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2015湖北理科数学试题及标准答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A

【解析】60741513i i i i ?=?=-，共轭复数为i ，故选A ．

【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B

【解析】依题意，这批米内夹谷约为28

1534169254

?=石，故选B ．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式

系数和为（）（A ）122

（B ）112 （C ）102 （D ）92

【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x +

中奇数项的二项式系数和为1091

222

?=，故选D ．

【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．

（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，2

(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）

（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤

（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C

【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到

()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，

结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．

（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；

q ：222222

21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++

+=+++，则（）（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A

【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()1

3n n a

q n a -=≥且0n a ≠；

对命题q ，①当时，成立；

②当时，根据柯西不等式，等式成

立，则

，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A ．

0=n a 22222

212

12312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++

+=++

+0≠n a 22

222

21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++

n a a a a a a 132

21-=???==12,,,n a a a

（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，

则（）

（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，

由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??==??-

sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >??

===-??-

，故选B ．

（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1

x y +≥

”的概率，2p 为事件“1

||2x y -≤

”的概率，3p 为事件“12

xy ≤”的概率，则（）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B

【解析】因为[],0,1x y ∈，

对事件“1

2x y -≥

”如图（1）阴影部分1S ，对事件“1

2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，

对事件“1

xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111?=，根据几何概型公式可

得231p p p <<，故选B ．

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面

积的大小即可比较大小．

（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >

个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）

（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D

【解析】依题意，1e =

2e ==

因为()()()

m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22

b b m a a m +????< ? ?+????

，所以12e e <；

当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22

b b m a a m +????

> ? ?+????

，所以12e e >．

所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，

定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则

B ⊕中元素的个数为（）

（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30

【答案】C

【解析】因为集合(){}

2,1,,A x y x

y x y =

+≤∈Z ，

所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合

12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D

中的整点（除去四个顶点），即77445?-=个，故选C ．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重

复的元素．

（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．

若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．

，则正整数n 的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

【答案】B

【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由4

3t ??=??得445t ≤<，可得22t ≤<所以22t ≤<

由3[]3t =得334t ≤<，所以56t ≤<5

5t ??=??

得556t ≤<，与56t ≤

【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．

二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）

（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ?= ．【答案】9

【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()

239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ?=?+=+?===．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．

（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π

()4cos cos()2sin |ln(1)|22

x f x x x x =---+的零点个

数为．【答案】2

【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ??

=----=+--+=-+ ???

，

所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，

所以函数()f x 由2个零点．

【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．

（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处

时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．

【答案】【解析】依题意，30BAC ∠=?，105ABC ∠=?，在ABC ?中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=?，

所以45ACB ∠=?，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC

??，即300BC =m ，在Rt BCD ?中，

因为30CBD ∠=?，BC =，所以tan30

CD BC ?==

，所以CD =m ．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通

过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．

（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的

上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NB

=； ②

2NB MA NA

=；

③

NB MA NA

其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）(

)(2

12x y -+=；

（2）①②③ 【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =

，所以r =

，所以圆心(C ，

故圆的标准方程为(

)(2

12x y -+=．

（2）解法一：联立方程组(

)(2

12x x y =??

?-+-=??

，

解得01x y =???=??

或0

x y =???=??，因为B 在A 的上方，

所以()1A

，()

1B ，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，

所以MA =

2MB =

2NA =-

NB =

1NA NB

，

1MA MB

=，

所以NA MA NB MB =

所以)

112NB MA NA

=，

)

11NB MA NA

解法二：

因为圆心(C

，(E ∴，

又2AB =，且E 为AB 中点，

∴()1A

，()

1B ，

M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，

NA ∴

NB ∴

NA NB

∴

=，同理

1MA MB

=-．所以NA

MA NB

=，

所以

)

112NB MA NA MB -=+-

=，

)

11NB MA NA

正确结论的序号是①②③．

【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积

累，属于难题．

（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框

用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15

，

5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的

割线，且3BC PB =，则AB

=_______．

【答案】

【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =?=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ??∽，所以1

AB PB AC PA ==．【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为

1,1x t t

y t t ?=-???

?=+

( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．

【答案】【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t t

y t t ?

=-????=+

，消去t

得224y x -=，联立方程组2234y x y x =??-=?，

解得2x y ?=????=??

2x y ?=????=??，

即A ??

，B ? ??，

由两点间的距离公式得AB =．【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基

础的计算题．

三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ω?=+π

(0,||)2

ω?><在某一个周期

（1．．．．．．．．．．．

（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图

象的一个对称中心为5π

(,0)12

，求θ的最小值．

解：（1）根据表中已知数据，解得π

5,2,

A ω?===-．数据补全如下表：

且函数表达式为π

()5sin(2)6f x x =-．

（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π

()5s i n (22)6

g x x θ=+-

．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．

由于函数()y g x =的图象关于点5π

(,0)12

成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6

．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ω?=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律的

应用，属于基本知识的考查．

（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已

知11b a =，22b =，q d =，10100S =．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）当1d >时，记n n n

c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=??=?，即1129202a d a d +=??=?，得112a d =??=?或1929a d =???=??，故1

212n n n a n b -=-???=??或()112799299n n n a n b -?=+??

????= ?????

．（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故121

n n n c --=，

于是234

1357921122222n n n T --=+++++ ① 234511357921

2222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n

n n T --+=++++++-=-，故123

n n n T -+=-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有

一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作 EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．

（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直

角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC

的值．

解：解法一：

（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，

所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ?平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，

所以DE PC ⊥．而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ?平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．

由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以

PD DG ⊥．而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．

故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，

有BD =Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π

DPF FDB

∠=∠=,

则

πtan tan 3BD

DPF PD

=∠==, 解得λ

所以

1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

时，DC BC =

解法二：

（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角

坐标系．设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，

(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11

(0,,)22

DE =，于是

0PB DE ?=，即PB DE ⊥．又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以

PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ?=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；

由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

，则

π1

cos 32

||||BP DP BP DP λ?=

，解得λ．所以

1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

时，DC BC =

【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属

于难题．

（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛

奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时．

Z （单位：元）是一个随机变量．

（1）求Z 的分布列和均值；

（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.

x y W x y x y x y +≤??+≤?

-≥??≥≥? （1）目标函数为 10001200z x y =+．

当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+

，当

2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上

的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==?+?=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上的截

距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==?+?=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200

y x =-+，

当6,4x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 610004120010800Z z ==?+?=．

（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3

311110.30.973p p =--=-=．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析

问题解决问题的能力．

（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，

长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；

（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于

,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，

2MD DN =，且||||1DN ON ==，

所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22

0022

0()1,

1.x t y x y ?-+=??+=?? 即0022,

2.t x x t y y -=-??=-?

且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N

也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42

x y x y ==-，

代入22

001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164

x y +=

（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482OPQ S ?=??=．

②当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2l y kx m k =+≠±，由22

,416,y kx m x y =+??+=?

消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,

kx m x y =+??-=? 可得2

(,)1212m m P k k --；同理可得

2(,)1212m m Q k k -++．

由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得

2015年湖北数学高考卷理科(含答案)

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i为虚数单位，607 i的共轭．．为．．复数 A．i B．i-C．1 D．1- 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石B．169石C．338石D．1365石 3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．122B．112C．102D．92

4．设211(,)X N μσ，2 22(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤ C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 5．设12,, ,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,, ,n a a a 成等比数列； q ：22 222 2 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=+++，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 6．已知符号函数1,0, sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??-，则 A ．sgn[()]sgn g x x = B ．sgn[()]sgn g x x =- C ．sgn[()]sgn[()]g x f x = D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12 x y +≥”的概率，2p 为事件“1 ||2x y -≤”的概率，3p 为事件“1 2 xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p << 8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12 121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则 A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 第4题图

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题 1．已知复数∈+=a ai z (21R ），i z 212-=，若2 1 z z 为纯虚数，则=||1z （） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】由于 ()()()5 422521221221i a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，故选择D. 考点：复数的概念，复数的代数运算，复数的模 2．如图给出的是计算11112462014 ++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（） A ．2013≤i B ．2015≤i C ．2017≤i D ．2019≤i 【答案】B 【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B. 考点：算法，程序框图 3．设2 2 4a x dx π ππ-? ?=+ ????，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是（） A ．192- B ．193 C ．6- D ．7 【答案】A 【解析】由于()2 2222 22 2 cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx x π ππππππππ- --- ? ?=+=-=== ???? ?? 则6( 含2x 项的系数为192)1(25 16-=-C ，故选择A.

考点：定积分，二项式定理 4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（） A ． 314 B ．4 C ．3 10 D ．3 【答案】B 【解析】几何体如图，体积为：422 1 3=?，故选择B 考点：三视图，几何体的体积 5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也非必要条件【答案】D 【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a 0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故选择D 考点：充要条件 6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（） A ．若03>a ，则02013a ，则02014 a ，则02013>S