数学北师大版选修1-1导学案-3-1变化的快慢与变化率

第三章 变化率与导数 §3.1变化的快慢与变化率

【学习目标】

1.知道函数的平均变化率和瞬时变化率的概念；

2.会求函数的平均变化率及瞬时变化率。

一、知识记忆与理解

【自主预习】

阅读教材P53-P 58，完成下列问题 1.平均变化率

对一般的函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为________________．通常自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作_______，函数值的变化()()12x f x f -称作函数值的改变量，记作______．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即________________．我们用它来刻画函数值在区间[]21,x x 上变化的快慢． 2.瞬时变化率

对于一般的函数)(x f y =，在自变量x 从0x 变到1x 的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)

－f (x 0)，则函数的平均变化率是 Δy Δx ＝0

101)

()(x x x f x f --＝______________

当x ?趋于0时，平均变化率就趋于函数在0x 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是__________________________．

3.求函数()x f y =在[]21,x x 上的平均变化率的方法步骤是：

（1）计算x ?.求出_____________；

（2）计算y ?.求出_____________； （3）计算变化率，求出_____________的值。 【预习检测】

1.如图，函数()x f y =在A ，B 两点间的平均变化率是________________。

2.已知函数12

-=x x f ）

（，求自变量x 在以下的变化过程中，函数值的平均变化率：

（1）自变量x 从1变到1.1； （2）自变量x 从1变到1.01；

（3）估计当1=x 时，函数的瞬时变化率。

二、思维探究与创新

【问题探究】 1.求平均变化率

探究一：求函数23)(2

+==x x f y 在区间

[0x ，x x ?+0]上的平均变化率，并求20=x ，

x ?＝0.1时平均变化率的值。

整理

反思

变式训练1：已知函数x x x f +=2

)(，计算

()x f 在区间[0x ，x x ?+0]上的平均变化率，

并求20=x ，x ?＝0.1时平均变化率的值。

2. 求函数的瞬时变化率

探究二: 通过平均变化率估计函数

232

-=x y 在下列各点的瞬时变化率：

（1）1=x ;（2）2=x ; （3）0=x 。

变式训练2:函数21

2+=x

y 在1=x 处的瞬时

变化率。

【总结归纳】

1.求瞬时变化率时首先要明确求那个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率;

2.瞬时速度是平均速度在时间改变量趋向于零时，平均速度逼近的值。

三、技能应用与拓展 【当堂检测】

1.已知函数1)(2

+=x x f ，则在2=x ，x ?＝

0.1时，y ?的值为( ) A.0.40 B ．0.41 C.0.43 D ．0.44

2.一个物体的运动方程为t s -=1，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A ．1米/秒 B ．－1米/秒 C ．2米/秒 D ．－2米/秒

3．一物体的运动方程是2

3t s +=，则在一小段时间[]1.2,2内相应的平均速度为________．

4.求函数122

+=x y 在区间[0x ，x x ?+0]上的平均变化率。

【拓展延伸】

若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.

整理 反思