第五讲 充要条件概念

第五讲 充要条件概念

【知识概要】

【例题及习题】

充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么)

一、 判断条件P 与结论q 的关系

1. 1应用充要条件的定义，直接判断

例1 “ a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既非充分条件也非必要条件

例 2 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ）

A a ∈(-∞,1]

B a ∈[2,+)∞

C [1,2]

D a ∈(-∞,1]?[2,+)∞

例3 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

例 4 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）

A a<0

B a>0

C a<-1

D a>1

例 5函数f(x)=ax 3+x+1有极值的充要条件为( )

A a>0

B a ≥0

C a<0

D a ≤0

例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,αβ是两个相交平面，空间两条直线l 1、l 2在α上的射影是直线

s 1,s 2,l 1,l 2在β上的射影是t 1,t 2.用s 1与s 2,t 1与t 2的位置关系，写出一

个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：_______

例 8 设P:a>0且b>a+c,q:方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根.问:q 是p 的什么条件?

例 9在△ABC 中，设命题p ：sin sin sin a b c B C A

==，命题q: △ABC 是等边三角形.那么命题p 是命题q 的（ ）

A 充分必要条件

B 必要不充分条件

C 充分不必要条件

D 既不充分也不必要条件

例 10 有限集合S 中元素的个数记作card(S).设A 、B 都为有限集，给出下列命题：

①A ?B ＝φ的充要条件是card(A ?B)=card(A)+card(B);

②A ?B 的必要条件是card(A)≤card(B);

③A ?B 的充分条件是card(A)≤card(B);

④A=B 的充要条件是card(A)=card(B).

其中真命题的序号为（ ）

A ③、④

B ①、②

C ①、④

D ③、②

例 11.已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f -1(x),则方程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(x ∈D)的充要条件是y=f -1(x)满足_____ 例 12.已知b a ,,c 为同一平面内的非零向量，甲：c a b a ?=?，乙：=，则 ( )

A 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C 甲是乙的充要条件

D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

例 13 设()sin()f x x ω?=+，其中0?>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是

（A ）(0)0f = （B ）(0)1f = （C ）(0)1f '= （D ）(0)0f '=

1.2利用充分条件、必要条件、充要条件的传递性直接判断

例1 已知p,q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：（1）s 是q 的____条件；（2）r 是q 的___条件；（3）p 是q 的______条件

例 2设甲、乙、丙是三个命题。如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）

A 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C 丙是甲的充要条件

D 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

1.3构造与命题相对应的集合，借助子集概念判断

例 1 对于实数x,y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件？

例 2.若非空集合M ?N,则”a ∈M 或a ∈N ”是”a ∈M ?N ”的( )

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 既非充分条件又非必要条件

例 3 设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A ≠

?B 是(C u A)?B=U 的

( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例 4 0

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例 5集合A={x|1

1+-x x <0},B={x||x-b|

A –2≤b<0

B 0

C –3

D –2

例6 设p:x 2-x-20>0,q:2

10||2

x x -<-,则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例 7.设x,y ∈R,则x 2+y 2<2是|x|+|y|2≤的 ( )

A 充要条件

B 既非必要条件又非充分条件

C 必要非充分条件

D 充分非必要条件

1. 4利用互为逆否命题的等价转化，变更问题进行判断

例 1若A 成立，当且仅当B 成立.求证：A 是B 的充要条件 例 2. ”|a-2|≠2-a ”是”a ≠2的______条件.

1．5反证法、反例说明法（只能在确定“若p 则q ”为假时使用），也是极其重要的判断方法

例 1 在ΔABC 中，“A>300”是“ sinA>2

1”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件

例2 已知βα,均为锐角，若p ：sin α

π则p 是q 的( )

A 充分而不必要条件

B 必要而不充分条件

C 充要条件

D 既不充分条件也不必要条件

例 3 “实数a=b=c ”是”不等式a 3+b 3+c 3≥3abc 取等号“的( )

A 充分而不必要条件

B 充分必要条件

C 必要而不充分条件

D 既不充分又不必要

例 4. 设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解

集相同；命题Q ：2

12121c c b b a a ==，则命题Q( ) A 是命题P 的充分必要条件

B 是命题P 的充分条件但不是必要条件

C 是命题P 的必要条件但不充分条件

D 既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件

例 5.”ab<0”是”方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的( )

A 必要条件但不是充分条件

B 充分条件但不是必要条件

C 充分必要条件

D 既不是充分条件又不是必要条件 例 6.设命题甲:”直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,平面ACB 1与对角面

BB 1D 1D 垂直”;命题乙:”直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么,甲是

乙的( )

A 充分必要条件

B 充分非必要条件

C 必要非充分条件

D 既非充分又非必要条件

例 7 已知函数f(x)是定义在R 上的函数，条件甲：f(x)有反函数；条件乙：f(x)是单调函数，则条件甲是条件乙的（ ）

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例8．“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的

(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

(C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件 例9在ΔABC 中,”A>B ”是”sinA>sinB ”的( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既非充分条件也非必要条件

例10 设集合A={x |1

x x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二、 已知结论、条件与结论的关系，探求满足这个关系的条件

2. 1应先分清楚是探求充分条件、必要条件、还是充要条件；如果 是探求充要条件问题，可以“先探求必要条件，再探求充分条件”

例 1.函数f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( )

A ab=0

B a+b=0

C a=b

D a 2+b 2=0

例 2. 设定义域为R 的函数f(x)=?

??=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件为( )

A b<0,且c>0

B b>0,且c<0

C b<0且c=0

D b ≥0,且c=0

ij （1）写出a 45的值；

（1） 写出a ij 的计算公式；

（2） 证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1是一个合数。

2．2关于解方程（组）；求函数的定义域（值域）；解不等式（组）；求函数单调区间；求数列中最大项问题；探求轨迹问题；以及形如“已知B 成立，求A ”；“求k 在什么范围内取值时，B 成立？”等题目，都属于隐含要“充要条件”解题，探求充要条件问题，解答

时也是“先必要，后充分”或用“?”两方面同时探求。显然，本问题实际上是要求学生自觉使用充要条件分析问题和解决问题 例 1.已知f(x)=x 3+ax 2+a 2-a 为R 上的奇函数(a ∈R), 求a 的值 例 2. 若x ∈R,|x-3|-|x-5|≥a 有实数解，则实数a 的取值范围______

例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2.若对任意的x ∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）

A [2,+)∞

B [2,+)∞

C (0,2]

D [-2,-1]3,2[?]

例 4 已知c>0，设P:函数y=c x 在R 上单调递增；Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.

如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围.

例 5设函数f(x)=2x 3+3ax 2+3bx+8c 成立在x=1,x=2时，取得极值.

(1)求a,b 的值.

(2)若存在x ∈[0,3],使f(x)

例 6.设全集U ＝R.

(1)解关于x 的不等式|x-1|+a-1>0(a ∈R);

(2)记A 为(1)中不等式的解集，集合B ＝

{x|sinx(πx-3

π)+3cos(3ππ-x )=0}.若（C u A ）?B 恰有3个元素，求a 的取值范围.

例 7(1)设{a n },{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n =a n +b n ,证明：数列{c n }不是等比数列

(2) 已知数列{c n },其中C n =2n +3n ,且数列{c n+1-pc n }为等

比数列，求常数p.

定积分的概念(教学内容)

授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ

新概念英语 第二册第9课知识点总结

Lesson 9 A cold welcome 冷遇 【New words and expressions】生词和短语（7） welcome n. 欢迎；v. 欢迎本crowd n. 人群 gather v. 聚集hand n. （表或机器的）指针 shout v. 喊叫refuse v. 拒绝 laugh v. 笑 ★welcome n. 欢迎；v. 欢迎 ①n. 欢迎 a cold welcome 冷遇 ②v. 欢迎welcome to+地点 welcome to China；welcome to my home；welcome home；welcome back ③adj. 受欢迎的You are welcome. 1.你是受欢迎的。2.不用谢 You are welcome to+地点 ★crowd n. 人群 ①n. 人群in the crowd 在人群中 I spotted him in the crowd. 我在人群中一眼就认出了他 a crowd of people 一群人，没有次序的人群, 拥挤的人群 a group of people 一群人，有次序的人群 a large crowd of people/crowds of people:人山人海 ②v.拥挤, 挤满 ★gather v. 聚集 ①vt. 使集拢，集合，召集 He gathered a large crowd of people round him. ②vt 收集，采集，收（庄稼等） The children are out in the field gathering flowers. 孩子们在外面地里采花。 It has taken me a lifetime to gather all these books. 收集所有这些书花了我一辈子的时间。 ③vi. 集拢，聚集，集合They gathered under the Town Hall clock. people gathered 人们聚集在一起, 尤指自发性的聚集 ★hand n. 1.(表或机器的)指针；手 minute hand；second hand；hour hand 分/秒/时针 second hand 二手的，旧的，秒针 wait me a moment/wait me a few seconds(for a few secs.) （secs.是seconds 的缩写） 2.有本事的人,能手[(+at)] He was an old hand at the job. 3.帮助Could you give me a hand with the baggage? 4.方面On one hand he likes watching TV; on the other hand he has a lot of homework to do, he is very busy all day. vt. 递交,递给He handed me a glass of beer. ★refuse v. 拒绝 ①vt. 拒绝（接受、服从等）She refused the gift [g?ft]礼品. ②vt. 拒不，不肯，不愿[+to-v] John refused to change his mind. 约翰拒不改变主意。 ③vi. 拒绝，不接受 I offered to pay him for his help, but he refused. offer['?f?]给予,提供;拿出,出示对于 他的帮助我提出给他报酬，但他拒绝了。

新概念英语第三册课文及详解第课

Lesson 1 A puma at large Pumas are large, cat-like animals which are found in America. When reports came into London Zoo that a wild puma had been spotted forty-five miles south of London, they were not taken seriously. However, as the evidence began to accumulate, experts from the Zoo felt obliged to investigate, for the descriptions given by people who claimed to have seen the puma were extraordinarily similar. The hunt for the puma began in a small village where a woman picking blackberries saw 'a large cat' only five yards away from her. It immediately ran away when she saw it, and experts confirmed that a puma will not attack a human being unless it is cornered. The search proved difficult, for the puma was often observed at one place in the morning and at another place twenty miles away in the evening. Wherever it went, it left behind it a trail of dead deer and small animals like rabbits. Paw prints were seen in a number of places and puma fur was found clinging to bushes. Several people complained of 'cat-like noises' at night and a businessman on a fishing trip saw the puma up a tree. The experts were now fully convinced that the animal was a puma, but where had it come from? As no pumas had been reported missing from any zoo in the country, this one must have been in the possession of a private collector and somehow managed to escape. The hunt went on for several weeks, but the puma was not caught. It is disturbing to think that a dangerous wild animal is still at large in the quiet countryside. Language points Pay attention: The points below are not covered by the mp3. It is better for you to listen to the mp3 first and try to take notes by yourselves. 1，a puma at large at large 1：逃遁的，没有被控制的。

新概念第二册第9课-教案

Lesson 9 Topics for discussion 1 What did you do to celebrate the last New Year? 2 What other important days are there in the year? How do you celebrate them? 3 Have you, or a friend, ever been late because your watch had stopped? Tell us about it. 1 Introduce the story Today we'll listen to a story about the last evening of the year in a small 2 Understand the situation T：What do you think is happening in the picture? 3 Listening objective.What does 'A Cold Welcome' refer to? 4 read the story 5 Answer The clock did not strike at twelve because it had stopped. 6 Intensive reading V oc ★welcome ①n. 欢迎 a cold welcome 冷遇 ②v. 欢迎welcome to+地点 welcome to China；welcome to my home；welcome home；welcome back ③adj. 受欢迎的You are welcome. You are welcome to+地点 ★crowd ①n. 人群 in the crowd 在人群中 I spotted him in the crowd. 我在人群中一眼就认出了他 a crowd of people 一群人，没有次序的人群, 拥挤的人群 a group of people 一群人，有次序的人群 ②v.拥挤, 挤满 a large crowd of people 一大群人 ★gather v. 聚集 ①vt. 使集拢，集合，召集 He gathered a large crowd of people round him. ②vt 收集，采集，收（庄稼等） The children are out in the field gathering flowers. ③vi. 集拢，聚集，集合 They gathered under the Town Hall clock. people gathered 人们聚集在一起, 尤指自发性的聚集 ★hand n. (表或机器的)指针；手 minute hand；second hand；hour hand second hand 二手的，旧的，秒针 ★refuse v. 拒绝 ①vt. 拒绝（接受、服从等）She refused the gift. ②拒不，不肯，不愿John refused to change his mind. ★shout v. 喊叫 call out 大声喊叫

新概念第三册第三课

Lesson 3 An unknown goddess无名女神 Listen to the tape then answer the question below. 听录音，然后回答以下问题。 How did the archaeologists know that the statue was a goddess? Some time ago, an interesting discovery was made by archaeologists on the Aegean island of Kea. An American team explored a temple which stands in an ancient city on the promontory of Ayia Irini. The city at one time must have been prosperous, for it enjoyed a high level of civilization. Houses----often three storeys high----were built of stone. They had large rooms with beautifully decorated walls. The city was even equipped with a drainage system, for a great many clay pipes were found beneath the narrow streets. The temple which the archaeologists explored was used as a place of worship from the fifteenth century B. C. until Roman times. In the most sacred room of the temple, clay fragments of fifteen statues were found. Each of these represented a goddess and had, at one time, been painted. The body of one statue was found among remains dating from the fifteenth century B. C. Its missing head happened to be among remains of the fifth century B. C. This head must have been found in Classical times and carefully preserved. It was very old and precious even then. When the archaeologists reconstructed the fragments, they were amazed to find that the goddess turned out to be a very modern-looking woman. She stood three feet high and her hands rested on her hips. She was wearing a full-length skirt which swept the ground. Despite her great age, she was very graceful indeed, but, so far, the archaeologists have been unable to discover her identity. New words and expressions生词和短语 goddess(title) /'g & dis/ n ．女神 sacred(1. 10)/'seikrid/ adj．宗教的，神圣的 archaeologist(1. 1) / ?a:ki'& ld{ ist/ n ．考古学家 fragment(1. 10) /'fr $gm+nt/n ．碎片 Aegean(1. 2) /i:'d { i:+n/ adj ．爱琴海的

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

新概念英语第三册课堂笔记：第9课

新概念英语第三册课堂笔记：第9课Lesson 9 Flying cats 飞猫 【New words and expressions】生词和短语 ★fascinate v. 迷住，吸引住 be fasinated with He is fascinated with chess. Are you fascinated with English? like,love,be fond of The boy is fond of football. be crazy about：着迷 be mad about He is crazy/mad about music. He is fascinated with music. fascination,fascinating Sweet music is fascinating. ★affectionate adj. 充满深情，柔情的

Cats are affectionate animals. affectionately adv. The lady is looking that man affectionately affection n. ★mysterious adj. 神秘的，难以理解的 a mysterious plan a mysterious explanation mystery n.谜面，神秘感 His death is a mystery. ★submissive adj. 服从的，顺从的 obedinent Are you obedient? Dogs and horses are submissive,but Cats are never submissive to us. be submissive to sb. submit v. submit oneself to sb/sth submission n. ★feline

定积分的基本概念

定积分的基本概念 摘要：定积分的概念,原理,思想方法。 关键词：分割,求和,取极限。 通过了一个学期的学习，我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来，其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。 定积分的概念 1)定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点：定积分的数学定义 难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。 在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功，下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下，以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来，并计算出面积的近似值： 1.当n=10时，用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S10 0.7510。（见下图）

2.当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S50≈0.6766。 3.当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S100≈0.6717。 由此可知，分割越细，越接近面积准确值，而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。 再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求力 F（x）的做的功。 F虽然是变力，但在很短一段时间内△x，F的变化不大，可近似看着是常

新概念英语第三册第9课课堂笔记及答案

A very dear cat 一条贵重的宝贝猫 【New words and expressions】生词和短语 ★dear adj. 亲爱的，珍贵的；昂贵的 I can't afford the car because it's too dear. The cat is dear to me. cost somebody dear ★kidnapper n. 绑架者，拐骗者 kidnap v. ★considerable adj. 相当大的 a considerable business He has got a considerable success. considerably It's considerably colder today than yesterday. considerate be considerate to somebody Are you considerate to your wife? considered It's my considerered opinion. all things considered 就各方面而言 All things considered ,he finished the work well. considering Considering his age,the little boy reads very well. considering that He studies English well,considering. ★wealthy adj. 富的，有钱的 ★orderly adj. 有规律的 ★disappearance

新概念英语第三册课后练习答案第9课

新概念英语第三册课后练习答案第9课 Multiple choice questions 多项选择 1... A endlessly?fascinating 无穷的吸引人的 Endlessly（adv.持续地, 无穷尽地） 2... D 3... A unlikely（adj.未必的, 不太可能的） exceed（vt.超越, 胜过） 4... C for 对于人们来讲 with 对于人们来讲（强调对比概念） -- With some children, their pocket money goes a long way.（暗含：对于其他的孩子来说…） Unfailing（adj.经久不衰的,无穷尽的） Endless（adj.无止境的, 无穷的） 5... B as...as... 象…一样 in?the?way?that... 以…方式

-- I love you in the way that you love me. -- We like modern art in the same way that we like pretty curtain material. 6... D popularly（adv.一般地, 流行地, 通俗地, 大众地） It?is?said?that... 据说… It?is?announced?that... 据宣布… It?is?reported?that... 据报道… 7... B there is plenty of改为there are plenty of就对了 8... A 9... A throughout（prep.遍及, 贯穿） -- throughout one‘s life 毕生, 整个一生中 during 在…期间（时间较短） -- during our holiday / during the week through 侧重强调从空间穿过 -- through?the?crowd 穿过人群 / through?the?door -- Monday through Friday 10... C It would seem (that)... = apparently

定积分的基本概念

教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分 为三个内容： 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

那么这样的问题怎么求呢 首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ，用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形；详讲总结

定积分基本公式

定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分

第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式

f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 ,

新概念英语第二册课后练习题答案详解(第9课)

新概念英语第二册课后练习题答案详解(第9课) 新概念英语第二册课后习题Lesson 9 1. b 根据课文内容第1-2行It was the last day of the year…和第8行The big clock refused to welcome the New Year, b 最符合课文内容，其他3个选择都不对。 2. b 根据课文第4行...at five to twelve, the clock stopped.钟是在午夜前停的，但人们是在午夜后才意识到这个点的。(It's two minutes past twelve!第6-7行)，所以b.是对的。 a. before midnight 和课文事实不符合。钟是在午夜前停的，但人们是在午夜后才意识到这个点的。 3. d the evening 前需要有介词in才能构成表示时间的短语，所以选d.其他3个选择都不对。 4. a people 是集体名词，虽然形式是单数，但意思是复数的(人民或人们)，做主语时候谓语动词要用复数形式。 B. was, c. is , d be 都不能用在people 后面做谓语动词，只有a. were 能够，所以选a. 5. a 这个问句的回答是一个表示时间的短语，所以需要一个针对时间提问的疑问词。 只有a. when是针对时间提问的，而其他3个都不是问时间的。

6. b 在表示钟点的时间短语前面用介词at,所以只有b. at 是对的。 7. b 从回答中能够看出，这个疑问句需要一个能够针对nothing提问 的词，而且要能够在疑问句中充当主语。a. nothing能够做主语，但 一般不用在疑问句中;c. any 是量词，不能做主语;d. a thing能够做主语，用在这个问句中意思虽然通顺，但不符合习惯用法;b. anything 是不定代词，能够做主语，而且只能在疑问句中做主语，所 以b.是对的。 8. d a. hit , b. beat, c. knock , d. strike 这几个动词中都有“敲”，“打”，“击”的意思，但是只有strike 有“(钟表)敲鸣”，“报时”的含义，所以选择是d. 9. b 本句表示钟点的短"几点过几分"中只能用介词past,所以只有b. past 是准确的答案。 c. passed 不对，是动词pass的的过去式，一个句子里不能有 两个谓语动词的。 pass是动词，而past是介词，有时用作形容词或名词。当pass 用作动词和past用作介词时，它们都有“过去”和“经过”的意思. Three months passed and then one morning, Sam found his wallet outside his front door. 三个月过去了，后来有一天上午，山姆在自己前门的外面发现了 自己的钱包。 It's two minutes past twelve.

高等数学第五章定积分及自测题

第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容

Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑， 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥

裕兴版新概念英语笔记第一册第9课

Lesson 9 How are you today? 语音—合口双元音2 ★合口双元音：[ai] [au] [?i] ★双元音[ai]发音要点：由[a:]向[i]滑动 [ai]—i（开音节中，即以元音字母结尾或以辅音字母e结尾的音阶） time时间fine好的five 五kite风筝like喜欢side边，旁边wife妻子eg. We should save time. 我们应该节约时间。 eg. How are you today? I’m fine. 你今天怎么样呀？我很好。 eg. five pens 五只钢笔 eg. fly a kite 放风筝 eg. I like my parents. 我喜欢/爱我的父母。 注意：wife发w时，千万不要用上齿碰下唇，即牙齿不接触唇。 [ai]—igh high高的night晚上light灯bright明亮的，聪明的fight打架tight紧的注意：1. high的反义词是low。 2. tights n.（女）紧身裤 eg. good night! 晚安! eg. turn on the light 打开灯/turn off the light关灯 [ai]—i cry哭my我的sky天空fly v.飞/n.苍蝇July七月reply回答 eg. This is my car. 我的小汽车。 eg. blue sky 蓝蓝的天空 eg. The bird is flying. 这只鸟正在飞行。 eg. 回答我answer me/ reply to me.（reply后面一般加to） [ai]—ie：die v.死lie v.说谎，躺下tie领带 [ai]—ye：eye 眼睛bye int.再见dye v.染色 eg. beautiful eyes 美丽的眼睛 eg. dye the hair brown. 把头发染成棕色 Read these sentences: 1. The kite is flying highly in the sky. 风筝在高空中飞着。 2. His wife died in July 1995. 他的妻子死于1995年7月。 3. Eyes never lie. 眼睛从来不说谎。 You said you love me, but your eyes never lie. 你说你喜欢/爱我，但你的眼睛不会说谎。 4. Turn on the light at night and the room becomes bright. 晚上把灯打开，房间就变得明亮了。 5. Don’t cry, I will be your side. 不要哭，我会在你的身边。 6. The time is so tight. 时间真紧。 比较：[?] 和[ai] [?] [ai] back n.后面；adv. 向后bike自行车 bat蝙蝠；球拍bite n./v.咬；刺痛