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一线三等角专题

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1.如图,把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上,连接AC ,将纸片OABC 沿AC 折叠,使点B 落在点D 的位置.若点B 的坐标为(4,8),则点D 的坐标是____. 2.如图,在平面直角坐标系中,直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,四边形ABCD 是正方形,曲线在第一象限经过点D.则________.

3.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°,点E 、F 分别在线段AD 、DC 上,且 ∠BEF=110°, 若AE=3,求DF 的长.

4.点E 为线段BC 上一点,若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ,AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时,求BE 的长.

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5.如图设M 为线段AB 中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME=∠A=∠B=α,且DM 交AC 于F ,EM 交BD 于G .

(1)写出图中三对相似三角形,并对其中一对作出证明; (2)连接FG ,设α=45°,AB=4

,AF=3,求FG 长.

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6.如图,已知y 1=k 1x+k 1(k 1≠0)与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ,其中A 点坐标(1,1).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)根据图象写出在第一象限内,当取何值时,y 1<y 2?

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(3)若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点,连接OA ,求△AOB 的面积: (4)在(3)的条件下,在坐标轴上是否存在点P ,使△AOP 是等腰三角形?若存在,请写出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

7.已知:在矩形AOBC 中,OB=3,OA=2.分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若点F 是边BC 上的一个动点(不与B 、C 重合),过F 点的反比例函数(k >0)的图象与边交于点E .

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(1)直接写出线段AE 、BF 的长(用含k 的代数式表示); 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1,S 2,求证:S 1=S 2; (3)记△OEF 的面积为S .

①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围;

②以OF 为直径作⊙N ,若点E 恰好在⊙

N 上,请求出此时△OEF 的面积S . (4)当点F 在BC 上移动时,△OEF 与△ECF 的面积差记为S ,求当k 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?

(5)请探索:是否存在这样的点E ,使得将△CEF 沿EF 对折后,C 点恰好落在OB 上?若存在,求出点E

的坐标;若不存在,请说明理由.

A

B

C

D

O

y x

图4

F

E C

B

A

8.如图1,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q . (1)试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论;

(2)如图2,若连接EF 交GA 的延长线于H ,由(1)中的结论你能判断EH 与FH 的大小关系吗?并说明理由.

(3)在(2)的条件下,若BC=AG=24,请直接写出S △AEF=______.

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(4)如图3,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H. 若AB= k AE ,AC= k AF ,试探究HE 与HF 之间的数量关系,并说明理由.

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9.△ABC 中,AB=AC ,D 为BC 的中点,以D 为顶点作∠MDN=∠B (1)如图(1)当射线DN 经过点A 时,DM 交AC 边于点E ,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE 相似的三角形.

(2)如图(2),将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转,DM ,DN 分别交线段AC ,AB 于E ,F 点(点E 与点

A 不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.

(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的1/4 时,求线段EF 的长.

10.等腰△ABC ,AB=AC=8,∠BAC=120°,P 为BC 的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P ,三角板绕P 点旋转. (1)如图a ,当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时.求证:△BPE ~△CFP ;

(2)操作:将三角板绕点P 旋转到图b 情形时,

三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、

F .

① 探究1:△BPE 与△CFP 还相似吗?

② 探究2:连结EF ,△BPE 与△PFE 是否相似?请说明理由; ③ 设EF=m ,△EPF 的面积为S ,试用m 的代数式表示S .

11.如图,在△ABC 中,AB=AC=5cm ,BC=8,点P 为BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点P 作射线PM 交AC 于点M ,使∠APM=∠B ;

(1)求证:△ABP ∽△PCM ;

(2)设BP=x ,CM=y .求 y 与x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (3)当△APM 为等腰三角形时, 求PB 的长.

图3

M

N

G

F

E

C

B

A

H

A

B

C

P E F

A

B

C

P

E

F

A

B P

C

M