2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：62 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Word版含解析

课时作业62分类加法计数原理与分步乘法计数原

理

一、选择题

1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是(A)

A．26 B．60

C．18 D．1 080

解析：由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同选法的种数是(B)

A．20 B．16

C．10 D．6

解析：当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．

3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a ＋b i，其中虚数有(C)

A．36个B．30个

C．25个D．20个

解析：因为a，b互不相等且a＋b i为虚数，所以b只能从{1,2,3,4,5}中选，有5种选法，a从剩余的5个数中选，有5种选法，所以共有虚数5×5＝25(个)，故选C.

4．(2019·南昌二模)为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前七位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10 000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为“优惠卡”，则“优惠卡”的个数是(C)

A．1 980 B．4 096

C．5 904 D．8 020

解析：卡号后四位不带“6”和“8”的个数为84＝4 096，故带有“6”或“8”的“优惠卡”有5 904个．

5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(B)

A．144个B．120个

C．96个D．72个

解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13 A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．6．有六种不同颜色，给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有(A)

A．4 320种B．2 880种

C．1 440种D．720种

解析：区域1有6种不同的涂色方法，区域2有5种不同的涂色方法，区域3有4种不同的涂色方法，区域4有3种不同的涂色方法，区域6有4种不同的涂色方法，区域5有3种不同的涂色方法，根据

分步乘法计数原理得，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)涂色方法，故选A.

7．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有(A) A．28种B．30种

C．27种D．29种

解析：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有2×3＝6(种)方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有2×4＝8(种)方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3×4＝12(种)方案．综上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(种)方案，故选A.

二、填空题

8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有12种行车路线．解析：由分步乘法计数原理知4×3＝12(种)．

9．正整数180的正约数的个数为18.

解析：180＝22×32×5，其正约数的构成是2i3j5k形式的数，其中i＝0,1,2，j＝0,1,2，k＝0,1，故其不同的正约数有3×3×2＝18(个)．10．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，则符合条件的三角形共有325个．

解析：根据三边构成三角形的条件可知，c<25＋a.

第一类：当a＝1，b＝25时，c可取25，共1个值；

第二类：当a＝2，b＝25时，c可取25,26，共2个值；

……

当a＝25，b＝25时，c可取25,26，…，49，共25个值；

所以三角形的个数为1＋2＋…＋25＝325.

11．在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有2_880种．

解析：分两步安排这8名运动员．

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(种)．

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．

故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．

12．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名(没有重名次)．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5名同学的名次排列情况可能有(C)

A．27种B．48种

C．54种D．72种

解析：分五步完成：第一步，决出第1名的情况有3种；第二步，决出第5名的情况有3种；第三步，决出第2名的情况有3种；第四步，决出第3名的情况有2种；第五步，决出第4名的情况有1种．因此，根据分步乘法计数原理可知，5名同学的名次排列情况可能有

3×3×3×2×1＝54(种)．

13．某校高三年级5个班进行拔河比赛，每2个班都要比赛一场．到现在为止，(1)班已经比了4场，(2)班已经比了3场，(3)班已经比了2场，(4)班已经比了1场，则(5)班已经比了(B) A．1场B．2场

C．3场D．4场

解析：设①②③④⑤分别代表(1)(2)(3)(4)

(5)班，①比了4场，则①和②③④⑤均比了1场；由于④只比了1场，则一定是和①比的；②比了3场，是和①③⑤比的；③比了2场，是和①②比的．所以此时⑤比了2场，是和①②比的.5个班的比赛情况可以用下图表示．

14．6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是32.(用数字作答)

解析：排成一行的6个球，第1个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第2个球也有2种可能，……，第5个球也有2种可能，第6个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.

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15．(2019·河北唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是(D)

A．18 B．16

C．12 D．9

解析：根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同四位数，故选D.

16．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有27个．

解析：先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个．再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c

第11章计数原理随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 概念方法微思考 1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么； ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏． 1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248?=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ． 2．（2020?上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种， 故共有：2464218++++=． 故答案为：18． 3．（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

(完整word)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ①通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法启发式 教具准备多媒体 教学过程 一、引入课题 引例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？ 决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法?有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲

地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理） 设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨。 知识应用 例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？ 设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义。并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。 师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么。 分类加法计数原理特点： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解。 师生互动：由学生总结，老师给以补充。 2 、分步乘法计数原理 问题2：（多媒体展示）从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？ 从A 村经 B 村去C 村有 2 步, 第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法, 第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法, 第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法 所以从A 村经 B 村又经过C 村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：（多媒体展示）你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事” 是什么.） 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法 发现新知 分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么

人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理 (1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法 注意：○1分类计数原理又称为加法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容； ○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成； ○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重). (2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法. 注意：○1分步计数原理又称为乘法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤； ○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性； ○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代. 2.分类计数原理和分步计数原理的区别 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。 类型一分类计数原理 例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？ [解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题． 教具准备：投影胶片（两个原理）． 教学过程： ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理． ［探索研究］ 引导学生看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5 种不同的走法，如图所示． 一般地，有如下原理：（出示投影） 分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1 类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．

再看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．（让学生具体列出6种不同的走法） 于是得到如下原理：（出示投影） 分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第 种不同的方法． 教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （出示投影） 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （解答略） 教师点评：注意区别“分类”与“分步”． 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３

市级公开课《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 一．教学内容解析 （一）教材的地位和作用 “分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时． 两个计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识．由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。 从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证． 从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身． 从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂． （二）教学目标 1.知识与技能： （1）正确理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理； （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；。 2.过程与方法： 经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于 生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程． 3.情感、态度与价值观： 培养主动探究的学习态度和协作学习的能力，进一步提高学习数学、研究数学的兴趣．（三）教学重点与难点 重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”. 二．学生学情分析

分类加法计数原理和分步乘法计数原理(教案)

分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？

（2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法. （3）知识应用 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题

1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。

(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案） 选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从 “×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4

分类计数原理与分步计数原理教学设计

分类计数原理与分步计数原理

课题： 分类计数原理与分步计数原理 教材分析： 《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。 教学目标： 知识与技能目标： 准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力 过程与方法目标： 通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。 情感、态度与价值观目标： 培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。 教学重点： 分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别 教学难点： 对较为复杂事件的分类和分步 教学方法： 启发引导式教学 教具准备： 作图工具 课型： 新授课 教学过程： 问题引入一 问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？ 新知探究一 分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。 说明： （1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 （2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A 大学有5个自己感兴趣的强项专业，B 大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？ 新知探究二 分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成， 并且对于前面几芜湖北 南 北

2015高考数学(理)一轮题组训练：11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十一篇计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________． 解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)． 答案960种 2．(2012·新课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________． 解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2×6＝12(种)． 答案12种 3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________． 解析第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)． 答案480种

4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________． 解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； 以2为首项的等比数列为2,4,8； 以4为首项的等比数列为4,6,9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， ∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)． 答案8 5．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________． 解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)． 当x≠2时，由P?Q，∴x＝y. ∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法． 因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)． 答案14 6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)． 解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法． 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案36 7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

分类计数原理与分步计数原理教学提纲

分类计数原理与分步 计数原理

《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计 柳州地区民族高级中学覃艳莉 相关教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册（下B） 一、教学内容解析： １.教学内容： 分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。 ２.概念解析： 分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。 3.两个计数原理的地位和作用： 分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。

这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。 二、教学目标设置： 1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。 3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。 三、学生学情分析： 1.认知基础分析： 学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。

分类计数原理与分步计数原理

《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计 柳州地区民族高级中学覃艳莉 相关教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册（下B） 一、教学内容解析： １.教学内容： 分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。 ２.概念解析： 分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。 3.两个计数原理的地位和作用： 分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。 二、教学目标设置： 1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。 3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。 三、学生学情分析： 1.认知基础分析： 学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能

11分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

人教A版选修2—3 精讲细练 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 、知识精讲 .计数原理 .计数原理选取 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰. 二、典例细练 【题型一】：分类加法计数原理的简单应用 例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层

放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？ 【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法： 第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法； 第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法； 第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法. 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事， 故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42. 【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏. 变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表： (1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种) (2)由题设知共有三类： 第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法； 由分类加法计数原理知，不同的选法共有

分类加法计数原理

计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 专题1分类加法计数原理 ■(2015河北邯郸二模,分类加法计数原理,填空题,理13)我们把中间位数上的数字最大,而面两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132、341等,那么由1、2、3、4、5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是.(用数字作答) 解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种; 第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种; 根据分类计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种. 答案:20 专题3排列、组合的综合应用 ■(2015辽宁锦州二模,排列、组合的综合应用,选择题,理8)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有() A.种 B.种 C.种 D.种 解析:根据题意,分配4名水暖工去3个不同的居民家里,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查; 则必有2名水暖工去同一居民家检查, 即要先从4名水暖工中抽取2人,有种方法, 再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,有种情况, 由分步计数原理,可得共种不同分配方案. 答案:C ■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,排列、组合的综合应用,填空题,理13)有4名优秀学生A,B,C,D 全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种. 解析:第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送 到甲、乙、丙3所学校有种, 根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种. 答案:36 1

1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

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1． 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ （2）发现新知 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有 = N+ m n

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结电子教案

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。