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蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)

(2006-3-7修改, 9-18再修改)

蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)

蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)

例 ( 蒲丰(Buffon )投针随机试验的讨论 ) 在平面上画有相互距离均为2a 的平行线束,向平面上随机投一枚长为2l 的针,为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况,假定0>>l a , 设M 为针的中点,y 为M 与最近平行线的距离,φ为针与平行线的交角(如图1)a y ≤≤0, π?≤≤0. 于是,很明显,针与平行线相交的充要条件是?sin l y ≤(如图2),故相交的概率为

a

l

d l a dy d a p l π??π?π?ππ2 sin 1 1sin 0

00===

??? (1) 我们用n 表示投针次数, n S 表示针与平行线相交次数,由大数定理知,当n 充分大时,频率接近于概率,即

a

l

n S n π2≈ 于是有

n

aS nl

2≈

π (2)

这就是上面所说的用随机试验求π值的基本公式。 根据公式(2),19—20世纪,曾有不少学者做了随机投针试验,并得到了π的估计值 . 其中最详细的有如下两个 :

蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)

其中π的估计值就是利用π的近似公式(8)得到的,即

1596.36332000

2532455000362≈=???≈π (Wolf )

1415929

.3113

355

1808334085.22≈=???≈

π (Lazzarini )

一般情况下,随机抽样试验的精度是不高的,Wolf 的试验结果是π≈3.1596,只准确两位有效数字 .

精度是由方差n p p n S D n )

1(-=

??

?

??决定的,为了确定概率p ,不妨取l =a 这一极限情况,这时π

2

p =0.6366,n n S D n 2313

.0≈

??

?

??,由积分极限定理, dx n p p p n S P x n n ?-

∞→=??

?

?

?

??

???????≤--λ

λπλ22

1

-e

21)1(lim

即频率n S n /近似地服从正态分布律()n p p p N /)1(,- . 如果要求以大于95%的概率(96.1=λ),保证以频率n S n /作为p 的近似值精确到三位有效数字,

001.0≤-=

p n

S n

ε 即

???

?

??≤-001,0p n S P n 95.021

/)1(001

.0)1(001.02

12≥?

---

-n

p p n

p p x dx e

π

则必须有

96.1/)1(001

.0=≥-λn

p p

根据上式,要求试验次数7.88001.0/231.096.12

2≈?≥n 万次 .

至于Lazzarini 的试验,为什么实验次数少反而精确度却很高呢?这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合,而祖冲之密率为无理数π的连分式,属于π的最佳有理逼近 . 很明显,作为一种具有随机性质的试验,其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的;顾及到上述讨论,故Lazzarini 的试验结果是不大可能的 .

注:以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。