5．在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后
得向量OQ →
，则点Q 的坐标是( )
A ．(－72，－2)
B ．(－72，2)
C ．(－46，－2)
D ．(－46，2)
解析：设x 轴正方向逆时针到向量OP →的角为α，则从x 轴的正方向逆时针到向量OQ →
的夹角为α＋34π，这里cos α＝35，sin α＝4
5
.设Q 坐标为(x ，y )，根据三角函数的定义x ＝10cos
????α＋34π＝10×????35＋45×????－22＝－72，y ＝10sin ???
?α＋34π＝－2，
即Q (－72，－2)． 答案：A
6．(2014年郑州模拟)若cos θ2＝35，sin θ2＝－4
5，则角θ的终边所在的直线为( )
A ．7x ＋24y ＝0
B ．7x －24y ＝0
C ．24x ＋7y ＝0
D ．24x －7y ＝0 解析：依题意得，tan θ2＝－43，则tan θ＝2tan
θ
2
1－tan 2 θ2＝2×???
?－431－????－432＝24
7，因此角θ的终边
所在的直线方程为y ＝24
7
x ，即24x －7y ＝0，选D.
答案：D 二、填空题
7．若sin α·tan α>0，则α是第________象限角．
解析：因为sin α·tan α>0，所以当sin α>0，tan α>0时，α是第一象限角；当sin α<0，tan α<0时，α是第四象限角，所以α是第一或第四象限角．
答案：一或四
8．已知α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α等于________．
解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.
答案：2
5
9．(2014年南昌模拟)已知点P ????sin 3π4，cos 3π
4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ???
?θ＋π
3的值为________． 解析：依题意，tan θ＝cos
3π
4sin
3π
4
＝－1，tan ????θ＋π3＝－1＋3
1－(－1)×3＝2－ 3.
答案：2－ 3 三、解答题
10．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解析：设圆的半径为r cm ，
弧长为l cm ，
则?????
12lr ＝1，l ＋2r ＝4，
解得?????
r ＝1，l ＝2.
∴圆心角α＝l
r
＝2.
如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1， 故AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，故AB ＝2sin 1(cm)．
11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解析：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2a
a 2＋(－2a )2
＝－2
5，
cos α＝
a a 2＋(－2a )2
＝1
5，
tan α＝－2a
a ＝－2，
sin β＝a (2a )2＋a 2
＝1
5，
cos β＝
2a (2a )2＋a
2＝25， tan β＝a 2a ＝1
2
，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝
－25×15＋15×25
＋(－2)×1
2＝－1.
12．(能力提升)(2014年厦门质检)如图，角θ的始边OA 落在Ox 轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A 、C ，θ∈(0，π
2
)，△AOB 为正三角形．
(1)若点C 的坐标为(35，4
5)，求cos ∠BOC ；
(2)记f (θ)＝|BC |2，求函数f (θ)的解析式和值域．
解析：(1)∵点C 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义知sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝3
5.
又△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，
∴cos ∠BOC ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35·12－45·3
2＝
3－43
10
. (2)∵∠AOC ＝θ(0<θ<π2)，∴∠BOC ＝π
3
＋θ，
在△BOC 中，|OB |＝|OC |＝1，由余弦定理可得f (θ)＝|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |·cos ∠COB ＝12＋12－2×1×1×cos(θ＋π3)＝2－2cos(θ＋π
3
)．
∵0<θ<π2，∴π3<θ＋π3<5π6，∴－323)<2＋3，
∴函数f (θ)的值域为(1,2＋3)．
[B 组 因材施教·备选练习]
1．角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是( ) A.22
B ．－2
2
C.22或－22
D ．1
解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，
sin θ＝a
r
＝
a
2|a |＝???
2
2(a >0)，－2
2(a <0)
所以sin θ的值是22或－22
. 答案：C
2．(2014年南阳一模)已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( ) A ．80°
B ．70°
C ．20°
D ．10°
解析：据三角函数定义知，tan α＝1＋cos 40°sin 40°＝2cos 220°2sin 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°＝sin 70°cos 70°＝tan
70°.故锐角α＝70°.
答案：B
3．(2014年济宁模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f (x )＝cos (x －α)cos α－sin (x －α)sin α，求函数y ＝3f ???
?π
2－2x －2f 2(x )在区间???
?0，π2上的值域．
解析：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－3
3，
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－
32＋33＝－3
6
. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －a )sin α＝cos x ，x ∈R ，
∴y ＝3cos ????π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ????2x －π
6－1. ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π
6
，
∴－1
2≤sin ????2x －π6≤1，∴－2≤2sin ????2x －π6－1≤1， 故函数y ＝3f ????π2－2x －2f 2(x )在区间???
?0，π
2上的值域为[－2,1]．
