2.4 函数与方程(第5课时)

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第二章 函数

§2. 5 函数与方程

一、知识梳理

1、函数零点的概念

对于函数y=f(x)，我们把使 叫做函数y=f(x)的零点。 2、函数零点与方程根的关系

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 有交点?函数y=f(x)有 。 3、函数零点的判断

如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y=f(x)在区间 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

4、什么叫二分法

对于在[a, b]上连续不断，且 的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的 所在的区间 ，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

5、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

（1）确定区间[a, b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； （2）求区间(a, b)的中点x 1； （3）计算f(x 1)；

①若f(x 1)=0，则x 1就是函数的零点； ②若f(a)·f(x 1)<0， 则令b=x 1，（此时零点)),(10x a x ∈；

③若f(x 1)·f(b)<0 则令a=x 1，（此时零点)),(10b x x ∈。

（4）判断是否达到精确度ε即若ε<-||b a ，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)~(4).

二、基础考题再现

1、函数65)(2

-+-=x x x f 的零点是（ ）

A 、-2, 3

B 、2，3

C 、2，-3

D 、-2，-3 2、函数x x y 643

-=的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2

D 、3

3、函数5)(2

-=x x f 的函数零点的近似值（精确到0.1）是（ ） A 、2.0 B 、2.1 C 、2.2 D 、2.3 4、若函数a x x x f ++=2)(2

没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、1

B 、1>a

C 、1≤a

D 、1≥a

5、二次函数c bx ax x f ++=2)(中，a ·c<0，则函数的零点个数是 。

三、典型例题

题型一：零点的求法及零点个数问题

例1、求下列函数的零点。 （1）;1)(3

+=x x f （2）1

1

2)(2-++=x x x x f

题型二：零点性质的应用

例2、已知函数)2()1()(2

2

-+-+=a x a x x f 的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。

题型三：用二分法求方程的近似解

例3、求方程03323

=-+x x 的一个近似解，精确到0.1。

方 法

重庆市高考数学一轮专题：第11讲 函数与方程B卷

重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x00.50.531250.56250.6250.751 f（x）﹣1.307﹣0.084﹣0.0090.0660.2150.512 1.099 由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（） A . 0.625 B . ﹣0.009 C . 0.5625 D . 0.066 2. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）． A . B . C . D . 3. （2分）函数的零点所在的区间是（） A . B . C .

D . 4. （2分） (2018高二下·辽源月考) 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是（） A . [－2,2] B . [0,2] C . [－2,0] D . (－∞，－2)∪(2，＋∞) 5. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（） A . 14 B . 7 C . 18 D . 13 6. （2分）设,用二分法求方程在内近似解的过程中得 则方程的根落在区间（） A . (1,1.25) B . (1.25,1.5) C . (1.5,2) D . 不能确定 7. （2分）关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是（） A . 越大，零点的精确度越高 B . 越大，零点的精确度越低

第六讲 函数与方程

函数与方程 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[] ,a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[] ,a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[] ,a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[] ,a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则 重复第二、三、四步。 （20-40分钟） 类型一求函数的零点 例1：求函数y ＝x －1的零点：

高考数学函数与方程的思想方法

高考数学函数与方程的 思想方法 Last revised by LE LE in 2021

第4讲 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝n b ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元

北师版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)

函数与方程 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握函数的零点和二分法的定义． 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数 ()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方 法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。

第8讲 函数与方程

第八讲《函数与方程》 【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。【基础知识回顾】： 1、 2.用二分法求方程近似解的一般步骤：

【基础知识自测】 1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ?<0，则方程0)(=x f 在区间??b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根 2、函数x x f x 2ln )(- =的零点所在的大致区间是（ ） （A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ） （A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点 5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是 ① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根 ③当0

高考数学重点难点3函数与方程思想大全

重点难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●重点难点磁场 1.（★★★★★）关于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为. 2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1）x＜–3或x＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有 当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数. ∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴∴0＜m＜ 故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在. ［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

高中数学函数与方程知识点总结 经典例题及解析 高考真题及答案

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有 1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

基本初等函数、函数与方程答案

基本初等函数、函数与方程 答案 1.B 2.C 3.－3 4.D 5.A 6.D 7.解析：选C ．函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C ． 8.A 9.D 10.解析：选D ．根据题意可知，实数x 1，x 2，x 3分别是函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋1)、y ＝lg x 、y ＝ln x 图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中作出函数y ＝e －x 、y ＝ln(x ＋1)、y ＝lg x 、y ＝ln x 的图象如图所示，由图知，x 1

选C ．当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点． 14.(log 32，1) 15.当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)， 由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示．要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1]，故选D ． 16.解析：选D ．令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2 与g (x )＝1－sin πx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，且这些交点关于直线x ＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D ．

第06讲 函数与方程

高三新数学第一轮复习教案（讲座6） 函数与方程 一．课标要求： 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．要点精讲 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()(

高数多元函数微分学教案 第五讲 隐函数的求导公式

第五讲 隐函数的求导公式 授课题目： §8.4 隐函数的求导公式 教学目的与要求： 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 教学重点与难点： 重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。 难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 讲授内容： 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有 y x F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F 【x , f (x )】≡0, 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得 y x F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由

函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案

函数与方程 【考纲说明】 1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

高中数学必修一3.1函数与方程练习题及答案

高中数学必修一3.1函数与方程练习题及答案 1.若 )1 ( , , )1 ( ,1 , 4 , ) 2 1 ( ,2 5 2 2> = = - = + = = = =a a y x y x y x y x y y x y x x 上述函数是幂函数的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知 ) (x f唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的( ) A.函数 ) (x f在(1,2)或[) 2,3 内有零点 B.函数 ) (x f在(3,5)内无零点 C.函数 ) (x f在(2,5)内有零点 D.函数 ) (x f在(2,4)内不一定有零点 3.若 0,0,1 a b ab >>>，1 2 log ln2 a= ，则 log a b 与 a 2 1 log 的关系是（） A. 1 2 log log a b a < B. 1 2 log log a b a = C. 1 2 log log a b a > D. 1 2 log log a b a ≤ 4.求函数 1 3 2 ) (3+ - =x x x f零点的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知函数 ) (x f y=有反函数，则方程0 ) (= x f（） A.有且仅有一个根 B.至多有一个根 C.至少有一个根 D.以上结论都不对 6.如果二次函数 )3 ( 2+ + + =m mx x y有两个不同的零点，则m的取值范围是（） A.()6,2- B. []6,2- C. {}6,2- D. ()() ,26, -∞-+∞ 7.某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（） A.14400亩 B.172800亩 C.17280亩 D.20736亩 8.若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 ()x f = 9.幂函数 () f x的图象过点（，则() f x的解析式是_____________

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 2019年 1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4 ??-∞ ?? ? B ．7,3 ??-∞ ?? ? C ．5,2 ??-∞ ?? ? D ．8,3 ??-∞ ?? ? 2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且 ()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =，(2),01()1 ,122 k x x g x x +<≤?? =?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b <0 D ．a ＞-1，b >0 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0?=? >?，≤， ，， x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 2．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．1 2 D ．1

13函数与方程练习

初三数学通用版函数与方程综合练习 （答题时间：50分钟） 1. 已知抛物线12--=x x y 与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式20102+-m m 的 值为（ ） A. 2008 B. 2009 C. 2010 D. 2011 2. 已知抛物线c bx ax y ++=2（a>0）的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为 )0,(1x ，且101<+-c b a ；②a b <；③03>+c a ；其中正 确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知二次函数222)1(2m m x m x y -+-+-=的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B ，C 构成的?ABC 的面积是（ ） A. 21 B. 1 C. 2 3 D. 2 4. 二次函数c bx ax y ++=2的图象永远在x 轴上方的条件是（ ） A. 04,02>->ac b a B. 04,02<->ac b a C. 04,02>-++p x px ； （2）若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求p 的最大值。 **11. 对0>>>c b a ，有抛物线)()(2 ac bc ab x c b a x y +++++-=。 （1）若抛物线与x 轴有交点，求证：以c b a ,,为边不能构成一个三角形； （2）若抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为0x ，求证：a x c b <<+0； （3）当方程有实根6，9时，求正整数c b a ,,的值。

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-8-第8讲-函数与方程

第8讲 函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象 与x 轴 的交点 (x 1，0)，(x 2，0) (x 1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( ) (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在b 2 －4ac <0时没有零点．( ) (4)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化] 1．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致范围是( )

函数与方程

函数与方程 专题一：确定零点个数 例1：(x)2sin x x 1f π=-+的零点个数为 例2：设函数?????≥-<--=2),2(2 12,11)(x x f x x x f ，则方程01)(=-x xf 根的个数为 。 例 3.函数21,0()log ,0 x x f x x x +≤?=? >?,则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________. 例4.若函数()|21|f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在（0，1）上不同的零点个数为 ． 例5. 关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 。 专题二：已知零点个数求参数 例2、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 变式1：若函数()22 241f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =___________. 变式2：方程t xe x =||有3个根，确定t 的范围

变式3：关于x 的方程|x|=ax+1只有正根没有负根，求a 的取值范围 练习：（1）直线1y x =+与曲线2||194 y x x -=的公共点的个数是_______. （2）若关于x 的不等式||22 a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是 （3）若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. （4）已知f （x ）=|x 2－4|+x 2+kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是 . （5）：若关于x 的方程 2||1 x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．

高考真题 函数与方程

函数与方程 2019年 1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时， ()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4 ??-∞ ??? B ．7,3 ??-∞ ?? ? C ．5,2 ?? -∞ ?? ? D ．8,3 ??-∞ ?? ? 2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期 为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =(2),01()1,122 k x x g x x +<≤?? =?-<≤??，其 中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),032x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b <0 D ．a ＞-1，b >0 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0?=? >?，≤， ，， x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 2．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

高中数学教案 必修1 第十讲：函数与方程

博途教育学科教师辅导讲义(一） 学员姓名: 年级：高一日期： 辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十讲：函数与方程 授课日期 1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 教学目标 2、理解函数的零点与方程的联系. 教学内容

函数与方程 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想 函数的思想和方法； ◆教学难点：函数零点存在的条件。 〖教学过程〗[来源:Z x x k.C o m] 一、函数的零点 探究一元二次方程与相应二次函数的关系。 出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。 一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点 x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 （-1，0），（3，0） x2-2x+1=0 x1= x2=1 y=x2-2x+1 （1，0） x2-2x+3=0 无实数根y=x2-2x+3 无交点

（图1-1）函数y=x 2-2x-3的图像 （图1-2）函数y=x 2-2x+1的图像 （图1-3）函数y=x 2-2x+3的图像 归纳： 1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x 轴没有交点； 2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x 轴有交点。 反之，二次函数图像与x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与 x y － 3 2 1 1 2 －－ －－ . . . . . . . . . . x y － 3 2 1 1 2 5 4 3 y x － 2 1 1 2 . . . . .

函数与方程 知识梳理

函数与方程 【考纲要求】 1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解． 3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。 【知识网络】 【考点梳理】 1．函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点． ②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点． ③若函数()f x 在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则()()0f a f b ?<是()f x 在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件． 要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根． （2）求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标，实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点，即求()()0f x g x -=的根． 要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ?<． 函数与方程 函数的零点 二分法 函数与方程的关系