河南省实验中学2018-2019年高二下期中数学试卷(理)及答案
河南省实验中学2019——2019学年下期期中试卷
高二 理科数学
命题人：丁海丽 审题人：李红霞
（时间：120分钟，满分：150分）
一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.关于x 的方程2
250x x -+=的一个根是12i -，则另一根的虚部为( ) A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A. 3y x =
B. ()ln y x =-
C. x y xe -=
D. 2y x x
=+ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明
1111
122341
n -+-++=-11(
24n n +++1)2n ++时，若已假设(2n k k =≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A.1n k =+时等式成立
B. 2n k =+时等式成立
C.22n k =+时等式成立
D. ()22n k =+时等式成立 4．下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆
B.由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2
,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积S =πab
D.以上均不正确
5．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )
A.[1,)-+∞ B .(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞
6.在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)
(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( )
A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1
B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1
C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1
D.以上都不对
7.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有( ) A.54种 B.48种 C.36种 D.72种 8．设dx x x m ?
-+=1
1
2)sin (3，则多项式6)1(x
m x +
的常数项( )
A.45-
B.45
C.16
15- D.1615
9．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221
113
f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()
y f x '=的图象，则()1f -等于(
)
A ．13
B ．－13
C ．53
D ．－13或53
10.已知()ln x
f x x
=
，且3b a >>，则下列各结论中正确的是( ) A.(
)2a b f a f f +??<< ???
B. ()2a b f f f b +??
<< ???
C. ()2a b f f f a +??<< ???
D. (
)2a b f b f f +??
<< ???
11.函数(
)()()
22,20,02x f x x x x -≤<=-≤≤??的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )
A ．1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π-
12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ?∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2
x
f x e >的解是( )
A. ln 4x >
B. 0ln 4x <<
C. 1x >
D. 01x <<
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知()1cos f x x x =
，则()2f f ππ??
'+= ???
． 14.已知i 为虚数单位，则232015i i i i ++++= ．
15．已知函数()3
2
4
()3
f x x ax a a R =+-
∈，若存在0x ，使()f x 在0x x =处取得极值，且()00f x =，则a 的值为 ．
16．计算12323n
n n n n
C C C nC +++???+，可以采用以下方法： 构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++???+()1n
x =+，两边对x 求导， 得()
1
12321
231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++???+=+，
在上式中令1x =，得1231
232n n n n n n C C C nC n -+++???+=?．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C +++???+= ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
设,,,0.z a bi a b R b =+∈≠, 且1
z z
ω=+是实数，且12ω-<<. (1)求z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11z
u z
-=
+，求证：u 为纯虚数；
18.（本小题满分12分）
从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．
（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？
（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？
19.（本小题满分12分）
已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点
处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274
. （1）求()f x 的解析式；
（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知函数()22ln f x x a x =+．
（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为2，求函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程；
（2）若函数)(2
)(x f x
x g +=
在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知()()()()2
0121111n
n
n x a a x a x a x +=+-+-++-，
（其中*n N ∈）. （1）求0a 及12n n s a a a =+++；
（2）试比较n s 与()2222n n n -?+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.
22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1
a
f x x a R x =+∈+ （1）当9
2
a =
时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小；
（3）求证：()()*1111
ln 1357
21
n n N n +>
++++
∈+. 河南省实验中学2019——2019学年下期期中答案
高二 理科数学
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 3
π
-
14.1- 15.3± 16. ()2
2
1-+n n n
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【解析】（1）,,,0.z a bi a b R b =+∈≠
22221()a b a bi a b i a bi a b a b ω?
?∴=++
=++- ?+++??
ω是实数，0b ≠，221a b ∴+=即||1z =,
2,12a ωω=-< - ??? ；………………………………5分 （2）()()()()()2222 111112111111a bi a bi z a bi a b bi b u i z a bi a bi a bi a a b --+-------=====-++++++-+++ 1,1,02a b ?? ∈-≠ ???u ∴为纯虚数. ……………………………………………………10分 18.【解析】（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关． 每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有1 4 4C =种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有2 4 6C =种． ∴有12 4 410C C +=种． ……………………………………………………………………6分 (2)从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有22 4 34 645 64227800C C C C A A ???+?= ?? ?种分配方法． ……………………………………………12分 19.【解析】 (1)由(0)0f =得0c =， ………………………………………2分 2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =， ………………………………………4分 ∴3 2 2 ()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为 27[()]4 a f x dx --= ? 从而得3a =-，∴32 ()3f x x x =-. ………………………8分 （2）由（1）知2 ()363(2)f x x x x x '=-=-. ,(),()x f x f x '的取值变化情况如下： 又(3)0f =,①当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==； ②当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………………11分 综上可知：当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==； 当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………12分 20.【解析】（1）()22222a x a f x x x x +'=+=，由已知()22f '=，解得2a =-.……2分 ()24ln f x x x ∴=-,()4 2f x x x '=-()11f ∴=,()12f '=-……………………………4分 ∴函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程为()121y x -=--即230x y +-=. ……6分 （2）由g(x)＝ 2x ＋x 2 ＋2aln x ，得g ′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x ， ……………………7分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－ 22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x －x 2 在[1,2]上恒成立．…………8分 令h(x)＝1x －x 2 ，在[1,2]上h ′(x)＝－21x －2x ＝－(21x ＋2x)＜0， 所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a ≤－7 2 ．……………11分 故实数a 的取值范围为{a|a ≤－7 2 }. …………………………………………………12分 21.【解析】（1）取1x =，则02n a =； ………………………………………………2分 取2x =，013n n a a a ++ +=，1232n n n n s a a a ∴=+++=- ……………………4分 （2）要比较n s 与()2222n n n -?+的大小，即比较3n 与()2122n n n -?+的大小. 当1n =时， ()23122n n n n >-?+； 当2,3n =时， ()23122n n n n <-?+； 当4,5n =时， ()23122n n n n >-?+； …………………………………………………6分 猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-?+，下面用数学归纳法证明：…………………7分 由上述过程可知，4n =时结论成立； 假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-?+ 两边同乘以3得：()()()2 1212 3312622132442k k k k k k k k k k k ++??>-?+=?+++-+--?? 4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥?-?->，()2324420k k k k ∴-+--> ()2 113221k k k k ++∴>?++，即1n k =+时结论也成立. ∴当4n ≥时， ()23122n n n n >-?+成立. …………………………………………11分 综上所述，当1n =或4n ≥时， ()23122n n n n >-?+； 当2,3n =时， ()23122n n n n <-?+.………………………………………12分 22.【解析】（1）当9 2 a = 时，()()9ln 21f x x x =++，定义域是()0,+∞. ()()()()() 2221219 2121x x f x x x x x --'= -=++ 令()0f x '=，得1 2 x = 或2x =.……………………………………………………………2分 当102x <<或2x >时，()0f x '>，当1 22 x <<时，()0f x '<， ∴函数()f x 在10,2?? ???，()2,+∞上单调递增，在1,22?? ??? 上单调递减. …………………4分 ∴()f x 的极大值是132ln 22f ?? =- ??? ，极小值是()32ln 22f =+. 当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞， ∴当()()g x f x k =-仅有一个零点时，实数k 的取值范围是 ()3,ln 23ln 2,2??-∞+-+∞ ? ?? .……………………………………………………………5分 （2）当2a =时，()2 ln 1 f x x x =+ +，定义域是()0,+∞. 令()()2 1ln 11 h x f x x x =-=+-+，则()()()222121011x h x x x x x +'=- =>++ ()h x ∴在()0,+∞上是增函数. …………………………………………………………7分 当1x >时，()()10h x h >=，即()1f x >；当01x <<时，()()10h x h <=，即()1f x <； 当1x =时，()()10h x h ==，即()1f x =；………………………………………………9分 （3）根据（2）的结论，当1x >时，2ln 11x x + >+，即1 ln 1 x x x -> +. 令*1k x k N k +=∈，，则有2ln 11x x +>+，即1 1 11ln 1211k k k k k k k +-+>=+++ ()23 1111 ln 1ln ln ln 123521n n n n +∴+=++ +>+++ +， 即()()*111 1ln 1357 21n n N n +>+++ +∈+.…………………………………………12分