第六章习题答案数值分析.docx
第六章习题解答
2
2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大
1
误差限。
解：①由梯形公式：
T ( f )
b a
[ f (a) f (b)]
2 1
[ln1 ln 2] ln 2
0.3466
2
2
2
最大误差限
R ( f )
(b a)3 f '' ( ) 1
1
1 0.0833
T 12
12 2 12 12
其中，
(1,2)
②由梯形公式：
b
a
4 f ( b a
f (b)]
1
4ln( 3
ln 2] 0.3858
S( f )
[ f (a)
)
[ln1 )
6
2
6 2
最大误差限
R S ( f )
(b a)5 f (4) ( ) 6
6 0.0021，
2880
2880 4
2880
其中，
(1,2) 。
4、推导中点求积公式
f ( x)dx (b a) f (
a b
)
(b a) 3
(a
b)
b
a
2
24
证明：
构造一次函数 P （ x ），使 P a
2 b f a b , P '
( a
b ) f ' ( a
b
), P '' ( x) 0
2
2
2
则，易求得 P( x) f '
(
a
b )( x a b ) f ( a
b )
2 2 2
且
P(x)dx
f ' ( a b )( x a b ) f ( a b
) dx b
b
a
a
2
2
2
f (
a b
)dx (b a) f (
a b ) ，令
P(x)dx I ( f )
b
b
a
2
2
a
现分析截断误差：令
r ( x)
f ( x) P(x)
f ( x)
f ' ( a
b
)( x
a b ) f (
a
b )
2
2
2
由 r ' ( x) f '
(x)
f ' ( a
b
) 易知 x a
2 b
为 r (x) 的二重零点，
2
a b )2 ，
所以可令 r (x)
( x)( x
2
构造辅助函数 K (t)
f (t ) P(t)
(x)(t a
b
) ，则易知：
2
K (x)
K a b
0 其中 t
a b
为二重根
K (t ) 有三个零点
2
2
由罗尔定理，存在
(a,b)使K ''
( ) 0
即 f '' ( ) 2K ( x)
K (x)
f '' ( )
2
从而可知 r (x)
f ( x) P( x)
f ''
( )
( x a b )2
2
2
截断误差
R( f )
b
I ( f )
b
f ( x) P(x) dx
b
b f ''
( )
a b 2
dx
f ( x)dx
a r ( x) dx a
( x
)
a
a
2
2
( x
a b
)2 在 (a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理
2
R( f )
b f ''
( )
a b
2 dx f '' ( ) b
a b 2
dx (b a)3
'' ( )
(a,b)
a
( x
)
( x
)
f
2
2
2
a
2
24
综上所述
f ( x) dx I ( f ) R( f )
(b a) f (
a
b )
(b
3
( ) 证毕
a) f
b
a
2
24
1
6、计算积分 e x dx ，若分别用复化梯形公式和复化
Simpson 公式，问应将积分区间至少
剖分多少等分才能保证有六位有效数字？
解：①由复化梯形公式的误差限
R ( f )
b a 2
f ''
( ) (b a)3
e
e
1
5
h
10
T
12
12n
2
12n
2
2
可解得： n
212.85
即至少剖分 213 等分。
②由复化梯形公式的误差限
R S ( f )
b a h 4 f (4) ( ) 1 4 e
1 10 5
2880 2880n
2
可解得： n 3.707
即至少剖分 4 等分。
0， 1， 2 为求积节点，建立求积分 I
3 7、以 f ( x)dx 的一个插值型求积公式，并推导此
求积公式的截断误差。
解：在 0， 1，2 节点构造 lagrange 插值多项式，则有
P 2 ( x) l 0 ( x) f (0) l 1 ( x) f (1) l 2 ( x) f (2)
( x 1)(x 2) f (0)
x(x 2) f (1) (2 x(x 1) f (2) (0 1)(0 2)
(1 0)(1 2)
0)(2 1)
则 f (x) P 2 (x)
f (3) (
)
3 ( x)
3 ( x) x( x 1)( x 2)
3!
对上式在 [0， 3]上求积分，则有
3
3 3 f (3) (
)
f (x)dx
0 P 2 ( x)dx
3!
3 (x) dx
其中
3
f (0)
3
2
3x
2) dx (
3
( x 2
2 x)dx
f (2) 3
2
x)dx
P 2 (x)dx
2
( x
f (1))
2
( x
f (0) [ 1 x 3 3 x 2 2x]0
3
f (1)[1
x
3
x
2
] 03
f (2) [ 1 x 3 1
x]03
2 3
2
3 2 3 2
f (0) 3 f (2) 9
2
2
2
2
3
f (0)
9
f (2)
4
4
再分析截断误差
1
3
f
(3) (
) x( x 1)(x 2) dx
此处分段处理
R( f )
3!
即 R( f )
1 2 (3) ( ) x(x 1)(x 2)dx
1 3 (3)
( ) x( x
1)(x 2)dx
R 1 ( f ) R 2 ( f )
3!
f 3!
f
0 1
2
1）其中，对于 R 1( f )
2 (3) ( ) x( x 1)( x 2)dx
3!
f
由于 x( x 1)(x 2) 在 [0， 2]上不保持常号
故考虑构造一个三次多项式
F ( x) 满足下列插值条件：
F (0) f (0)
F (1) f (1) F (2) f (2)
F ' (1) f ' (1) F ' (2) f ' (2)
由 Hermite 插值方法，有
f ( x) F ( x)
1
f (4) ( )( x 0)( x 1)2 ( x 2) dx
4!
2
1
2
(4) (
) x(x 1)2
(x 2) dx
则 R 1 ( f )
[ f (x) F ( x)] dx f
4!
显然此时 x(x
1)2 (x 2) 在 [0， 2]上恒小于等于 0.于是由第二积分中值定理
R 1 ( f ) 1 f
(4) (
1 )
2
x( x 1)
2
( x 2)dx
4!
1
f (4) (
1)
2
(x
4
4x
3
5x
2
2x)dx
4!
1 (4)
1
5
4
5
3 2 2
1
(4)
4! f
( 1)[ 5 x
x 3 x x ] 0
90 f ( 1 )
2）其中 R 2 ( f ) 1 3
f (3)
( ) x(x 1)(x 2)dx
3!
2
显然 x( x 1)(x 2) 在 [2， 3]上恒正 .于是由第二积分中值定理
R 2 ( f )
1 f (3) ( 2
)
3 x( x
1)( x 2) dx
2
3!
1 f (3) (
2 )
3
(x
3
3x
2
2x)dx
3 f (3) (
2 )
2
3!
8
综上，截断误差
R( f )
R 1 ( f ) R 2 ( f )
3
f (3) ( 2 ) 1 f (4) ( 1 )
3
9
8
90 3 f ( 3 ()
1 f
所以
I
3
f ( x)dx f (0) f (2) R( f ) ( R( f )
2
)
((
4 1
)
))
4 4
8
90
8、（ 1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。
h f (x)dx
h
[ f (0)
f (h)]
h 2
[ f ' (0)
f ' (h)]
2
解：分别将 f ( x) 1 ， x 代入求积公式，易知求积公式精确成立。
代入
f (x)
x 2 ，令求积公式精确成立，于是有：
左
h 3
,
3
右
h 3 2 h 3
3
可解得：
1
12
代入 f (x)
x 3 ，于是有
左
h 4 ,
4
右
h 4 h 4 h 4
2
4
4
左 =右，求积公式成立。
代入 f (x)
x 4 ，于是有
左h5
, 5
右
h5h4h 4
236
左右，求积公式不精确成立。
综上可知，该求积公式具有三次代数精度。
9、对积分1
Gauss 求积公式，要求：f ( x)(1 x2 )dx ，求构造两点
（ 1）在 [0,1] 上构造带权( x)1x 2的二次正交多项式；
（ 2）用所构造的正交多项式导出求积公式。
解：（1）构造在 [0,1]上构造带权函数( x) 1 x 2的正交多项式 Q0 ( x) 、 Q1 (x) 、 Q2 ( x) ，
取
Q0()1、
Q1 ( x) ( x 1
)Q
0( x)
，
x
1
x2 )dx 3
其中
[ xQ0 ( x),Q 0 ( x)]0 x(1
11
，[ Q0 ( x), Q0 (x)]28
(1) dx
x
则 Q1 ( x)x 3
。8
同理， Q 2( x)x216 x11，求 Q2 ( x) 的零点得：
1995
x0 0.17306907， x10.66903619
求积系数：
A01
0 ( x)dx0.39523617
l
A110.27143053
l1 ( x)dx
（ 2）求（ 1）可导出求积公式：
1
f (x)(1x 2 )dx A0 f ( x0 )A1 f (x1 )
0.39523617 f (0.17306907 ) 0.27143053 f (0.66903619)
11、试用三点 Gauss-Legendre 公式计算
3 1
dx 并与精确值比较。1x
解：设三点Gauss-Legendre 求积节点为：
15
， t1015
t0， t 2
55相应求积系数为：
A 0
5
， A 1
8
5
3 ， 9 ， A 2
， a 1 , b
9
9
f ( x) 1
，令 x
a b b a t
x 2 2 3 1
b a 1
a b b a t)dt
则 dx
2
f (
2 2
1
x
1
b a 2
A i f ( a b b a
t i )
2 i 0 2 2
1.09803922
精确值为： ln3=1.09861229 ，
二者误差： R ≈ 5.7307× 10-4。
1
13、对积分 f ( x) ln 1
dx 导出两点 Gauss 求积公式
x
1
解：在 [0， 1]上构造带权
(x) ln 的正交多项式
0 ( x) 、 1 (x) 、 2 ( x)
x
1
1
dx
( x 0 ( x), 0 ( x))
x ln 1
0 (x) =1， 1( x)
( x
1 )
0 ( x)
x
1
( 0 ( x), 0 ( x))
1
1
4
0 ln
dx
x
1 (x)
x
1
4
x 25 x
17 同理可得
2 ( x)
7
252
求
2 (x) 的零点可得 x 0
0.11200881 x 1
0.60227691
以 x 0 、 x 1 作为高斯点
两点高斯公式， n 1 ，应有 3 次代数精度，求积公式形如
1
1
dx f ( x)ln
A 0 f ( x 0 ) A 1 f ( x 1 )
x
将 f (x)
1, x 代入上式两段，
1 A 1
ln 1
dx A 0
x
1
1
dx x 0 A 0
x ln
x 1A 1
0 x
联立解出： A 0 0.71853932,A 1 0.28146068
所以所求两点 Gauss 求积公式
1
1
dx
A 0 f ( x 0 ) A 1 f ( x 1 ) 0.71853932 f (0.11200881) 0.28146068 f (0.60227691)
f ( x)ln 0
x
15、利用三点
Gauss-Laguerre 求积公式计算积分
1 2 dx
1 x
解：原积分 I 1
e x
f (x)dx
，其中
f ( x)
e x
2 dx
1 x 2
1 x
由三点 Gauss-Laguerre 求积节点：
x 0 0.4157745568,x 1 2.2942803063,x 3 6.2899150829
相应求积系数
A 0 0.7110930099,A 1 0.2785177336,A 2 0.010*******
2
则
IA K f (x K ) 1.49790652
K 0
16、设 f ( x) 四阶连续可导，
x i x 0 ih, i 0,1,2 。试推导如下数值微分公式的截断误差。
f ' (x 2 )
f ( x 0 ) 4 f (x 1) 3 f ( x 2 )
2h
解：设 L 2 (x) 是 f ( x) 的过点 x 0 , x 1 , x 2 的 2 次插值多项式， 由 Lagrange 插值余项 （ n=2）有，
f (3) (
x )
( x)
x 1
x 2
f ( x) L 2 (x)
3
3!
其中
3 ( x) ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )
若取数值微分公式
f ' ( x)
L '2 ( x)
则截断误差 R 2'
(x)
f '
(x)
L 2' ( x)
f (3) (
2 )
3'
( x)
3
(x) df
(3)
(
2 )
3!
dx
3!
将 x
x 代入得 f ' (x 2 ) f ( x 0 ) 4 f ( x 1 ) 3 f (x 2 )
2
2h
误差项中， 3 (x 2 )
' f (3) (
)
'
f (3) (
)
x 0 )( x 2 x 1 )
2h h
(3)
1
f (3)
( )h 2
2
)
R 2
(x 2 )
3! 3 (x 2 ) 3!
( x 2
f
( )
O(h
3!
3
所以截断误差为
1 f (3) (
)h 2 ，即 O(h 2 )
3