6 C 、1 D 、0 7、下列各数中，最小的数是（ ） A 、－3 B 、2- C 、（－3）2 D 、2×103 8、在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ） A 、段① B 、段② C 、段③ D 、段④ 第8题 9、陆地上最高处是珠穆朗玛峰的封顶，高出海平面约8844m ，记为＋8844m ；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415m ，记为（ ）m A 、＋415 B 、－415 C 、±415 D 、－8844 10、估计2 15-介于（ ） A 、0.4与0.5之间 B 、0.5与0.6之间 C 、0.6与0.7之间 D 、0.7与0.8之间 11、今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市。按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米。用科学记数法表示126万为（ ） A 、126×104 B 、1.26×105 C 、1.26×106 D 、1.26×107