（2006－3－7修改, 9-18再修改）

例 （ 蒲丰（Buffon ）投针随机试验的讨论 ） 在平面上画有相互距离均为2a 的平行线束，向平面上随机投一枚长为2l 的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定0>>l a , 设M 为针的中点，y 为M 与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角（如图1）a y ≤≤0， π?≤≤0. 于是，很明显，针与平行线相交的充要条件是?sin l y ≤（如图2），故相交的概率为

a

l

d l a dy d a p l π??π?π?ππ2 sin 1 1sin 0

00===

??? (1) 我们用n 表示投针次数， n S 表示针与平行线相交次数，由大数定理知，当n 充分大时，频率接近于概率，即

a

l

n S n π2≈ 于是有

n

aS nl

2≈

π （2）

这就是上面所说的用随机试验求π值的基本公式。 根据公式（2），19—20世纪，曾有不少学者做了随机投针试验，并得到了π的估计值 . 其中最详细的有如下两个 ：

其中π的估计值就是利用π的近似公式（8）得到的，即

1596.36332000

2532455000362≈=???≈π （Wolf ）

1415929

.3113

355

1808334085.22≈=???≈

π （Lazzarini ）

一般情况下，随机抽样试验的精度是不高的，Wolf 的试验结果是π≈3.1596，只准确两位有效数字 .

精度是由方差n p p n S D n )

1(-=

??

?

??决定的，为了确定概率p ，不妨取l =a 这一极限情况，这时π

2

≈

p =0.6366，n n S D n 2313

.0≈

??

?

??，由积分极限定理， dx n p p p n S P x n n ?-

∞→=??

?

?

?

??

???????≤--λ

λπλ22

1

-e

21)1(lim

即频率n S n /近似地服从正态分布律()n p p p N /)1(,- . 如果要求以大于95%的概率（96.1=λ），保证以频率n S n /作为p 的近似值精确到三位有效数字，

001.0≤-=

p n

S n

ε 即

≈

???

?

??≤-001,0p n S P n 95.021

/)1(001

.0)1(001.02

12≥?

---

-n

p p n

p p x dx e

π

则必须有

96.1/)1(001

.0=≥-λn

p p

根据上式，要求试验次数7.88001.0/231.096.12

2≈?≥n 万次 .

至于Lazzarini 的试验，为什么实验次数少反而精确度却很高呢？这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合，而祖冲之密率为无理数π的连分式，属于π的最佳有理逼近 . 很明显，作为一种具有随机性质的试验，其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的；顾及到上述讨论，故Lazzarini 的试验结果是不大可能的 .

注：以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。