大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1）

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(

0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.

2. ）

时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x

x βα.

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；

（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.

3. 若

()()()0

2x

F x t x f t dt

=-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且

'>()0f x ，则（ ）.

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；

（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.

)

(

)( , )(2)( )(1

=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设

（A ）22x （B ）2

2

2x +（C ）1x - （D ）2x +.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =

+→x

x x sin 2

)

31(l i m .

6. ,)(cos 的一个原函数是已知

x f x

x

=?

?x x

x

x f d cos )(则

.

7.

lim

(cos cos cos )→∞-+++=2

2

221

n n n

n

n n π

π

ππ .

8. =

-+?

2

12

1

2

211

arcsin －

dx x

x x .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数=()y y x 由方程

sin()1x y

e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17

7

x x x x ?+-求

11. ．

　求，， 设?--?????≤<-≤=1 32

)(1020

)(dx x f x x x x xe x f x

12. 设函数)(x f 连续，=?1

0()()g x f xt dt

，且→=0

()

lim

x f x A x ，A 为常数. 求

'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.

13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足

=-

1

(1)9y 的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点

M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成

平面图形D.

(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V .

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，

1

()()≥??q

f x d x q f x dx

.

17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0

)(0=?π

x d x f ，0

cos )(0=?π

dx x x f .

证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提

示：设

?=

x

dx

x f x F 0

)()(）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6e .

6.c

x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.3π.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

(1)c o s ()()x y

e y xy xy y +''++

+= cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：7

67u x x dx du ==

1(1)112

()7(1)71u du du

u u u u -==-++??原式 1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

11. 解：1

330

()x

f x dx xe dx ---=+

?

??

3

()x

xd e --=-+??

00

2

32

cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???

　令

321

4e π

=

--

12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===

??1

()()()x

xt u

f u du

g x f xt dt x

(0)x ≠

2

()()()(0)

x

xf x f u du

g x x x

-'=

≠?

2

0()()A

(0)lim

lim

22x x x f u du

f x

g x x →→'===?

02

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A

g x A x

→→-'==-

=

?，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2

ln dy y x dx x +=

2

2

(ln )

dx dx x x y e e xdx C -??=+?

2

11

ln 39x x x Cx -=

-+

1

(1),09y C =-=，

11ln 39y x x x

=- 四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且0

2d x

y y x y

'=+?，

将此方程关于x 求导得y y y '+=''2

特征方程：022

=--r r

解出特征根：.2,121=-=r r

其通解为

x x e C e C y 221+=-

代入初始条件y y ()()001='=，得

31,3221==

C C

故所求曲线方程为：x

x e e y 23132+=-

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)

(1

ln 00

0x x x x y -=-

由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：

x

e y 1= 则平面图形面积

?-=

-=1

121

)(e dy ey e A y

（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则

2131

e V π=

曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2

?-=1

22)(dy

e e V y π

D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

)

3125(6221+-=

-=e e V V V π

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：1

()()q

f x d x q f x dx -??1

()(()())

q

q

q

f x d x q f x d x f x dx =-+???

10

(1)()()q

q

q f x d x q f x dx

=--??

1212[0,][,1]

()()

12(1)()(1)()

0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=

---≥

故有：

1

()()≥??q

f x d x q f x dx

证毕。

17.

证：构造辅助函数：π

≤≤=?x dt t f x F x

0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在)

,0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有

????+===π

π

π

π0

)(sin cos )()(cos cos )(0|dx

x F x x x F x xdF xdx x f ，

有?=π

0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0s i n

)(=ξξF 即0)(=ξF

综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在

),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .

高等数学上（2）

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

.

)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 1

1

c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=

+-=? 则设

答( )

2、

lim ()()()()n n n n n

e e e

e A B e C e D e →∞

-??=

1212

1 答（ ） 3、

)

()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()10)(()(11

)(1

2

1

21

111 答 式中 格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-=

n n n n n n n n n n n x x D x x C x

x n B x x n A x R n x

x f

4、

)()()()()()()()()(0

, 2cos 1)

(lim

,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点　是的驻点 不是的极小值点　是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x

x f f x x f x ==-==→

5、

12

13)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002　

图形的面积所围成的平面与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y =

-=+-=

答( )

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、设　，则＿＿＿＿

y x x y =++'=ln tan()11

2

、

并相应求得下

选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x

3、设空间两直线λ1

2111-=

+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=????? 。

4、. ___________0 , 001

sin )(2==???

??=≠-+=a x x a x x

e x x

f ax 处连续，则在 ，当，当

5、是实数．

，其中b dx x b

_________________ 0

=?

三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量 c i j k =--26与平面π垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

的敛散性．讨论积分?

1

p x dx

五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

为自然数。

其中的递推公式导出计算积分n x x

x I n

n ,1

d 2

?

+=

六、解答下列各题

( 本 大 题4分 )

求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线??

?=-=--+0100

52:1z z y x l 垂

直的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

x x x

x x x tan 2cos sin 1lim

-+→计算极限

八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

．，并计算积分为自然数的递推公式试求?

?=e

e n

n dx x n dx x I 1

3

1

)(ln )()(ln

九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 设在内可微但无界，试证明在内无界。f x a b f x a b ()(,),()(,)'

十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

[])

()(lim , )()(lim )(lim 0000

u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R

十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。设cos ,cos αβ=

=12134

5，求A B

,所受的拉力f f 12,。

B

十三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

一质点沿抛物线运动其横坐标随着时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．

,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086

十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

;

)1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-==

y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、C

2、答：B

3、C 10分

4、（Ｂ）

5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、()sec ()(tan())

111211

2

2

-

+++x

x x x x

10分

2、x 00=

5分 x 115=-

10分

3、54

4、-1

5、-<=>?????

????b b b b b 2

2

200020，　，，

10分

三、解答下列各题

( 本 大 题4分 )

平面法向量

n a b i j

k

=?=-=-31

0114

4122{,,}

4分 n c =-2

n 与 c 平行

8分 从而平面与

c 垂直。

10分

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

当时， p dx x dx x p x p p p p p ≠==-?=--??→+→+-→+-11111111

0101011

01lim lim()lim ()

εεεε

εε =-<+∞>???

??

1

111p p p ，，

5分

当时，p dx x dx

x x p ====+∞??→+1010101lim ln εε

7分 .1110时发散时收敛，当当≥

p

10分

五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

?

+=+1

1:21

x d x I n n 法一解

=

++++++?x x n x x dx n n 2122111

()

3分

=+++++=+++++++=

+++++++++-+???x x n x x x dx x x n x x dx n dx x x x x n I n I n n n n n n n n

212

2221

22221

21111

1111111

11()()()()()

故I x n x

n n I n n n

++=-++-+2

21

111() 7分

法二令 I x x x c

I x n x n n I n I x x c x t dx tdt

n n n 122120

2

211

112121=+-+∴=-+-+--≥=+++==--ln ()()ln tan sec

10分 ∴==??I tdt t t t

t dt n n n sec tan sec sec tan 2

3分

????

++++=++==+++++dt t t n dt t t n t t dt t t n t t t t d n n n n n n tan sec )1(tan sec )1(tan sec tan sec )1(tan sec tan sec 2312311

5分

　=++++∴=-+-

++∴=-+-+--≥++++--x x

n I I I n n I x n x I x n x n

n I n n n n n n n n n n 21

22

21

21

21

111111212()()()()()

7分

I x x x

c

1211

=+-+ln

I x x c 021=+++ln .

10分

六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

π的法向量为={,,}111

l 1的方向向量为

S j k

12101

210=-=-{,,}

3分 所求直线方向向量为

S =?=-1123{,,}

7分

从而所求直线方程为

x y z -=-=+-41223

3

10分

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

原式=+-++→lim

sin cos tan (sin cos )

x x x x x x x x x 021212

3分 =+→12202lim(sin tan sin tan )x x x x x x x x 7分 =+=121452()

10分

八、解答下列各题

( 本 大 题7分 )

I x dx

x x n x dx

n n e

n

e n e

==-??-(ln )ln (ln )1

1

11

=--e nI n 1

4分

于是　I e ne n n e n dx

n n

e =-+--+-?()()!111

)1(!)1(2)1()1()1(1--+--+--+-=-e n e n n e n n ne e n n

7分

所以 (ln )()

x dx e e e e e

e

31

366162=-+--=-? 10分

九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

证明反证设在内有界即则有:()(,),(,)()'?>?∈'≤f x a b M x a b f x M

2分

使之间与介于则至少存在的条件满足拉格朗日中值定理为端点的区间上与在以则对取,,)(),,(),(0000x x x f x x x x b a x b a x ξ≠∈?∈ f x f x f x x ()()()()-='-00ξ

5分

即 记为f x f x f b a f x M b a K ()()()()()()≤+'-=+-00ξ

8分

即在内有界与题意矛盾故假设不正确即在内无界f x a b f x a b ()(,),,()(,).

'

10分

十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

00)

()(lim 00

>η>ε=→，存在任给由u f u f u u

ε<-η<-)()(00u f u f u u 时，恒有使当 4分

η<-?δ<-<>δη=ε=?→0010)(00

)(lim 0

u x x x u x x x 时，使当，存在，取又 8分

[]故当时，就有成立

000<-<-

x x f x f u →=0

0?

10分

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

R

h h R h V h R r h 20)4

()2

(,22

22<<-π=-= 其体积为 则圆柱体的底面半径设内接圆柱体的高为

4分

唯一驻点　'=-=

V R h h R π()2234

23

3

''=-

20

π

8分 故时圆柱体体积最大h R =

23

3,

10分

十二、解答下列各题

( 本 大 题5分 )

按点O 受力平衡，应有

f f p f f 12120cos cos sin sin αβαβ+=-=???，即 1213454513

350

81212f f p f f +=-=?????()()

分分

解得f p f p

1239562556==,

(10分)

十三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

48==t x 时，当　

2分

4)

(3423

21

====t t t dt dx 米／秒

4分

3)( 8)

(18 )210(==-=?-=t x x dt

dx

x dt dy 米／秒

答：质点的纵坐标在，处的变化率为米／秒M ()()81618-

10分

十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

解 交点 :()(,).

(arcsin )

121121322222

1

21

221

2

x y x y S x dx x dx

x x x

==-=

+-=+-+?

?

3分

=

-+-131224ππ =-π416, 5分

()()2240

1

21

2

　V x dx x dx

x =+-??ππ

8分

=

+--

-=-π

ππ

π5

2213

2214232215

()()

().

10分

高等数学上（3）

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、

lim(cos )()

sec x x x A e B e C D →--=π

1414

222 ． ． ． ．

答（ ） 2、

（　）

答 要条件

的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ　的充要条件

Ⅱ是Ⅰ　的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ　的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ　关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(:

)()

(lim )()

()(lim

)(,0)(lim )(lim 0)(,)(),(00

0D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→

3、

[][][] 答（ ） 上的定积分

，．在　差上的积分与一个常数之，．在　．一个原函数 ．原函数一般表示式 的

是，则　连续，，在设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f x

a

)( )()( )()()()(d )()()(≤≤=?

4、

）

答（

是等价无穷小，则的导数与时，若已知2

1

)( 1)(21

)( 1)()0(d )()()(020

22-

-=''''-=→?D C B A f x t t f t x x F x x

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、_________________2

1

的铅直渐近线是x

xe y =

2、

=

?x x d tan 2__________.

3

、

[]上的定积分与

，在，则为周期的连续周期函数为以设)0()()(≠+a T a a x f T x f []______________0)(是上的定积分的大小关系，在T x f

4、直线x y z 12375=+=+与平面39170x y z +-+=的交点为

??????????????????? 。

三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分) ().1)1ln()(阶麦克劳林展开式带拉格朗日型余项的写出n x x x f <-=

2、(本小题6分)

指出锥面x y z 22

2416+=被平行于zox 平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

.

d x x ?求　

2、(本小题2分)

．

计算?+40

)(dx x x

3、(本小题5分)

?

+.

d ln 1ln x x x x

求

4、(本小题5分)

．求?

+4

1

)1(x x dx

5、(本小题11分)

设　，求．y x x x dy x ()()

()tan =-<<21

212

π

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

为偶函数．

试证：?π++=0

2)1cos 2ln()(dx x t t t F

2、(本小题7分)

试证：对角线向量是{}{}=--=-341236,,,,,的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分) 在抛物线找出到直线的距离为最短的点y x xk y =-=2342

2、(本小题6分)

设曲线的方程为已知在曲线的任意点处满足且在曲线上的点处的曲线的切线的方程为求此曲线的方程y f x x y y x x y =''=--=().(,),(,),.

602236

3、(本小题8分)

.

.42)(,4.01000)().(),(,,2000者剩余点及消费者剩余和生产求均衡供给曲线方程为求曲线方程已知需右图区域间的面积直线者剩余定义为供曲线与生产右图区域间的面积线与直线费者剩余定义为需求曲消曲线相交时的价格定义为供给曲线与需求均衡价格经济学上x x p x x p p p p p p =-=∏=I =

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

处的连续性．在试判定处不连续，

在处连续，在设000)()()()()(x x g x f x F x x g x x x f +==

2、(本小题5分)

是否为无穷大？

，试判定，若)()(lim )(lim )(lim 0

x g x f A x g x f x x x x x x ?=∞=→→→

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、D 10分

2、答　()B 10分

3、B 10分

4、B

10分

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x =0

2、=-+tan .x x c

3、= 10分

4、(,,)243 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

f x x x x x n R x n

n ()()

=-----+2323 7分 R x n x x n n n ()(),=-+?-++111101

1

ξξ介于与之间

10分

2、(本小题6分)

用y y =0所截得的曲线为?????=-=-0

2

02

2164y y y z x 4分

故y 00=时为一对相交直线

y 00≠时为双曲线 10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

.

32d 23

c x x x +=?

10分

2、(本小题2分)

原式=+()x x 23

20

4

223 7分

=403 10分

3、(本小题5分)

?+x x x x

d ln 1ln

?+=)

d(ln ln 1ln x x x

3分 ?

?++-++=x x x x ln 1)ln 1d()ln 1d(ln 1

7分 .ln 12)ln 1(32

3c x x ++-+=

10分

4、(本小题5分)

令　x t =

原式=+?

2121

2t

t t dt

()

4分

=-+?211112()t t dt

6分

[]=-+2112

ln ln()t t

8分

=243ln

10分 5、(本小题11分)

dy y x dx ='()

2分

　=----??????()

sec ln()tan tan 22

221222

2x x x x x dx x

π

πππ 10分

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F t t t x dx

()ln(cos )-=-+?20

21π

2分

令　x u =-π

F t t t u du

()ln(cos )-=-++?20

21π

6分

=++?l n (c o s )t t x dx

20

21π

8分 =F t ()

10分

2、(本小题7分)

因为?=?+-?+-?-=3243160()()()，故⊥

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6分） 边长

[]

[]

=+-+-??????+++-?????

?123411

2236222122

222122

()()()//

=523 （10分）

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点到直线的距离为(,),x x 2

d x x x x =

--+=-+342

916

1

543222()

4分

'=-=''=

>d x x d 1

58338

850()

唯一驻点　

最小

时故当d x ,83

= 8分 即点，到直线的距离最短

3

89643420?? ???--=x y

10分

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

)

1(3d 2 c x x y y +=''='? 3分

又由得 代入得2362

3

22

3102x y y x y -==-∴'=

-(,)()

'=+

y x 3232

5分

c x x x x y ++=+

=∴?32

d )323(32

.

232

,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 10分

3、(本小题8分)

p x p x =-=??

?100004422

., 解出x =20.

均衡点p =840.

3分

[]

[]??-=--20

020

24284033

.2133840)4.01000(dx

x dx

x 生产者剩余 消费者剩余

6分 =8400 10分

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

F x f x g x x ()()()=+在处必不连续0

4分

若在处连续，则

在处也连续，矛盾！F x x g x F x f x x ()()()()00=-

10分

2、(本小题5分)

答：不一定．

若，A f x g x x x ≠?=→0110

0lim

()()

∴?=∞→lim ()()x x f x g x 0

4分 但若则等式可能不成立A =0

6分

例如，１

lim lim ()x x x

x x →→-=∞-=121

110

但lim ()x x x →-?-=≠∞121

110

10分

高等数学上（4）

1、的值为

， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x

x b

x

答（ ） ． ．　a

be

D e C a b B A a b

)

()(ln )(1)(

2、

lim(cos )cos x x

x A e B C D →+=

∞

3

3181． ． ． ． 答（ ）

3、

设在上连续在内可导记ⅠⅡ在内则：Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件Ⅰ是Ⅱ的充要条件

Ⅰ与Ⅱ既非充分也非必要条件

答 f x a b a b f a f b a b f x A B C D ()[,],(,)()()()()(,)()()()()()()(),()()()()()()()

='≡0

4、

())

()()()()())(()())(()()(,)(,)(00000000 答 的极值点

必定不是　的极值点为　必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， 则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若x f x D x f x C x f x B x f x A x f y x f x =

5、

一长为的杆绕点在水平面上作圆周运动杆的线密度为杆上一点到点的距离角速度为则总动能 Lcm OA O r

r O A L B L C L D L .,,,()()()()ρωωωωω==

1

1213141

522222222

E

答( )

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1、?

=-x x d )3(3

2_______________.

2、

?-=x

x f dt t t x f 0

__________

)()1()(的单调减少的区间是，则设

3、对于β的值，讨论级数()

n n n β

-=∞

∑11

（1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分) 正确性上拉格朗日中值定理的在验证]4,2[)(2x x f =

2、(本小题4分)

级数

()

()

n n n n n 101101

2

1∑∞

=--

是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

设()f x 是以2π为周期的函数，当x ∈-?? ???

ππ232,时，()f x x =。又设()S x 是()f x 的

以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在[]-ππ,内的表达式。 四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

求极限　lim x x x x x x →-+-+-233

21216

29124

2、(本小题2分) .

d )1(3x

e e x x ?+求

3、(本小题4分)

．求dx x x ?

-2

1

21

4、(本小题7分) .

d x x ?求

5、(本小题8分)

试将函数

21

x y =

在点00≠x 处展开成泰勒级数。

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

如果幂级数∑∞

=0n n

n

x a

在2-=x 处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

)

?( , ,, , , 墙的厚度不计所围成的总面积最大各等于多少时问其墙的总长度为的长方形屋围宽都为如图要围成三间长都为y x a x y

2、(本小题9分) .,2面积线所围成的平面图形的轴及该曲线过原点的切求由曲线x e y x =

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

)

()(,0)1ln(0)(x f x f x x x chx x f '???<-≥=出的可导性并在可导处求试讨论，，

，设　

八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

．

，，计算)0.0()1ln()(lim

20

00

>>+-?

?→b a dt

t dt b a x x

t t x

高数同济五版 (13)

习题12-7 1. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ (1)x , x 2; 解 因为x x x =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ; 解 因为22=x x , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ; 解 因为332=x x e e , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ; 解 因为x x x e e e 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ; 解 因为 x x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ; 解 因为x e xe x x 2222 =不恒为常数, 所以2x e , 22x xe 是线性无关的. (7)sin2x , cos x ?sin x ; 解 因为2sin cos 2sin =x x x , 所以sin2x , cos x ?sin x 是线性相关的. (8)e x cos2x , e x sin2x ; 解 因为x x e x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以e x cos2x , e x sin2x 是 线性无关的. (9)ln x , x ln x ; 解 因为x x x x =ln ln 不恒为常数, 所以ln x , x ln x 是线性无关的. (10)e ax , e bx (a ≠b ). 解 因为 x a b ax bx e e e )(-=不恒为常数, 所以e ax , e bx 是线性无关的.

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

同济大学2009高数B期末考试题

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二． 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

同济版高等数学下册练习题附答案

第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）

p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做

同济大学高等数学2

同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

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同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

同济大学2015-2016学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=.

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间