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C3.2 函数的解析式学生版

C3.2函数的解析式

知识点梳理：函数的解析式

解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1、一般式是大部分函数的表达形式，例

一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y =

)0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)

3、复合式

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。

4、解析式的求法

根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。

函数的解析式是表示对应关系的式子，是函数三种表示法中最重要的一种，对某些函数问题，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出函数的解析式．本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下：

典型例题：

一、定义法

【例1】例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .

当堂练习：设2

1)]([++=

x x x f f ，求)(x f .

二、待定系数法

【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .

三、换元（或代换）法：

【例3】已知,11)1(22x x

x x x f ++=+求)(x f .

当堂训练：若x x

x f x f +=-+1)1(

)(，求)(x f

四、反函数法：【例4】已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f .

五、特殊值法：

【例5】设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .

六、累差法：

【例6】若a

f 1l

g )1(=，且当12,(1)()lg ,(0,)x x f x f x a a x N -≥-=->∈*时满足，求)(x f .

七、归纳法：

【例7】已知a f N x x f x f =*∈+

=+)1()(),(2

12)1(且，求)(x f .

课后练习

1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．

①y 1＝ x ＋3 x －5 x ＋3

，y 2＝x －5； ②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝ x ＋1 x －1 ；

③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；

④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1；

⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.

2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有________(填序号)．

3．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．

①y ＝x 2

x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .

4.(1)已知f (2x

＋1)＝lg x ，求f (x )； (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；

(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x

)＝3x ，求f (x )．

5.给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；

(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．

6．(12分) (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式；

(2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；

(3)若函数f (x )＝x ax ＋b

，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．

7：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+

，求)]([x g f .

8：设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.

9：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .

10：设)0,,()1()()(b a ，c b a cx

x bf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

11：设2)1(,

cos )(sin 22=='f x x f ，求)(x f .

12．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．

2021新高考一轮复习专题2.1 函数概念及三要素(解析版)

第一讲函数的概念及三要素 1．函数与映射函数映射两个集合A ，B 设A ，B 是两个非空数集设A ，B 是两个非空集合对应法则f ：A →B 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素 y 与之对应名称称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法函数y ＝f (x )，x ∈A 映射：f ：A →B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于 A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数、映射的判断【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下

无锡新领航教育咨询有限公司高三数学函数解析式求法教师版

考点一课前巩固提高１函数223 ()tan x x f x x -++=的定义域为。答案:[) 1,0(0,)(,3]22 ππ - 解析:由题意得，函数的定义域为2230100322tan 0 x x x x x x ππ ?-++≥?-≤<<<<≤? ≠?或或。 2已知数列{}n a 满足2 2 1221,2,(1cos )sin 22 n n n n a a a a ππ +===+?+,则该数列的前10项的和为 ▲ .77 设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果 5 ()24 n n S n N T n *=∈+, 则 23a b =＿＿____ _＿__＿＿．514 3已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足 221n n a S -=，n *N ∈.数列{}n b 满足1 1 n n n b a a += ?,n T 为数列{}n b 的前ｎ项和. (１)求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在，求出所有 ,m n 的值；若不存在，请说明理由．解：(１）（法一）在2 21n n a S -=中,令1=n ，2=n , 得?????==, ,32 2121S a S a 即?????+=+=,33)(,12112 1d a d a a a ………………………2分解得11=a ,2=d ，21n a n ∴=- 又21n a n =-时,2n S n =满足2 21n n a S -=，21n a n ∴=- ………………3分 111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+, 111111(1)2335212121 n n T n n n ∴=-+-++-= -++. ………………5分

函数学生版

函数 1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数. （1）变量：因变量，自变量在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。（3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k <0， b 0时，则经1、2、4象限；当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。 ④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。（4）二次函数： ①一般式：22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a =- 顶点是 2 4,)24b ac b a a -（－； ②顶点式：2 ()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -； ③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式一、运用平移求解析式 1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．【答案】因为()2 22314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+ 2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值．【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()2 33y x =-- 所以可得6b =-，6c = 3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -，，可得1a =-，所以()()()2 2134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，，向左平移3个单位得到()211y x =-++ 二、运用对称求解析式 4．将抛物线()214y x =--沿直线32 x = 翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833 y x x = ++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．

【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843??-- ?? ?，，关于y 轴对称后顶点为 843??- ?? ?，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式 6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．【答案】因为()2 2211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称所以()21y x =--

2函数三要素-讲义版

函数的三要素【知识点】一、函数的定义域（1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则．（2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）．常见定义域的求法：常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ； ②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1 (0)x x ≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0 (0)x x ≠] ④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >] ⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)；实际问题：使实际问题有意义的实数的集合．二、函数的值域对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域．三、解析式（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法；（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法；（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．课程类型： 1对1课程 ? Mini 课程 ? MVP 课程

【课堂演练】题型一函数定义域例1 求下列函数的定义域：（1）1()2 f x x =- （2）0()32(2)f x x x = +- （3）1 ()1 2f x x x =+- 练1 求下列函数的定义域：（1）83y x x =+- （2）22 111 x x y x --= - （3）()3||f x x =- 练2 函数0()(12)13 g x x x x = --的定义域为．例2 函数3()1log (63)f x x x = +-的定义域为（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．[1,2)- D ．[1,2]- 练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（） A ．[1,3)- B ．(1,3)- C ．(1,3]- D ．[1,3] - 练4 函数1 ()ln(31) = +f x x 的定义域是（） A ．1 (,)3- +∞ B ．1 (,0)(0,)3- +∞U C ．1 [,)3- +∞ D ．[0,) +∞ 题型二函数值域 ? 一次分式值域例3 求432+-=x y 在?? ? ???-∈1,32x 上的值域．

人教版必修1 求函数解析式方法分段函数例题练习试题及其答案

函数概念及其表示练习（4）一、求函数解析式（1）代入法求函数解析式例1．已知f （x ）=2x x +2 ，则f （x －１）= 例2．已知f （x ）=2x x +2 ，g （x ）=12 +x ，则()[]x g f = 练习．已知f (x )，g (x )对应值如表. 则f (g (1))的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不存在（2）换元法求函数解析式例1．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4 例2．设函数，则的表达式为（） A. B. C. D. 例3．已知( ) x x x f 21+=+，求f （x ）解析式. 例4．已知g （x ）=1-2x,f [g （x ）]=)0(122≠-x x x ,则f （2 1 ）等于例5．若函数[]12)(36)(+=+=x x g x x g f 且，则)(x f 等于（） A ．3 B ．3x C ．6x+3 D ．6x+1 练习1．已知2 2 11()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（） A ． 21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．2 1x x +- 练习2．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x + 练习3．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =

练习4. 已知函数=-=)3(,1)(2f x x f 则（） A. 8 B. 6560 C. 80 D. 2 （3）待定系数法求函数解析式例1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．例2. 为了提倡节约用水，自来水公司决定采取分段计费，月用水量x （立方米）与相应水费y （元）之间函数关系式如图所示 . （1）月用水量为6方，应交水费元；（2）写出y 与x 之间的函数关系式；（3）若某月水费是78元，用水量是多少？例3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是练习1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 练习2．若是一次函数，，则 =

函数三要素教案

（一）教学目标 1．知识与技能（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.

二、授课内容：【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围函数三要素 ⑵值域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0

14秋季班09-二次函数的解析式教师版

初中数学备课组教师班级初三学生日期月日上课时间教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式?本节要讨论的是：怎样根据不同的已知条件解析式的选取；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式 1. 一般式： 2 y -ax 2 bx ? c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x — 2a 4a 2a 2.配方式： 2 y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m 3.分解式： y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x= ? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点 sy q,求此二欢函数的解析式. M 方迭T 一般式)：V ?二次函数的图像顶点M 为〔一1, 4)t A 对称釉是貢线工=一｝? 设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0). 又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨 A& | ~ 4? *'? A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 = h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0). 设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐扳优人，得 I 所我解析式为y = — — 2疋+ & ffi J - i -1 0,

函数的三要素学生版

一、函数与映射的基本概念判断 1. 设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合 2. 设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈， ()x f x +是奇数” ，这样的映射f 有____个 3. 设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____ 4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“值同函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“值同函数”共有______个 5. 以下各组函数表示同一函数是________________ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。二、函数的定义域 1.求下列函数的定义域（1）2161x x y -+= ；（2 ）34x y x +=- 2.（1）已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。（2）若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域（3）已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求 2f x y -的定义域。 3. 求函数()f x = 4. 若函数()f x = 3 442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（）

待定系数法求一次函数解析式专题导学案(教师版)

第2题图第3题图 3.“五一节”期间，一个家庭自驾游去了离家120km 的某地旅游，他们离家的距离y（单位：km）与汽车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则

变式练习 1. 一次函数的图象经过点A 和点B ，已知点A （1,0），点B 在y 轴负半轴上，且直线与两坐标轴所围成的三角形面积为1，求该一次函数的解析式. 2. 当弹簧原长度b （未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y （单位：cm ）是重物重量x （单位：kg ）的一次函数，即 y=kx+b （k 为任意正数）. 现已测得不挂重物时，弹簧长度是5cm ，挂2kg 质量的重物时，弹簧的长度是6cm. （1 ）求这个一次函数的解析式；（2）当弹簧悬挂4kg 的重物时，求弹簧的长度. 拓展提升如图，过点A 的一次函数的图象与函数y=-x+4的图象相交于点B ，求这个一次函数的解析式. 当堂检测（以下题目通过“神算子”进行检测） 1. 直线y=kx-2与x 轴的交点是（1,0），则k 的值是（） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 2. 已知一次函数y=kx+1的图象过点（1，3），则k 的值为（） A. 1 B. 2 C. -1 D. 3 2 3. 直线y=kx+b 经过A （0,2）和B （3，0）两点，那么这个一次函数关系式为（） A.32+=x y B.23 2 +-=x y C.23+=x y D.1+=x y 4. 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （-1,3）和点B （2，-3）. （1）求这个一次函数的表达式；（2）求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积.

人教版高中数学必修一函数解析式的求法大盘点

函数解析式的求法大盘点函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。一．方程组法型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+

函数概念及三要素

函数概念及三要素 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的。注：分段函数是个函数，而不是多个函数。 3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。方法一：函数定义域的求法关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数例题：)35lg(lg x x y -+= 的定义域为_______ 方法二：求函数解析式的常用方法 1、配凑法 2、待定系数法 3、换元法 4、解方程组法例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。

例2、已知2 (31)965f x x x +=-+，则()f x = 。例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。方法三：分段函数分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数 22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____． 2. 已知函数11,02()ln ,2 x f x x x x ?+<≤?=??>?，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞

2019-2020学年高三数学第一轮复习 14 函数的表示法----求解析式教学案(教师版).doc

2019-2020学年高三数学第一轮复习 14 函数的表示法----求解析式教学案（教师版）一、课前检测 1．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = . 答案：6- 2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = . 答案：21x - 3. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 答案：()123f x x =- 或()21f x x =-+ 二、知识梳理求函数解析式的题型有： 1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；解读： 2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；解读： 3.已知函数图像，求函数解析式；解读： 4.()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；解读： 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．解读：三、典型例题分析例1 设2211(),f x x x x +=+ ，求()f x 的解析式. 答案：()22f x x =- 变式训练1：设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案：()2sin 1f x x =-

变式训练2：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 答案：()22f x x =-，()33g x x x =-，642[()]692f g x x x x =-+- 小结与拓展：配凑法例2 设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式. 答案：2()56f x x x =-+ 变式训练1：已知21lg f x x ??+= ???，求)(x f 的解析式. 答案：2()lg 1f x x =- 变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 答案：2()21f x x x =++ 小结与拓展：换元法例3 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；答案：()27f x x =+ 变式训练1：已知12()3f x f x x ??+= ??? ，求)(x f 的解析式. 答案：1()2f x x x =-

函数概念及其三要素

函数概念及其相关概念（2课时）考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2 y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（） ①2 2 x y +=2 ②111x y -+ -= ③y=21x x -+- A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。例2. 下列哪个函数与y=x 相同（） A. y=x B. 2 y x = C. () 2 y x = D.y=t 变式1.下列函数中哪个与函数3 2y x =-相同（） A. 2y x x =- B. 2y x x =-- C. 3 2y x x =-- D. 2 2y x x -= 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（） O O O O X X X X y y y y

人教版初中求函数解析式的基本方法

中考中求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。例1. 已知，求。解：因为二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。例2. 同例1。解：令，所以，所以。评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。例3. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。

解：，① ② 得，所以。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。例4. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。解：令，令，所以，所以五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例5. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求的解析式。

解：因为解集为（1，3），设，所以 ① 由方程得② 因为方程②有两个相等的实根，所以，即解得又，将①得。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，所以，当，所以七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例7. 已知函数，求它的反函数。解：因为，反函数为八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数

函数的定义及三要素

函数的定义及三要素考点一、函数概念的理解 [例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. [例2】下列各图中，可表示函数)(x f y 的图象的只可能是（）变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是( ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x 3； ②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2； ⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？

考点二、相等函数的判断 [例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________． ①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝x＋2与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2 变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2； (3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝ 1 x＋1； (3) y＝x－1＋1－x； (4)y＝ x＋1 x2－1.

求一次函数解析式教案

马溪中学钟传德教学目标： 1．了解待定系数法的思维方式与特点.明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实. 2．会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式,发展解决问题的能力. 3．进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法. 教学重点：根据所给信息确定一次函数的表达式. 教学难点：培养数形结合解决问题的能力. 教学过程：一、复习引入(知识链接) 1.复习：你能画出函数y=2x与y=-x+3的图象吗？ 2.反思：你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗? 3.引入：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?这将是本节课我们要研究的问题.(板书:求一次函数的解析式) 二、探究新知(知识接力) 1.求下图中直线的函数表达式：图1 图2 （1）分析与思考：从图象知,图1中直线的函数是正比例函数,故其解析式必为y=kx形式,关键是如何求出k的值；同样由图可知图象经过点(1,2),所以该点坐标必适合解析式,将坐标代入y=kx即可求出k的值. 图2中直线的函数是一次函数,故其解析式为y=kx+b形式,同样代入直线上两点(2,0)与(0,3)即可求出k、b,确定解析式为 . （2）小结：确定正比例函数的解析式需1个条件, 确定一次函数的解析式需要2个条件. 2.P117例4：已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9).求这个一次函数的解析式. （1）教师板演示范. （2）回顾小结： ①像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法. ②你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？（结合例题）设列解写

函数的三要素

第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】 (1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B 中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析： ①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可； (2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). （3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. （4）函数的表示方法 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

北京第十八中学高三数学第一轮复习 14 函数的表示法求解析式教学案(教师版)

北京第十八中学高三数学第一轮复习 14 函数的表示法求解析式教学案（教师版）一、课前检测 1．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = . 答案：6- 2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = . 答案：21x - 3. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 答案：()123f x x =- 或()21f x x =-+ 二、知识梳理求函数解析式的题型有： 1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；解读： 2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；解读： 3.已知函数图像，求函数解析式；解读： 4.()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；解读： 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．解读：三、典型例题分析例1 设2211(),f x x x x +=+ ，求()f x 的解析式. 答案：()22f x x =- 变式训练1：设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案：()2sin 1f x x =-

变式训练2：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 答案：()22f x x =-，()33g x x x =-，642[()]692f g x x x x =-+- 小结与拓展：配凑法例2 设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式. 答案：2()56f x x x =-+ 变式训练1：已知21lg f x x ??+= ???，求)(x f 的解析式. 答案：2 ()lg 1f x x =- 变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 答案：2()21f x x x =++ 小结与拓展：换元法例3 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；答案：()27f x x =+ 变式训练1：已知12()3f x f x x ?? += ???，求)(x f 的解析式. 答案：1 ()2f x x x =-

C3.2 函数的解析式 学生版