化归与转化的思想

第4讲化归与转化的思想

一、化归与转化的思想简介

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，笛卡儿誉其为“万能方法”。他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。

其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动——转化——解决”的基本思想。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。

二、解题方法指导

1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：(1)明确化归对象，即对什么问题进行转化；(2)认清化归目标，即化归到何处去；(3)把握化归方法，即如何进行化归；

2．运用化归与转化的思想解题大体上有三种途径：

(1)小者为对问题的局部进行转化。对问题的某个条件或结论作出转化；如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等。这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论；

(2)中者为命题转化，例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等。这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理不清”或“说不清”的问题变得容易判断、理解；

(3)大者为对问题整体上的转化，诸如代数、三角、几何领域之间的跨越式转化。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

4．化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

（3）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问题，各个主要元素之间的相互依存和相互联系的形式不是唯一的，而是多种多样。所以应用数学化归与转化的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们必须根据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，做到具体问题具体分析，从而寻求出有利于问题解决的化归途径和方法。

三、典型例题

例1．（2006全国卷I ）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦

C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+.求点M 的轨迹方程.

[解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(142

2

>>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122<<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2

设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0

4x 0y 0 ,得切线AB 的方程为: y=－

4x 0y 0 (x －x 0)+y 0。于是得A(1x 0，0)和B(0，4y 0)，设M(x ，y)，由O M O A O B =+得：x=1x 0，

y=4y 0，所以x

x 10=，y y 40=，代入142

020=+y x 得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2)。

[点评] 此题表面上为解析几何的试题，看似与函数无关，因此很容易想到用解析法确定椭圆切线方程的方法，这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上，联想到函数切线的几何意义以后，将问题转化到函数的导数，问题得到了大大简化。

例2．(2005年全国高中数学联赛试题第11题)若正方形ABCD 的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x 2上,则该正方形面积的最小值为_______________

[解析] 我们可以采用解析几何中的常规方法去处理,利用弦长公式与点到直线距离公式去求解。如果考虑到正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质,则不妨可以从复数角度去处理问题。

不妨设点A,B 在抛物线y=x 2上,C,D 在直线y=2x-17上

令z A =x 1+x 12i,z B =x 2+x 22i,则A B A D z z =i=-(x 22-x 12)+(x 2-x 1)i

从而z D =z A +A D z =(x 12-x 22+x 1)+(x 12-x 1+x 2)i

∵D 在直线y=2x-17上 ∴x 12-x 1+x 2=2x 12-x 22+x 1-17 ①

又∵AB//CD ∴k AB =k CD 则x 1+x 2=2 ② 联立①②解得 ???-==1x 3x 21或???-==7x 9x 2

1 ∴S 正方形=|AB|2=(x 1-x 2)2+(x 12-x 22)2=5(x 1-x 2)2=80或1280

∴S min =80

[点评] 正方形的邻边垂直且相等的特殊性质与复数的性质的相关性是我们产生联想的基础，而对知识之间联系的熟悉程度是我们能顺利化归的保证。

例3．某厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系 （ ）

A. m>N

B. m

C.m=N

D.无法确定[解析] 每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。

11a b =，且1212a b =，

比较12S 与12T 的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+

（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则12S ＞12T ，即m ＞N 。

[点评] 把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是我们所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例4．已知函数f (x )=ln(l+x ) - ax .

（1）若函数f (x )在（0，+∞）上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当 n ∈N +时，证明：（1+

21）（1+221）…（1+n 21）

在（0，+∞）上恒成立 .故a ≥1. （2）证明：构造函数g (x )=ln （1+x ）-x , 由（1）

知g (x )在（0，+∞）上是单调递减函数 .

又x >0，所以g (x )=ln(1+x )-x

由此得ln （1+

21）+ln(1+221)+…+ln （1+n 2

1） <=<-=+++12112121212n n lne .故)211()211)(211(2n +++

例5．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数x 的取值范围。[解

析]

243x px x p +>+- ∴2(1)430

x p x x -+-+>恒成立。 令()g p =2(1)43x p x x -+-+，则要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有 (0)0(4)0g g >??>?

3x ∴>或1x <-。[点评] 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。四、在中学数学中，应用化归与转化思想方法

解题应注意三个点

（一）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性

化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法三个要素。而设计目标是问题的关键，设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

例6．已知α,β∈(0,2π),且sin β=sin αcos(α+β)(α+β≠2

π),当tan β取最大值,求tan(α+β)的值 [解析]我们不妨将解题目标分解为(1)用α表示tan β,(2)求tan α的值,(3)求tan(α+β)的值 ∵sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin αcos(α+β)

∴sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β)

即 tan(α+β)=2tan α(产生切函数)

∴tan α+tan β=2tan α(1-tan αtan β)

即tan β=α+α=α+αtan 1tan 21tan 21tan 2 ≤221=42(此时tan α=2

2)(实现目标2) 而此时tan(α+β)=2tan α=2(实现目标3)

[点评] 解题犹如打仗，需要冲破道道难关，而盯住目标，求什么就解什么，有助于最终形成解题思维链。

（二）注意转化的等价性，保证逻辑上的正确

化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

例7．已知f(x)=ax 2-c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。

[解析] 本题典型错误是从-4≤a-c ≤-1，-1≤4a-c ≤5中解出a ，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。

其实从条件和结论相互化归的角度看，可以用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。

设f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c

∴ ???=+=+1n m 9n 4m ∴ ???

????=-=38

n 35m ∴ f(3)=)2(f 38)1(f 35+- ∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴

35≤)1(f 35≤320,38-≤)2(f 38≤3

40 ∴ -1≤f(3)≤20 [点评] 1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a ，c ，即a=31[f(2)-f(1)]，c=3

1[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。2、本题还可用线性规划知识求解。

（三）注意转化的多样性，设计合理的转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。 例8．设是边长为1的正方形所在平面上的动点，求

在什么位置时，

取得最小值。

[解析] 这是较复杂的几何问题，先考虑用解析法把问题转化

为代数问题。

如图所示，建立直角坐标系，设

，

则

求

的最小值仍较复杂，再考虑用复数法把问题转化为复数模的问题。 设

则

上式当且仅当

时取等号， 因此， 当且仅当为正方形的中心时，小值。 取最 [点评]由此题可见运用化归与转化思想去解题的能力强弱在于：1、有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型，2、有较强的化归能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了。

利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”，这就要求我们在学习数学的过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础。

五、总结提炼

1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。

3．化归与转化思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决的。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的。因此，我们不能只停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论。

六、变式训练

1．使关于x 的不等式x 63x -+-≥k 有解的实数k 的最大值是__________

2．已知,0,0,,,<+->∈c b a a R c b a 求证：042>-ac b

3．已知抛物线y 2=2x ．

（Ⅰ）设A （0,3

2），求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； （Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．

4．已知关于x 的不等式22

)1(>--x x a 的解集为A ，且A ?3． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）若a=1时，求集合A ．

5．已知a 、b 、c 分别是ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边

（1）若ABC ?面积,60,2,2

3?===?A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ?的形状．

6．已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设14

23log n n b a +=()n *∈N ，

数列{}n c 满足n n n c a b =?.

（Ⅰ）求证：数列

{}n b 成等差数列；

（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若2114

n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． [答案与提示]

1．简析:考虑到(3x -)2+(x 6-)2=3,可设x=3+3sin 2θ,θ∈[0,

2π] ∴x 63x -+-=3(cos θ+sin θ)=6sin(θ+4

π)≤6,即k max =6 2．（提示：构造二次函数c bx ax x f ++=2)(，然后利用判别式）

3．（Ⅰ）

∴≥++=+-=+-=,0,31)31(2)32()32(||22222x x x x y x PA 当x=0时，|PA|2取最小值94，∴|PA|的最小值为3

2，此时P （0，0）． （Ⅱ）|PA|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0），求|PA|2的最小值转化为求二次函数在x≥0时的最小值．

当a-1＜0?a ＜1时，当x=0时，|PA|2最小值为a 2，∴|PA|的最小值是|a|（此时P （0，0））；

当a-1≥0?a≥1时，当x=a-1时，|PA|2最小值为2a-1，

∴|PA|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±a ））．

???≥-=∴1

121||a a a a d

4．解：（1）∵A ?3，∴当3=x 时，有2)1(--x x a ≤2，即2

32-a ≤2． ∴a ≤1．即a 的取值范围是{}1|≤a a ．（2）2

5．解：（1）23sin 21==?A bc S ABC ，2

360sin 221=??∴b ，得1=b 由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=????-+=-+=A bc c b a ， 所以3=a

（2）由余弦定理得：2222

222c b a ac

b c a c a =+?-+?=，所以?=∠90C

在ABC Rt ?中，c a A =sin ，所以a c

a c

b =?=所以ABC ?是等腰直角三角形 6．解：（Ⅰ）由题意知，1()4

n n a = （n N *∈ ） ∵13log 2n n b a =-，113log 21b a =-=

∴111111

14444

3log 3log 3log 3log 3n n n n n n a b b a a q a +++-=-=== ∴数列{}n b 是首项11b =，公差3d =的等差数列，

其通项为32n b n =-（n N *∈ ）． （Ⅱ）∵1(32)()4

n n c n =-?,（n N *∈ ） ∴2311111114()7()(35)()(32)()44444

n n n S n n -=?+?+?++-?+-?, 于是14n S =2341111111()4()7()(35)()(32)()44444

n n n n +?+?+?++-?+-? 两式相减得 231131111113()()()()(32)()4444n n n n S n -+??=+++++--?????

231111111113()()()()(32)()2444444n n n n -+??=-++++++--????

?111(32)()24n n +=-+?. ∴121281()334

n n n S ++=-? （n N *∈ ） （Ⅲ）∵1111(31)()(32)()n n n n c c n n ++-=+?--? 119(1)()n n +=-?， （n N *∈ ） ∴当1n =时，2114

c c ==当2n ≥时，1n n c c +<，即n c c c c >---->>432 ∴当1n =时，n c 取最大值是14又2114

n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立 ∴211144

m m +-≥即2450m m +-≥得1m ≥或5m ≤-。