第1章坐标系 (2)
阶段一阶段二
阶
段
三
学
业
分
层
测
评2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.
2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)
3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)
[基础·初探]
教材整理 极坐标与直角坐标的互化 1.互化的前提条件
把直角坐标系的原点作为 ，x 轴的正半轴作 为 ，并在两种坐标系中取相同的 ，
如图1-2-3所示
.
图1-2-3
极点极轴长度单位
2.互化公式
设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(á，?)(á≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
点M 直角坐标(x ，y )
极坐标(á，?) 互化公式
x ＝ácos ?，
y ＝ásin ?
á2
＝x 2
＋y 2
tan ?＝y
x (x ≠0)
在一般情况下，由tan ?确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角.
把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.
(1)
2，à6________；(2)
1，3 ________；
(3)(0,2)
________；(4)
4，－à
3
________.
【解析】 (1)x ＝2cos à6＝3，y ＝2sin à
6＝1，∴直角坐标为(3，1).
(2)á＝1＋3＝2，tan ?＝3，∴?＝à
3，∴极坐标为 2，à3.
(3)(0,2)在y 轴上，∴á＝2，?＝à
2，∴极坐标为 2，à2.
(4)x ＝4cos －à3＝2，y ＝4sin
－à3＝－2
3.
∴直角坐标为(2，－23).
【答案】 (1)(3，1)
(2) 2，à
3 (3)
2，à
2(4)(2，－23)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________
[小组合作型] 化极坐标为直角坐标
分别把下列点的极坐标化为直角坐标.
【精彩点拨】点的极坐标 á，? ―→
x＝ácos ?，y＝ásin ?―→点的直角坐标 x，y
【自主解答】 (1)∵x ＝ácos ?＝3cos à
2＝0， y ＝ásin ?＝3sin à
2＝3.
∴点的极坐标
3，à
2化为直角坐标为(0,3).
(2)∵x ＝ácos ?＝4cos 2 à
3＝－2， y ＝ásin ?＝4sin 2 à
3＝2 3.
∴点的极坐标
4，2 à
3化为直角坐标为(－2,2
3).
(3)∵cos à
12＝ 1＋cos à6
2＝ 1＋3
22＝6＋2
4
， sin à12＝
1－cos à
6
2＝ 1－3
22＝6－2
4
， ∴x ＝ácos ?＝4cos －à12＝4cos à
12＝
6＋2， y ＝ásin ?＝4sin
－à12＝－4sin à
12＝
2－ 6.
∴点的极坐标
4，－à12化为直角坐标为(
2＋6，2－6).
1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同.
2.将点的极坐标(á，?)化为点的直角坐标(x，y)时，要求角?的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.
[再练一题]
1.把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限.
(1) 2，4 à3；(2) 2，23à；(3)
2，－à
3；(4)(2，－2).
【解】 (1)由题意知x ＝2cos 4 à3＝2× －12＝－1，y ＝2sin 4 à3＝2×
－32＝
－ 3.
∴点
2，4 à
3的直角坐标为(－1，－
3)，是第三象限内的点.
(2)x ＝2cos 23à＝－1，y ＝2sin 23à＝3，
∴点
2，23à的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点.
(3)x ＝2cos －à3＝1，y ＝2sin
－à3＝－
3，
∴点
2，－à
3的直角坐标为(1，－
3)，是第四象限内的点.
(4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2.
∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点.
直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定á≥0,0≤?<2 à).
(1)(0,0)；(2)(－1，－1)；(3)
3 à2，3 à2.
【精彩点拨】 直角坐标 x ，y ――――――→á＝x 2＋y 2
tan ?＝y x x ≠0 极坐标
á，?
【自主解答】 (1)由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以限定
á≥0,0≤?<2 à时，其极坐标为(0，?).
(2)∵á＝x 2
＋y 2
＝ －1 2
＋ －1 2
＝2，tan ?＝y
x ＝1，?∈[0,2 à).
由于点(－1，－1)在第三象限，所以?＝5 à4.
∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为
2，5 à4.
(3)∵á＝x 2＋y 2
＝
3 à22＋
3 à22＝32 à2
，tan ?＝y
x ＝1，?∈[0,2 à). 由于点
3 à2，3 à2在第一象限，所以
?
＝à
4. ∴点的直角坐标 3 à2，3 à2化为极坐标为
32 à2，à4.
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(á，?)时，运用公式á＝x2＋y2，tan ?＝y x
(x≠0)即可.在[0,2 à)范围内，由tan ?＝y
x(x≠0)求?时，要根据直角坐标的符号特
征判断出点所在的象限.如果允许?∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为?＋2kà，k∈Z即可.
[再练一题]
2.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(á＞0，?∈R).
(1)(－2,23)；(2)(6，－2).
【解】 (1)∵á＝x 2＋y 2＝ －2 2＋ 23 2
＝4， tan ?＝y
x ＝－3，?∈R ，由于点(－2,23)在第二象限， ∴?＝23à＋2k à，k ∈Z . ∴点(－2,2
3)化为极坐标为
4，2
3à
＋2k à，k ∈Z .