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高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》基础测试题及答案

高中数学《推理与证明》知识点归纳

一、选择题

1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】C

【解析】

【分析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.

【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：C.

【点睛】

本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.

2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.

【详解】

第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平

衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】

本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.

3．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为

ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（）

A ．71

B ．72

C ．20

D ．19

【答案】D 【解析】【分析】

先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有

()11+2+3++=

i i i +???个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，

即可得解. 【详解】

奇数2019为第1010个奇数，

由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=

i i i +???个奇数，

则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，故2019位于第45行，从右往左第20列，则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】

本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.

4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福

齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；

小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（） A ．小明 B ．小红

C ．小金

D ．小金或小明

【答案】B 【解析】【分析】

将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】

依题意，三个人制作的所有情况如下所示：

若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B. 【点睛】

本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.

5．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b >

C ．5748b b b b +<+

D ．7845b b b b ++<

【答案】C 【解析】【分析】

类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．【详解】

在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，

类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，

因为433

4857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-

32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，

所以4857b b b b +>+成立．故选：C 【点睛】

本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．

6．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（） A ．甲 B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】A 【解析】【分析】

分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】

①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；

③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；

④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】

本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．

7．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,

,,,)121n n

n n --L ，…，记该数组为

1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )

A ．

911

B ．

1011

C ．11

D ．

910

【答案】B 【解析】【分析】

设a 200在第n 组中，则

()()112002

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

?=190，再进行简单的合情推理得：a 2001010

2010111

==-+，得解．

【详解】

由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则

()()112002

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

解得：n ＝20，

即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

?=190，即a 200在第20组的第10个数，即为

1010

2010111

=-+，

a 2001011=

，故选B ．【点睛】

本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．

8．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（）

A ．30010

B ．40010

C ．50010

D ．60010

【答案】A 【解析】【分析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解【详解】

如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++???+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.

故选：A 【点睛】

本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题

9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】B 【解析】【分析】

结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】

结合题意分类讨论：

若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.

10．已知()()2739n

f n n =+?+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,

则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9

C ．36

D ．6

【答案】C 【解析】【分析】

依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】

由()(27)39n f n n =+?+，得(1)36f =，

(2)336f =?，(3)1036f =?， (4)3436f =?，由此猜想36m =.

下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即

()(27)39k f k k =+?+能被36整除；

当1n k =+时,

1[2(1)7]39k k +++?+

3(27)391823k k k +??=+?+-+??? ()

13(27)391831k k k -??=+?++-??

131k --Q 是2的倍数，

()

11831k -∴-能被36整除，

∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有

()(27)39n f n n =+?+能被36整除， m 的最大值为36.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.

11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=63

n n

+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应

的等式左边加上（） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3

C ．（k+1）3

D ．63

(1)(1)2

k k +++

【答案】B 【解析】

分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++

当1n k =+时，等式左边3

123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3

(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B

点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：

3331373152{3{94{517

L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（） A ．8 B ．9

C ．10

D ．11

【答案】B 【解析】

由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==?，43137623a a -=-==?，…，

12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得

2(422)(2)

(1)(2)2

m m m a a m m +---=

=+-

∴2

2(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+

∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数故选B

13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972

C ．3 973

D ．3 974

【答案】D 【解析】【分析】

先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12

n n +=个数，运算即可得解．

【详解】

解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()

n n +=

个数，

设第2019个数在第n 组中，

则()

()120192

120192

n n n n ?+≥???-???＜，解得n ＝64，

即第2019个数在第64组中，

则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，故选：D ．【点睛】

本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．

14．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++??

???

.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，

333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（）

A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++

B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

C ．123413341234

333x x x x y y y y z z z z +++++++++??

D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

【答案】D 【解析】【分析】

首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】

根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D. 【点睛】

该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.

15．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n

+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（）

A ．

21k + B ．

112224

k k -++ C ．1

22k -+

D ．

2122

k k -++ 【答案】D 【解析】【分析】

根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，

比较可得所求．【详解】

当n k =时，等式的左边为111111234212k k

+-+?+--，当1n k =+ 时，等式的左边为1111111

12342122122

k k k k -

+-+?+-+--++，故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是11

2122

k k -++．故选：D ．【点睛】

本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．

16．三角形的面积为1

()2

S a b c r =

++?，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）

A ．1

3V abc = B ．1

V Sh =

C ．1

()3

V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()12341

V S S S S r =

+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D 【解析】

【分析】

设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】

设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 1

（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】

本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

17．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则

121

S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为1

V V =（） A ．

164

B ．

127

C ．

D ．

【答案】B 【解析】【分析】

平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论. 【详解】

设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，

所以

BE=2,3233a a PE a ?===，所以在Rt BEH ?中

，2

233a r r a ????-=+ ? ? ? ?????

，

解得12

r =

，所以

-=，所以13r R =，根据的球的体积公式有，3

3132413427

V r V R R ππ??=== ?

??，故选：B.

【点睛】

本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.

18．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有

=?大吕黄钟太簇()2

3?大吕黄钟夹钟()2

3?太簇黄钟夹钟数列{}n a 中，k a =（）

A ．11n k n n a a --+?

B ．11n k n n a a --+?

C ．111n k k n a a ---?

D ．111k n k n a a ---?【答案】C 【解析】【分析】

根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，

因为1

1n n a a q -=，所以1

a q a - 所以1

111=k n

k a

a a a

--? ?

11=k n n a a a --?? ???

=n k k n n n

a a ----?111=n k k n a a ---?

故选：C. 【点睛】

本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.

19．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙

【答案】A

【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.

20．观察下列各式：2x y ?=，224x y ?=，339x y ?=，4417x y ?=，

5531x y ?=，6654x y ?=，7792x y ?=，L ，根据以上规律，则1010x y ?=（）

A ．255

B ．419

C ．414

D ．253

【答案】B 【解析】【分析】

每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算．【详解】

以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数

列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()

3,n n ≥∈N ，

则876854928154a a a =++=++=，

9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．

故选：B ．【点睛】

本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．