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菱形的判定和性质

一、基础知识

（一）菱形的概念

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（二）菱形的性质：

1、具有平行四边形的一切性质；

2、菱形四条边都相等；

3、菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

4、菱形是轴对称图形；

边角对角线对称性菱形

对边平行；四边相等

对角相等；邻角互补

互相垂直平分且

平分对角

轴对称

（三）菱形的判定：

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、四条边都相等的四边形是菱形；（四）菱形的面积

1、可以用平行四边形的面积算（S=

底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=

ab)

二、例题讲解

考点一：菱形的判定

例1：下列命题正确的是（）

（A ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形（B ）对角线相等的四边形一定是矩形（C ）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D ）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等

练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形AMON 和四边形ABCD 是位似图形

C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )

A ．DE 是△ABC 的中位线

B ．AA '是B

C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高

D ．AA '是△ABC 的角平分线

A '

练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？

请说明理由．

变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四

A N

M O

E A

F E

边形？请说明理由．

练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说

明四边形AEFG 是菱形．

练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 和EF 互相平分。

练习3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。考点二：菱形的性质

例1：如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AE 于G ，

求证：（1）四边形AFGD 是菱形；

（2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。

练习1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4，求：（1）∠ABC 的度数；（2）菱形ABCD 的面积。

例2 ：如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．（1）求证：△ABD 是正三角形；（2）求 AC 的长（结果可保留根号）．

练习1：若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A 23

B 23cm

C ．22cm

D ．223cm 练习2：若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（）

（A ） 4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm

练习3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )

A ．21㎝

B ．22㎝

C ．23㎝

D ．24㎝

O D

B A

D F G

G F

A F E

B A

D C

例3：如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )

A ．2

10cm

B ．2

20cm

C ．2

40cm

D ．2

80cm

A B

练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（） A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm

练习2：若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BC 的长是（）（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm 练习3:若菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为( )

A ．240 cm 2

B ．120 cm 2

C ．60 cm 2

D ．30 cm

例4:如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。

练习1:如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是B C ．CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（）

A ． 32

B ． 33

C ． 34

D ． 3

D F

练习2：如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是_____________．

练习3：如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，

A E

求∠CEF 的度数。

例5：如图，菱形ABCD 是边长为13cm ，其中对角线AC=10cm ，求（1）菱形ABCD 的面积；

（2）作BC 边上的高AH ，求出AH 的长度

练习1：如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 和∠BAD 的度数比为1：2，周长是48cm ．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．

例6：已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

练习1：如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=21∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM 。

练习2：如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；

(2) 判断△BEF 的形状，并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．考点三：综合

例1：如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作

211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3

AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=；依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n

AD 的长是．

例2：菱形ABCD 的对角线交于O ，AO=1，且∠ABC ∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（）

D B 3

A C 2

B 2

C 3

D 3 B 1

D 2

C 1 H

G F

A ．①②③④⑤

B ．①②④⑤

C ．②③④⑤

D ．①②③

例3：如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形；

（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

课后练习:

1、若菱形的边长是它的高的2倍，则它的一个较小内角的度数是。

2、如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（） A ．20 B ．15 C ．10

D ．5

3、菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD 的面积是，对角线BD 的长是．

4、如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（）

A ．35°

B ．45°

C ．50°

D ．55°

5、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点

A D

E P C

（1）求证：AM=DM ；

（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．

第21题图

A B

八下数学每日一练：菱形的判定与性质练习题及答案_2020年单选题版

八下数学每日一练：菱形的判定与性质练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_四边形_菱形的判定与性质练习题 ~~第1题~~ (2019西湖.八下期末) 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若∠BAC ＝30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD ＝4AG ；④△ DBF ≌△EFA ．则正确结论的序号是（） A . ①③ B . ②④ C . ①③④ D . ②③④ 考点：线段垂直平分线的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定与性质; ~~第2题~~ (2019嘉兴.八下期末) 如图，将平行四边形纸片ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，那么对于结论 :①MN ∥BC ，②MN=AM.下列说法正确的是( ) A . ①②都错 B . ①对②错 C . ①错②对 D . ①②都对考点：平行四边形的性质;菱形的判定与性质;翻折变换（折叠问题）;~~第3题~~ (2019淮安.八下期中) 下列命题是真命题的是( ) A . 四边都相等的四边形是矩形 B . 菱形的对角线相等 C . 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D . 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形考点：菱形的判定与性质;矩形的判定;正方形的判定;~~第4题~~ (2019淮安.八下期中) 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，分别取AC ，BC 边的中点D ，E ，连接DE ，作EF ∥AC 得到四边形EDAF ，它的周长记作C ；分别取EF ，BE 的中点D ， E ，连接D E ，作E F ∥EF ，得到四边形E D FF ，它的周长记作C 照此规律作下去，则C 等于( ) A . B . C . D . 111111*********

菱形的判定专项练习30题(有答案)ok

菱形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长． 4．如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）?ABCD是菱形．菱形的判定--- 1

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形． 6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作?ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）?ADFE是菱形．菱形的判定--- 2

菱形的判定导学案

菱形的判定学案班级姓名小组学习目标 1. 经过探究推理得出菱形的几种判定方法。 2.理解并掌握菱形的判定方法，会判定一个四边形是菱形。重点：掌握并会应用菱形的判定方法. 难点：菱形判定方法的应用. 导学过程一、复习引入，明确目标 1.菱形的定义和性质是什么？ 2.明确学习目标； 3.想一想：由菱形定义可知判定菱形的一种方法：。符号语言∵ ∴ 二、自主学习、探究新知请同学们探究下列问题：探究1. 菱形的四条边都相等.反过来，四条边都相等是四边形是菱形吗？已知：四边形ABCD，AB=BC=CD=DA, 求证：四边形ABCD是菱形。（用菱形的定义证明）符号语言∵ ∴ 判定方法1：四边的四边形．．．是菱形．探究2. 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形? 于是抽象出一个数学问题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？已知：ABCD，对角线AC、BD互相垂直。求证：ABCD是菱形．符号语言∵ ∴ 判定方法2：对角线的平行四边形．．．．．是菱形

三、应用新知、大胆展示 1、如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是菱形. 2、如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD是菱形. 3、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

四、归纳整理、自我反思菱形常用的判定方法有哪些？五、当堂检测、目标达成 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心， AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个菱形。理由是. 6、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 7、如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．

菱形的判定(教学设计)

菱形的判定一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法. 二、教学重点:菱形判定方法的探究. 三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用. 四、教学过程: 活动1、引入新课，激发兴趣 1、复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补；性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 2、导入 (1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？根据菱形的定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法【问题牵引】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？

学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？学生用几何语言表示命题如下：已知：在□ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，求证：□ABCD 是菱形。分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO ，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO ，得ΔAOB ≌ΔAOD ，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD 是菱形。【归纳定理】通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1): 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。活动3、菱形第二个判定方法的应用例3 如图，如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：□ABCD 是菱形。思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO 是一个三角形，?而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论? 学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。 O D C B A

菱形综合应用题

菱形综合应用出题人：LJ 知能点1 菱形的定义与性质 1．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________． 2．已知菱形的周长为20cm，则菱形的边长为_________． 3．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（）． A．对角相等且互补B．对角线互相平分 C．一组对边平等，另一组对边相等; D．对角线互相垂直 4．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF． 5．如图所示，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求：（1）对角线AC的长度;（2）菱形ABCD的面积． 6．如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB?交AC于点F，求证：AD⊥EF．

知能点2 菱形的判定 7．下列命题不正确的是（）． A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形 B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 8．如图所示，能说明四边形ABCD是菱形的有（）． ①BD⊥AC ②OA=OC，OB=OD，AB=BC ③AC=BD ④AB∥CD，AB=BC A．①B．①②C．②D．③④ 9．能判定一个四边形是菱形的条件是（）． A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等; D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角10．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC?分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？ 13．如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥?AC于F，EM⊥AC 于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形吗？说明你的理由． 14．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB?于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．

矩形、菱形的判定

22．3（3）矩形、菱形的判定教学目标 1．经历从特殊的平行四边形的性质逆向探索特殊的平行四边形判定方法的过程，掌握矩形、菱形的常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算． 2．通过矩形、菱形判定的探索过程，积累数学活动的经验，提高合情推理能力；结合性质和判定定理以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力．教学重点及难点掌握矩形、菱形的判定，知道它们之间的关系以及与平行四边形的关系．进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力．教学用具准备课件教学过程设计一、温故知新 1．平行四边形的判定 (5个方法) 2．矩形、菱形的性质复习——有别于平行四边形的特殊性质： [及矩形、菱形作为特殊的平行四边形的特殊性质回顾；便于本节课的顺利开展．二、矩形、菱形的判定探讨思考：如何从矩形、菱形特殊的性质出发，得出矩形、菱形的判定？定义可以作为第一条判定：即：有一个角是直角的平行四边形是矩形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． [说明] 定义是作为判定的第一依据，因此，所有的定义都可以作为第一个判定方法．其他方法呢？ “1）从边；2）从角；3）从对角线”的角度考虑． 1．矩形： ——矩形的特殊性在于直角和对角线不妨给出关于矩形判定的命题：（讨论、交流）比如：四个角是直角的四边形是矩形．

三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．…… 分析上述给出的命题，证明讨论；得出矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形． 2．菱形： ——类似矩形进行讨论．并得出菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形． [说明]作为特殊的平行四边形，矩形、菱形在角、边、对角线方面都有特殊的性质．因此，引导学生不妨就从其特殊性开始考虑．矩形详加探究之后，对应得到菱形的判定方法． 3．总结矩形菱形的判定形出发作一总结；上课时，借助PPT ，缓缓放出本课结论，有不错的效果．三、定理运用， 1．例题选讲例1：如图：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E,F,G,H 分别在AO,BO,CO,DO 上，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH 是矩形. 分析：首先，矩形的判定方法有哪些？其次，本题可以用哪种方法？过程说理. 例2：已知如图：EF 是□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线，EF 与边AD,BC 分别交于点E,F. 求证：四边形AECF 是菱形 O H G F E D C B A O E D A

菱形复习中难题含答案

菱形复习中难题含答案 1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2．菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形 3．菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半（★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数为．【答案】50°、130°、50°、130°．（★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．

F E D C B A 【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°．（★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是．【答案】4．（★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D C B A （★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是．答案：120°．（★★★）1．菱形的对称轴共有条．【答案】2．

2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5．（★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）下列命题错误的有（填写序号）． ①菱形四个角都相等． ②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形． ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形． ④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．【答案】①②③．（★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（） A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形【答案】C （★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形．（2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形．（3）用两个全等的直角三角形拼成的是形．【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形．（★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．

教师几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 - 副本

特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］ 1. 理解矩形、菱形的定义与性质。 2. 掌握矩形、菱形的判定方法。二. 重点、难点： 1. 矩形、菱形性质的综合应用。特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。 2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。三. 知识要点： 1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（2）矩形的特殊性质 ①矩形的对角线相等 ②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用 ①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形； ②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形； ③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决； ④矩形的面积计算公式：宽长矩形?=S （4）矩形的判定条件 ①有三个角是直角的四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形注意： 1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。 2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。）

3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。 4）矩形的判定与性质的区别 2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（2）菱形的特殊性质 ①菱形的四条边都相等 ②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。两条对角线的乘积菱形 S 的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？（4）菱形的判定条件 ①四边都相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. 等边三角形和圆 B. 等边三角形、矩形、菱形 C. 菱形、矩形和圆 D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A 、B 、D ，只选C 了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C 。例2. 如图，过□ABCD 的对角线的交点O 作两条互相垂直的直线EF 、GH 、分别与□ABCD 的四条边交于E 、F 和G 、H ，求证EGFH 为菱形。

菱形的判定方法的应用

菱形的判定方法的应用(1) 菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。一、四条边都相等的四边形是菱形例1（08年，郴州）如图1，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．分析：翻折就是对称，也就是全等。解：四边形ABCD 为菱形。理由是：由翻折，得：△ABC ≌△DBC ．所以，,AC CD AB BD == 因为，△ABC 为等腰三角形，所以，AB AC = 所以，AC ＝CD ＝AB ＝BD ，故，四边形ABCD 为菱形点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。二、有一组临边相等的平行四边形是菱形例2（08年，永州）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．分析：在四边形EFCD 中，由题意我们知道有一组临边ED 和CD 相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。（1）证明： ABC Q △与CDE △都是等边三角形 ED CD ∴= 60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=o AB CD DE CF ∴∥，∥ 又Q EF AB ∥ ∴EF ∥CD ，四边形EFCD 是平行四边形， ∴平行四边形EFCD 是菱形。（2）解：连结DF ，与CE 相交于点G 由4CD =，可知2CG = ∴224223DG =-= 43DF ∴= 点评：观察是解答问题的途径和窗口。三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线 C A B D 图1

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形重、难点知识点睛中考要求

的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度．图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于． E F D B C A 例题精讲

矩形、正方形和菱形的判定方法

,、考点分析: 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。二、教学目标： 1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法三、教学内容正方形巩固练习例题1如图,正方形ABCD 勺边长为12,点E 是BC 上的一点，BE=5,点F 是BD 上一动点?（ 1） AF 与FC 相等吗？试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ,试求 y 的最小值，并说明点F 此时的位置. 【解】（1） AF 与FC 相等,其理由如下：可证：△ ABF ^△ CBF 二 AF=CF （2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置此时y 有最小值,最小值为.122 52 =13. 例题2 如图，正方形ABCD 中, P 是对角线AC 上一动点，PEIAB PF ⊥ BC 垂足分别为 E 、F 小红同学发现：PD ⊥ EF ,且PD=EF 且矩形 PEBF 的周长不变?不知小红的发现是否正确，请说说你的看法. 【解】小红的发现是正确，其理由如下： D 第28题图

连接BP,延长DP交EF于Q. （1）：四边形ABCD是正方形 ??? CB=CD∠ BCP∠ DCP=45 ???△ BCP^△DCP ??? PD=PB 又???PEIAB PF⊥ BC， ???∠ BEP=/ BFP=Z EBF=90 ,二四边形BEPF是矩形

???PB=EF,??? PD=EF (2)：PEIAB PF⊥ BC ???△ AEP^n△ CFP^均为等腰直角三角形 ??? AE=PE,CF=PF ???矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值) (3)：PF// CD ???∠ FPQ∠ PDC ???△ BCP^△ DCP ?∠PDC∠ PBF ???四边形PEBF是矩形,?∠PBF=/ PEF ?∠PEF=Z FPQ 又τ∠ PEF+∠ PFE=90 , ?∠ FPQ∠ PFE=90 ?∠PQF=90 ,??? PDL EF. 【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形 ?可证△ PEF^△ RDF ?∠PEF=Z PDR 又τ∠ DPR∠ EPQ 而∠ PDR∠ DPR=90 ,?∠ PEF+∠ EPQ=90 ?∠EQP=90°,??? PD L EF. 课堂练习1如图1,在边长为5的正方形 ABCD 中，点E、F分别是 BC 、 DC 边上的点，且AE — EF, BE =2 (1)如图2 ,延长EF交正方形外角平分线CP于点P ,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； (2)在图2的AB边上是否存在一点M ,使得四边形DMEP是平行四边形? 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由? 梯形图1 图2

《菱形的判定》教案

19.2. 2 菱形的判定备课人：王芳备课时间：2013/05/16 一、教学内容分析：菱形是一种特殊的平行四边形，比平行四边行多了“一组邻边相等”，因此判定可以在四边形或平行四边形的基础上再补充条件。教学时要注意几种图形的区别。二、教学目标：（一）知识与技能：理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算。（二）过程与方法：经历探究菱形判定条件的过程,探索掌握菱形的判定方法。（三）情感态度与价值观：在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。三、重点、难点： 1．教学重点：菱形的两个判定方法。 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用。四、教具准备：多媒体课件；圆规；三角板。五、教学过程：（一）温故知新：想一想：菱形的定义及其性质？（让学生回忆并说出菱形的定义及其性质，教师同时播放课件）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：1.菱形的两组对边分别平行；菱形的四条边都相等。 2.菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补。 3.菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。思考：如果一个四边形是平行四边形，那么只要再添加一个什么条件，就可以判定它就是一个菱形？根据什么？师板书：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（教师明确指出：菱形的定义具有两重性，既是菱形的性质，又可以作为菱形的一种判定方法）教师强调菱形定义中的两个条件，并让学生明白自己已学过菱形的一种判定方法，为学习另外两种判定方法做准备。

（二）操作探究，发现新知： 1．从“对角线”的角度探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。（教师再利用多媒体进行演示对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一结论）教师利用多媒体出示探究一：一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。然后教师提问：“这个四边形是什么四边形？转动木条，你有什么发现？”引导学生观察，得出结论。教师出示命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。师：你会证明吗？如何证明一个文字命题呢？教师叙述一般过程：第一：根据题意，画出图形。第二：分清命题的题设和结论，结合图形，写出已知和求证。第三：写出证明过程（有时需要写依据）。第四：归纳结论。师生活动：鼓励学生独立思考、小组交流、全班展示的方式展开探究，以合作者、参与者的身份指导学生用各种方法证明猜想。得出结论：菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 2．从“边”的角度探究：四边相等的四边形是菱形。教师利用多媒体出示探究二：先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB 交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形。（1）猜一猜，这是什么四边形？ C （2 教师出示命题2：四边相等的四边形是菱形。师：这个命题又该怎样证明呢？（教师引导学生完成证明）然后教师再利用多媒体进行演示。师生活动：鼓励学生独立思考、小组交流、全班展示的方式展开探究，以合作者、参与者的身份指导学生用各种方法证明猜想。得出结论：菱形的判定方法2：四边相等的四边形是菱形。（三）归纳新知：

菱形的判定(含答案)

菱形的判定一、选择题 1．下列四边形中不一定为菱形的是（） A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 二、填空题 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图2 5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．四、思考题 9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由． ]

2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、 BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形． 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。反思：

特色训练1922菱形的判定

菱形的判定2．2 19．一、七彩题于ACBD?交ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线．1（一题多解题）如图所示，△是菱形吗？请说明理E，四边形CDEFF，DE⊥AB于，点DCH⊥AB于H，且交BD于点由． C D F AB EH 二、知识交叉题作?的中点，过点DAB=AC，D是BC2．（科内综合题）如图所示，已知△ABC中，，，垂足分别为G，FH⊥AB，再过E，F作EG⊥AC，⊥DEAB，DF⊥AC，垂足分别为EFA DK之间的关系．，试说明EF和，且EG，?FH相交于点KH GHK FE DBC 三、实际应用题．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所3 AB，?，CD，DA分别是边的长方形的瓷砖，20cmE，F，G，HBC示是一块长30cm，宽的墙壁准备2.8m?4.2m，宽的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长贴这种瓷砖，试问：DAG）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（1 HF ）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少（2 其中有花纹的菱形有多少个？个面积相等的菱形？?BCE 四、经典中考题5 共页第1 页 4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF；（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角

形．五、探究学习篇 1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问题，并加以说明． 2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC的平分线BF与AD相交于点F，AE?与BF?相交于点O，?求证：?四边形ABEF 是菱形．证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以第2 页共5 页

初三数学-菱形的判定

初三数学菱形的判定、教学目标: 1、掌握菱形的判定方法。 2、能运用菱形的判定方法解决有关冋题。二、教学重点：熟练掌握菱形的判定方法教学难点：能运用菱形的判定方法解决有关问题。三、教学过程 (一)复习回顾：菱形的特征 (1)_____________________ 对边_____________________，四条边都 (2)_______________ 对角。 (3)____________________ 对角线___________________________ ，对角线分别这节课我们来探索从平行四边形出发，加上什么条件可以得到菱形： (二)讲授新课 1、菱形的识别：方法一：有一组邻边______________ 的平行四边形是菱形。(定义) 几何语言：：乎BCD中，A吐 _________ 严BCD是。下面请用菱形的定义来证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 已知：如图，________________________________________ 求证：______________________________________________ 证明：方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (即：平行四边形+对角线菱形几何语言：如图??? MBCD中，丄二.ABCD 是。方法三：四条边都的四边形是菱形。几何语言：???四边形ABCD中, AB BC CD DA ???四边形ABCD是菱形。小结：判定一个图形是菱形的方法： (1) __________________________________ 平行四边形+ 菱形 (2) __________________________________ 平行四边形+ 菱形 (3) _______________________ 的四边形—菱形

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析一．选择题（共3小题） 1．已知?ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CD C．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180° 2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 二．填空题（共2小题） 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）． 5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是．三．解答题（共6小题）

6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形． 7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形． 8．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是；（2）t＝时，四边形AECF是矩形；（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形． 9．已知，如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．

菱形的判定方法的应用培训资料.doc

菱形的判定方法的应用(1) 菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。一、四条边都相等的四边形是菱形例1（08年，郴州）如图1，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．分析：翻折就是对称，也就是全等。解：四边形ABCD 为菱形。理由是：由翻折，得：△ABC ≌△DBC ．所以，,AC CD AB BD == 因为，△ABC 为等腰三角形，所以，AB AC = 所以，AC ＝CD ＝AB ＝BD ，故，四边形ABCD 为菱形点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。二、有一组临边相等的平行四边形是菱形例2（08年，永州）如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF ∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．分析：在四边形EFCD 中，由题意我们知道有一组临边ED 和CD 相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。（1）证明： ABC △与CDE △都是等边三角形 ED CD ∴= 60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠= AB CD DE CF ∴∥，∥ 又EF AB ∥ ∴EF ∥CD ，四边形EFCD 是平行四边形， ∴平行四边形EFCD 是菱形。（2）解：连结DF ，与CE 相交于点G 由4CD =，可知2CG = ∴224223DG =-= 43DF ∴= 点评：观察是解答问题的途径和窗口。三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线C A B D 图1

22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)

菱形的判定2 一、选择题 1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 2如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 3、能判定一个四边形是菱形的条件是（） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 4、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形填空 1、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________． 2、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 3、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________=＞ABCD是菱形；_________=＞ABCD是菱形

三、解答题（共11小题） 1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 2、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 3、（2007?娄底）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 4、（2011?常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形． 5、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．