【免费下载】复数与参数方程

4）

；()()()()()0222221≠++-+++=-?+-?+=++=di c i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z 复数的练习题

1、若复数（为虚数单位），则的共轭复数（ ）

()i i +=1z i z =z A. B. C. D.i +1i +-1i -1i

--12、复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）()i i z -+=122i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、复数满足，则的虚部等于（ ）z ()i i z +=-11z A. B. C. D.1-1i -i 4、复数的值为（ ）i -12A. B. C. D. i -1i +1i --1i +-15、若复数是纯虚数，则实数（ ）()()i m m m z 3652-++-==m A. B. C.或 D.322306、复数在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）i i +1A. B. C. D.2122127、设（为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（ ）i z -=1i z z z z z 2+?A. B. C.

D.i --1i +1i -3i +38、设复数是纯虚数，则（ ）

()()21++i mi =m A.

B. C. D.11-221-9、“”是“复数为纯虚数”的（

）2-=a ()()i a a z 142++-=()R b a ∈,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条10、如果复数（其中为虚数单位，）的实部与虚部互为相反数，则（ ）

i

bi 212+-i R b ∈=b A. B. C. D.32-3

222、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

高中数学选修1-2 4-4测试题(复数,统计案例,极坐标与参数方程)

高二数学第一次月考试卷(文科) 一、选择题(共12题,每题5分,共60分) 1、观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 2、若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归关系是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 4、 向量a 对应的复数是5－4i ，向量b 对应的复数是－5＋4i ，则向量a ＋b 对应的复数是 ( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i 5、直角坐标系中点)3,1(-P ，则它的极坐标是( ) A ．)3,2(π B.)34,2(π C ．)3,2(π- D ．)34,2(π- 6、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( ) A.y ∧ =1.23x ＋4 B. y ∧ =1.23x+5 C. y ∧ =1.23x+0.08 D. y ∧ =0.08x+1.

7、已知直线l 的参数方程为（t 为参数），则其直角坐标方程为（ ） A ． x+y+2﹣=0 B ． x ﹣y+2﹣ =0 C ．x ﹣y+2﹣ =0 D ．x+ y+2﹣ =0 8、在极坐标系中，点(2，3π )到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B 9、与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（ ）？ A ．x2+=1 B ．x2+=1（0≤x ≤1） C ．x2+ =1（0≤y ≤2） D ．x2+ =1（0≤x ≤1，0≤y ≤2） 10、 若复数Z=(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A. 1或2 B.-2 C. 1 D. 2 11、在极坐标系中，直线l 的方程为，则点 到直线 l 的距离为（ ） A ． B ． C ． D ． 12、设z=x+yi （R y x ∈,），且则,2|4|=-z y x 的最小值是（ ） A ．3 B ．3- C ． - D ．-1 二、填空题(共4题,每题5分,共20分)

复数与导数

复数专题练习 一、 选择题 1、若是纯虚数，则实数的值是（ ） A 1 B C D 以上都不对 2、则是的（ ）条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 3、若，则是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、，则实数的值为（ ） A B C D 6、若，则方程的解是（ ） A B C D 7、，则的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知则的值为（ ） A B 1 C D 3 9、已知，则的值为（ ） A B 1 C D 10、已知方程m 表示等轴双曲线，则实数m 的值为（ ） A B C 22 (1)(32)x x x i -+++x 1-1±22 1(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-1m =12z z =12,z z C ∈1212z z z z ?+?(),()n n f n i i n N -+=+∈3()m i R +∈m ±x C ∈||13x i x =+-12+124,1x x ==-43i -+12|34|2z i ++≤||z z =501001z z ++i 2i +11x x +=199619961x x +1-i -i |2||2|z z a --+=±

11、复数集内方程的解的个数是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 12、复数的模是（ ） A B C D 二、 填空题 13、的平方根是 、 。 14、在复平面内，若复数Z 满足，则Z 所对应的点的集合构成的图形是 。 15、设，则集合A={}中元素的个数是 。 16、已知复数，则复数 = 。 三、解答题 17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为。过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。 2 5||60z z ++=1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<2cos 2α 2cos 2α-2sin 2α2tan 2 α-34i +|1|||z z i += -12ω=-+|()k k x x k Z ωω-=+∈122,13z i z i =-=-215 z i z +,1,42i i +

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2 ＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5 351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．

定积分复数极坐标参数方程理

第三讲 定积分 微积分 【ME 恒学课堂之定积分微积分基础把控】 1. 和式()5 11i i y =+∑可表示为（ ） A.（y 1+1）+（y 5+1） B.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+1 C.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5 D.（y 1+1）（y 2+1）…（y 5+1） 2. 关于定积分3 321(2)x x dx -+?下列说法正确的是（ ） 3. 求由曲线y=3e x 与直线x=2，y=3围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为________ 4. 下列各阴影部分面积s 不可以用()()b a s f x g x dx =-??? ??表示的是( ) A. B.

C. D.

5. 计算3 2 (32)= x dx +? 6. 定积分20162015(2016)= dx ? 7. 定积分2 1 ()= x dx -? 8. 用定积分的几何意义求 420 (16)=x dx -?的值 9. 曲线x y cos =与直线0=x ，π=x ,0=y 所围成平面图形面积等于________. 10. 若?=+1 02)2(dx k x ，则__________=k . 11. 根据?=π 200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围 成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ） A ．面积为0 B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积 D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 12. 由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 13. 分如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的 概率是( ) A. 1 π B.2 π C.3 π D.π4 14. 甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，

矩阵与参数方程

精锐教育学科教师辅导讲义 年级：高三辅导科目：数学课时数：3 课题选修部分复习 教学目的熟练掌握高考数学中选修部分矩阵以及极坐标参数方程的应用 教学内容 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表 示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表 示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是 零，则称为单位矩阵，记为，即：。

二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。 （1）交换律：； （2）结合律：； （3）存在零元：； （4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： （1 ）； （2 ）； （3 ）； （4 ）。 3 、矩阵的乘法： 设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且 。 矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：

（ 1）结合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）数与矩阵乘法的结合律： ； （ 5）单位元的存在性： 。 若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合 律，我们有： ， 。 注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是： （1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；倘使 都有意义，二者 也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲， ， 。 （2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 未必能推出 或者。 （3 ）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。 【例】求矩阵 1111A ??= ?--?? 与 1111B -??= ? -?? 的乘积AB 及.BA 解 按公式（1.10），有 111100, 111100111122. 111122AB BA -??????== ??? ?---??????-??????== ??? ?-----??????

复数与方程

复数与方程 重点难点:一元二次方程 一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程 基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。 例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根， ∵ ∴其4次方根为(k=0,1,2,3) ∴原方程的解为下面4个复数: 法2、求方程的解，即求复数的4次方根。 ∵由知1-i为的一个4次方根， ∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为: ∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。 解2) 令,∴, ∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。 注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式

(k=0,1,2,……,n -1) 求其n 个n 次方根。如例(1)解法1，此n 个复数的几何意义是复平面上n 个点，这n 个点均匀分布在以原点为圆心，以 为半径的圆上，组成一个正n 边形。 <二> 若能由已知中找出个Z 的n 次方根Z 0，则可由n 次方根的几何意义求其余n-1个n 个次根如下: , 。如例(1)解 法2。 <三>若Z 的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z 的n 次方根时，则可以考虑用n 次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 二、一元二次方程 1. a,b,c ∈R 时基本解法 时，两不等实根可由求根公式 求出， 时，两相等实根。可由上面公式求出， 时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。 2. a,b,c ∈C 时基本解法 判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式, δ是b 2-4ac 的一个平方 根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程 。 解:∵，∴ =， ∴ 原方程的根为。 注:∵ (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 ∴ x 2+x+1=0的根也是x 3=1的根，即1的两个立方虚根。 记,则，其有如下特征: ① ； ② ； ③ ；

复数与复变函数

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100 z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2[cos( sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ） z z z z 222=- （C ） z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设 y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向 量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ） i -3 （D ） i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数

一元三次方程与复数

浅谈解一元三次方程 江苏省泰州中学袁蕴哲 一、由几个方程引出的讨论 解下列方程： 1、x-1=0 2、x2-1=0 3、x2+1=0 4、x3-1=0 易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。 如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。 将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。 即：一元n次方程最多有n个实根。 再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到。负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有i2=-1。易知，原方程的解就为x=±i。 由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数

(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real number)。 规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。 二、解高次方程的数学史话 一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。 卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。 塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。 后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。高次方程求解的工作就此告一段落。 值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 三、复数与一元方程的解 将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作： z=a+bi 其中a为复数的实部，b为复数的虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。表示如下： 复数实数 有理数 整数 自然数正整数 负整数 分数 无理数 虚数

2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =??=?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

第一章-复数与复变函数

复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班

引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac

48、复数中方程问题.doc

三、复数中的方程问题 【教学目标】 1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用． 【教学重点】 一元二次方程的根的讨论． 【教学难点】 含字母系数的方程根的情况的讨论， x 3 1 的根的应用． 【教学过程】 一．知识整理 1．实系数一元二次方程的根的情况 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ． （1）当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1 b b 2 4a c b b 2 4ac 2a ， x 2 2a ． （2）当△ 0 时，方程有两个相等的实数根： x 1 x 2 b ． （3）当△ 0 2a 时，方程有两个共轭虚根： x 1 b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i 2a ， x 2 2a ． 2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解 利用 | z |2 z z ，有 a 2 b 2 (a bi )( a bi ) 3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 x 2 b x 1 x 2 a ． c a

4．方程 x 3 1 的根 方程 x 3 1 有三个根， 1 1 ， x 2 1 3 i ， x 3 1 3 i ．若记 1 3 i ， x 2 2 2 2 2 2 则 有性质： 3 1（ 3 n 1， n Z ）， 2 ， 1 2 0． 二．例题解析 【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算 【题目】 在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ； （2） 1 x 2 x 3 ． 2 【解答】 解：（ 1） a 4 b 4 ( a 2 b 2 )( a 2 b 2 ) ( )( )( a bi )( a bi ) ． a b a b （2） 1 x 2 x 3 1 ( x 2 2x 6) 1 [( x 1) 2 ( 5) 2 ] 2 2 2 1 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ． 2 i i 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算 【题目】 （1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 3 2i 是方程 2x 2 bx c 4i 0 的根，求实数 b 与 c ． 【解答】 (3 2i ) b (3 2i ) 解；（ 1）由题意， 3 2i 是方程的另一根，则 2 ， (3 2i )(3 c 2i ) 2 所以 b 12 ， c 26 ． （2）将 3 2i 代入方程得 2(3 2i )2 b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，

复数的基本知识

补充复数的基本知识： 1、虚数单位 由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定 （1） 它的平方等于-1，即12-=j ； （2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。 性质：j j =1；12-=j ；j j -=3；14=j 一般地，对于任意整数n ，有： 14=j n ；j j n =+14；124-=+j n ；j j n -=+34 2、复数集 定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。 通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(； b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(； 举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？ ??? ???????≠=≠???=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数 定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==?+=+bj a 定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为

共轭复数。 复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z -= 例：3j 2j,1++的共轭复数 注：b a bj a bj a 22))((+=-+ 4、复数的几何表示（复平面） 任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。 用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。 复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。即 复数bj a Z +=?点)b ,a (Z 矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：

复数复习提纲

复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i, i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C. 3、复数相等：a bi c di a c +=+?=且b=d ；00a bi a +=?=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ?? =+≠≠??≠?? ≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+； 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈? u u r 一一对应 复数平面向量OZ ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ， d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i 复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r ，两个 复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的

极坐标和参数方程题型及解题方法

一、复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ θx = cos ，ρ θy = sin ， 3、 参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x 表示什么曲线？ 4、 圆2 2 2 )()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？ 二、题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化

(3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 22 2（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可 消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有42 2=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数） 解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，， ，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B . 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组 222312 2x y x y t ?+=? +=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一???==t y t x A 2cos sin ???-==t y t x B 2tan 1tan ???=-=t y t x C 1???==t y t x D 2sin cos

高考文科数学复习_极坐标与参数方程

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 （1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数； 当时表示极点； 当时，点的位置这样确定：作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的 终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合； ③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下 关系： 直角坐标化极坐标：； 极坐标化直角坐标：.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. 5. 圆的极坐标方程： （1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，，以为直径的圆： 知识点三：参数方程 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数： ，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程 （1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）； 其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点 的距离。（当在上方时，，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

极坐标与参数方程测试题及答案文科

极坐标与参数方程测试 一、选择题（每小题4分） 1．点M 的极坐标)3 2,5(π化为直角坐标为（ C ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)2 35,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ B ） A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(π D ．)6 ,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1232为参数t t y t x ?? ?+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系是（ A ） A ．1M 在曲线C 上，但2M 不在。 B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。 C ．1M ，2M 都在曲线C 上。 D ．1M ，2M 都不在曲线C 上。 4．曲线5=ρ表示什么曲线（B ） A ．直线 B ．圆 C ．射线 D ．线段 5．参数方程)(211为参数t t y t x ???-=+=表示什么曲线（ C ） A ．一条直线 B ．一个半圆 C ．一条射线 D ．一个圆 6．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ ???+-=+=y x 的两个焦点坐标是(B ) A ．(-3，5)，(-3，-3) B ．(3，3)，(3，-5) C ．(1，1)，(-7，1) D ．(7，-1)，(-1，-1) 7．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( A) A ．x 2+(y+2)2=4 B ．x 2+(y-2)2=4 C ．(x-2)2+y 2=4 D ．(x+2)2+y 2=4 8．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( D) A ．两条射线 B ．抛物线 C ．圆 D ．两条相交直线 9．直线：3x-4y-9=0与圆：???==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( D ) A ．相切 B ．相离

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程 Newly compiled on November 23, 2020

1．曲线的极坐标方程． (1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴． (2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角． 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的． (3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程． (1)过极点且与极轴成φ 0角的直线方程是θ＝φ 和θ＝π－φ ，如下图所 示． (2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示． (3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示． 3．圆的极坐标方程． (1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．

复数中的方程问题

复数中的方程问题（教师版） 【知识梳理】 1.一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0?>? 方程有两个不相等的实数根1,22b x a -±=; (2) 0?=?方程有两个不相等的实数根1,22b x a -=; (3) 0?