空间曲线与曲面的绘制
空间曲线与曲面的绘制
本实验的目的是:利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 1.空间曲线的绘制
绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”。如画出参数方程
21 ,)
()()(t t t t z z t y y t x x ≤≤?
??
??===所确定的空间曲线的命令格式为: ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项]
例1 画出旋转抛物面2
2
y x z +=与上半球面2211y x z --+=交线的图形。
解：它们的交线为平面1=z 上的圆12
2=+y x ，化为参数方程为?
????∈===]2 ,0[ ,1
sin cos πt z t y t x ，下面的
mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：
p ParametricPlot3D Cos t ,Sin t ,1,t,0,2Pi
运行即得曲线如图1所示。
在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数
方程。如果曲线为一般式 ?
?==0),,(0
),,(z y x G z y x F ，其在xOy 面上的投影柱面的
准线方程为0),(=y x H ，可先将0),(=y x H 化为参数方程?????==)
()
(t y y t x x ，
再代入0),,(=z y x G 或0),,(=z y x F 解出 )(t z z =即可。
1、 空间曲面的绘制
作一般式方程),(y x f z =所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项]
作参数方程],[],,[,)
,(),()
,(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈?
??
??===所确定的曲面图形的Mathematica 命令
为：
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},
1 图
{v,vmin,vmax},选项]
例2 作出上半球面2211y x z --+=的图形。
解：首先我们选取绘图区间}11,11{<<-<<-y x 作图，输入下面语句：
Plot3D 1
1
x^2y ^2,x,1,1,y,1,1
运行后得到了该曲面的图形（图2），但是在图形的前面出现了一些蓝色字体报错信息，而且图形不完整，这是因为函数z 在范围}11,11{<<-<<-y x 内的一些点处无定义。为避免上述问题，可用下面两种方法：
（1） 定义一个分区域函数)(x f ，将无定义的点赋予函数值1：
??
??
?>+≤+--+=1,11
,11),(2
22222y x y x y x y x f ， 作出该函数的图形只要键入命令：
f x_,y_:If x^2
y^2
1,1
1x ^2
y^2,1
Plot3D f x,y ,x,1,1,y,1,1
运行后得图3，可以看到该图形比上半球面多了一部分曲面的图形（即1=z 平面上的部分）。但是图形比较粗糙，我们可以提高采样点数，例如取采样点数为30，即运行命令 Plot3D f x,y ,x,1,1,y,1,1,PlotPoints 30
可得图形4，由此可见图形已经比较精细了。
图2 图3 图4 （2） 采用参数方程，选取参数的范围使得区域内的每一点都有定义。对于题目中的球面
有参数方程]2,0[],2 ,0[ ,cos 1sin sin sin cos π
π∈∈?
????+===v u v
z v u y v u x ，我们输入命令：
ParametricPlot3D
Cos u Sin v ,Sin u Sin v ,1
Cos v
,
u,0,2Pi ,v,0,Pi
2
,PlotPoints 30
运行后得图形5。我们还可以改变参数的范围画出上半球面的
4
3
部分（如图6）： ParametricPlot3D
Cos u
Sin v ,Sin u
Sin v ,1Cos v
,
u,0,3Pi 2,v,0,Pi 2,PlotPoints
30
图5 图6 2、 空间图形的叠加
与平面图形类似，空间的立体图形同样可用“Show ”命令，把不同的图形（曲线或曲面）叠加并在一个坐标系中显示出来。
例3 画出由旋转抛物面2
2
y x z +=与上半球面2
211y x z --+=相交所围成的立体几何图形。
解：这是一个组合图形。一般地，直接画出两者的图形再组合在一起。但是，这里所要的图形仅仅是两个曲面图形的一部分，因此需要有选择地画出两曲面的相应部分再组合。由于它们的交线为
????
?==+1
1
22z y x ，故相应的曲面部分的参数方程为： ]1,0[],2 ,0[ ,sin cos 2∈∈???
??===r t r
z t r y t r x π 与 ]2,0[],2 ,0[ ,cos 1sin sin sin cos ππ∈∈?
???
?+===v u v
z v u y v u x 。 输入以下Mathematica 语句：
t1ParametricPlot3D r Cos t ,r Sin t ,r ^2,t,0,2Pi ,
r,0,1,PlotPoints
30;
t2
ParametricPlot3D
Cos u
Sin v ,Sin u
Sin v ,1
Cos v
,
u,0,2Pi ,v,0,Pi 2,PlotPoints
30;
Show t1,t2
运行后即得旋转抛物面、上半球面及叠加曲面的图形（图7）。