当前位置：文档库 › 高考复习之概率统计(理科)

高考复习之概率统计(理科)

高考复习之概率统计〔理科〕

热点一：分布列、数学期望和方差1、分布列

、数学期望:

则称……为ξ的数学期望，简称期望．

ξE+

x n

性质:

E+

+ξ

ξ)

(

4、方差：＝＋＋…＋＋…

)

-ξ

)

-ξn

-2)

(ξ

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．

ξE

性质：〔1〕；〔2〕；

5、二项分布:

Eξ=np, np

例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个〔=1,2,3,4〕.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.

〔Ⅰ〕求的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕若, ,,试求a,b的值.

小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解.

练习：

1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是

否合格互不影响.求：1 2

〔Ⅰ〕至少有1人面试合格的概率;〔Ⅱ〕签约人数的分布列和数学期望.

2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．i1~i(123)

i=，，

〔Ⅰ〕求该射手恰好射击两次的概率；

〔Ⅱ〕该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．

3、某批发市场对某种商品的周销售量〔单位：吨〕进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4

频数20 50 30

〔Ⅰ〕根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

〔Ⅱ〕已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和〔单位：千元〕．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．几种常见题型的解法一、从分类问题角度求概率

例2〔日本高考题〕袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球〔取出的球不再放回〕，求第三次取出的球是白球的概率.

二、从不等式大小比较的角度看概率

例 3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？三、从“至多”、“至少”的角度看概率.

例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验.〔I 〕求恰有一件不合格的概率；〔II 〕求至少有两件不合格的概率〔精确到0.001〕. 四、从“或”、“且”的角度看概率

例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92.

〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数的数学期望和方差.

相关练习

1.〔山东卷7〕在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为

〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕

2.〔福建卷5〕某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

1662596625192625256625

3.〔辽宁卷7〕4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为〔〕

A ．

B ．

C ．

D ．13122334

4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率

为．21p 161

〔Ⅰ〕求乙投球的命中率；

〔Ⅱ〕求甲投球2次，至少命中1次的概率；

〔Ⅲ〕若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5〔相互独立〕，

1〕求至少3人同时上网的概率；

2〕至少几人同时上网的概率小于0.3？

6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽

一题.

〔I〕甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

〔II〕甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

关于统计问题

1.〔天津卷11〕一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调

查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工

________________人．

2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层

抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，____，_______辆.

3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下〔单位：t/hm2 〕:

其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁.

4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进

行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为．

5．〔江苏卷〕某人5次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均

数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4

6．〔四川卷〕甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生

〔A〕人，人，人〔B〕人，人，人

〔C〕人，人，人〔D〕人，人，人

7．〔重庆卷〕为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男

生体重〔kg〕 ,得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是

〔A〕20 〔B〕30 〔C〕40 〔D〕50

8．〔重庆卷〕某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家.为了掌握

各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是

〔A〕2 〔B〕3 〔C〕5 〔D〕13

9．〔全国II〕一个社会调查机构就某地居民

的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图〔如右图〕．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000〕〔元〕月收入段应抽出人．

10．〔山东卷〕某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 09年高考复习之概率统计〔答案〕

热点一：分布列、数学期望和方差 1、分布列

、数学期望: 则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．=ξE +11p x +22p x n n

性质: b aE b a E +=+ξξ)(

4、方差：＝＋＋…＋＋…ξD 121)(p E x ?-ξ22

2)(p E x ?-ξn n p E x ?-2)(ξ

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．ξE

性质：〔1〕；〔2〕；

5、二项分布:

E ξ=np, np 例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个〔=1,2,3,4〕.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.

〔Ⅰ〕求的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕若, ,,试求a,b 的值.

解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.〔满分12分〕解：〔Ⅰ〕的分布列为：

∴01234 1.5.

22010205E ξ=?+?+?+?+?=

〔Ⅱ〕由，得a2×2.75＝11，即又所以当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b=4.

∴或即为所求.

2,2a b =??=-?2,4a b =-??=? 小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解.

练习：

否合格互不影响.求：1

〔Ⅰ〕至少有1人面试合格的概率; 〔Ⅱ〕签约人数的分布列和数学期望.

解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，

且P 〔A 〕＝P 〔B 〕＝P 〔C 〕＝. 〔Ⅰ〕至少有1人面试合格的概率是

317

1()1()()()1().

28P ABC P A P B P C -=-=-=

〔Ⅱ〕的可能取值为0，1，2，3.

(0)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++

＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++

＝3231113

()()().

228++=

(1)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++ =()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++

=3331113()()().

228++=

(2)()()()().

8P P ABC P A P B P C ξ====

(3)()()()().

8P P ABC P A P B P C ξ====

ξξ的期望0123 1.

8888E ξ=?+?+?+?=

2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标

得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．i 1~i (1

23)i =，，〔Ⅰ〕求该射手恰好射击两次的概率；

〔Ⅱ〕该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．解：〔Ⅰ〕设该射手第次击中目标的事件为，则，

()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．

〔Ⅱ〕可能取的值为0，1，2，3．

ξ的分布列为

00.00810.03220.1630.8 2.752

E ξ=?+?+?+?=.

3、某批发市场对某种商品的周销售量〔单位：吨〕进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4 频数

〔Ⅰ〕根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

〔Ⅱ〕已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和〔单位：千元〕．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．解：〔Ⅰ〕周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．〔Ⅱ〕的可能值为8，10，12，14，16，且 P 〔=8〕=0.22=0.04， P 〔=10〕=2×0.2×0.5=0.2， P 〔=12〕=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P 〔=14〕=2×0.5×0.3=0.3， P 〔=16〕=0.32=0.09．

ξ的分布列为

=8×0.04+10×几种常见题型的解法一、从分类问题角度求概率

例2〔日本高考题〕袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球〔取出的球不再放回〕，求第三次取出的球是白球的概率.

解：设A1=“三次都是白球”，则 P 〔A1〕=

A2=“一、三次白球，第二次红球”，则 P 〔A2〕=

A3=“第一次红球，二、三次为白球”，则 P 〔A3〕=;

A4=“一、二次红球，第三次白球”，则 P 〔A4〕=

而A1、A2、A3、A4互斥，又记A=“第三次取出的球是白球”，则

P〔A〕=P〔A1〕+P〔A2〕+P〔A3〕+P〔A4〕=…=

说明：本题中关键是学会分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由P= 得出，请读者琢磨.

二、从不等式大小比较的角度看概率

例 3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？

解：设甲没有获得商标的事件为A，乙没有获得商标的事件为B，

则P〔A〕=

P〔B〕=

∴甲、乙没有获得商标的事件为C，

则P〔C〕=P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕.

又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D.

∴P〔D〕=1- P〔C〕

=1-

1000

999

...

1023

1022

1024

1023

1024

)

(

)

故有99%的把握作出如此断定.

说明：本题中关键要熟悉事件D对立事件是C，则P〔D〕=1-P〔C〕，主要以“-

”号连接，本题也可由1-进行比较.

三、从“至多”、“至少”的角度看概率.

例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验.〔I〕求恰有一件不合格的概率；〔II〕求至少有两件不合格的概率〔精确到0.001〕.

解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C.

〔I〕P〔A〕=0.90，P〔B〕=P〔C〕=0.95，

)

(

)

(

)

因为A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为

〔II〕至少有两件不合格的概率

答：〔略〕.

说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“×”连接P〔A〕、P〔B〕、P〔C〕以及P、P、P .另外〔II〕也可由P=1-P〔A·B·C〕-0.176=1-P〔A〕·P〔B〕·P〔C〕-0.176得出.

四、从“或”、“且”的角度看概率

例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.

92.

〔1〕求该题被乙独立解出的概率；

〔2〕求解出该题的人数的数学期望和方差.

解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B.

设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2

则P 〔A 〕=P1=0.6，P 〔B 〕=P2 P 〔A+B 〕=1-P ∴0.6+P2-0.6P2=0.92.

则0.4P2=0.32 即P2=0.8………………………………〔5分〕〔2〕

44.08.04.02.06.0)()()()()1(=?+?=+==B P A P B P A P P ξ

48.08.06.0)()()2(=?===B P A P P ξ

ξ的概率分布列：

Eξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4

Dξ=〔0-1.4〕2×0.08 + 〔1-1.4〕2×0.44 + 〔2-1.4〕2×0.48=0.4 或利用D ξ=E 〔ξ2〕-〔E ξ〕2 = 2.36-1.96=0.4

另外如将此题中的“或”改为“且”，处理方法怎样，请同学思考.