【免费下载】第二章 线性方程组数值解法

第二章 线性方程组数值解法A 直接方法1. 考虑方程组：

???????-=+++=+++=+++=+++;2557.03927.02786.04002.01784.0;4240.00643.03781.01920.03645.0;1550.01129.04015.03872.02246.0;4043.02943.03678.01234.04096.04321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (a)用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），(b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。2. (a) 设A 是对称阵且011≠a ，经过高斯消去法一步后，A 约化为??????21110A a a T 证明A 2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组：

?????-=++-=++=-+.8621.02147.14759.08468.0;7321.14759.08423.13475.0;4127.08468.03475.06428.0321321321x x x x x x x x x 4. 设A 为n 阶非奇异矩阵且有分解式A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，求证A 的所有顺序主子式均不为零。5. 由高斯消去法说明当)1,,2,1(0-=≠?n i i 时，则A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。

6. 设A 为n 阶矩阵，如果),,,2,1(||||1n i a a n i j j ij ii =>∑≠=称A 为对角优势阵。证明：若A

是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式??????21110A a a T 。7. 设A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为??????21110A a a T ，其中;)(,)(1)2(2-==n ij n ij a A a A 证明 （1）A 的对角元素);,,2,1(0n i a ii =>（2）A 2是对称正定矩阵；（3）);,,2,1(,)(n i a a ii n n =≤（4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上；（5）|;|max ||max ,2)2(,2ij n j i ij n j i a a ≤≤≤≤≤（6）从（2），（3），（5）推出，如果1||

.1||)(,时，ij k ij k I L I L =~也是一个指标为k 的初等下三角阵，其中ij I 为初等排列阵。9. 试推导矩阵A 的Crout 分解A=LU 的计算公式，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。10. 设d Ux =，其中U 为三角矩阵。(a) 就U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。(b) 计算解三角形方程组d Ux =的乘除法次数。(c) 设U 为非奇异阵，试推导求1-U 的计算公式。11. 证明（a ）如果A 是对称正定阵，则1-A 也是正定阵；（b ）如果A 是对称正定阵，则A 可唯一写成L L A T

=,其中L 是具有正对角元的下三角阵。12. 用高斯－约当方法求A 的逆阵：?????

???????-----=510

1242170131312A 13. 用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中

????????????????=????????????????--------=00001,21000

12100

012100012100012b A 14. 用改进的平方根法解方程组.654131*********??????????=????????????????????---x x x 15. 下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？.461561552621,133122111,764142321????

??????=??????????=??????????=C B A 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

??????????=????????????????????-321212111430321x x x .17. 如果方阵A 有)|(|0t j i a ij >-=，则称A 为带宽2t+1的带状矩阵，设A 满足三角分解条件，试推导LU A =的计算公式，对.,,2,1n r =1）∑--=-=1),1max(r t i k ki rk ri ri u l a u )),min(,,1,(t r n r r i ++= ；2）rr r t i k kr ik ir ir u u l a l /)(1),1max(∑--=-= )),min(,,1(t r n r i ++= .18. 设??????=3.01.05.06.0A ，计算A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。19. 求证(a) ∞∞≤≤||||||||||||1x n x x ，(b) F F A c A A n ||||||||||||1

22≤≤。20. 设 n n R P ?∈且非奇异，又设||||x 为n R 上一向量范数，定义||||||||Px x p =。试证明p x ||||是n R 上的一种向量范数。21. 设n n R A ?∈为对称正定阵，定义2/1),(||||x Ax x A =，试证明A x ||||为n R 上向量的一种范数。22. 设T n n x x x x R x ),,(,21 =∈，求证∞≤≤=∞→==∑||||max )||||(lim 11/1x x x n i i n i p p i y 。23. 证明：当且尽当x 和y 线性相关且0≤y x T 时，才有222||||||||||||y x y x +=+。

24. 分别描述2R 中（画图）),2,1(},,1|||||{2∞=∈==v R x x x S v v 。

25. 令?是n R （或n C ）上的任意一种范数，而P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数||||||||Px x ='，证明||||||||1-='PAP A 。26. 设t s A A ||||,||||为n n R ?上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数0,21>c c ，使对一切n n R A ?∈满足s t s A c A A c ||||||||||||21≤≤27. 设n n R A ?∈，求证A A T 与T AA 特征值相等，即求证)()(T

T AA A A λλ=。

28. 设A 为非奇异矩阵，求证

∞∞≠∞-=||||||||min ||||1

01y A A y 。29. 设A 为非奇异矩阵，且1||||||||1<-A A δ，求证1)(-+A A δ存在且有估计.||||||||)(1||||||||)(||||||)(||111A A A cond A A A cond A A A A δδδ-≤+----30. 矩阵第一行乘以一数，成为??????=112λλA 。证明当32±=λ时，∞)(A cond 有最小值。31. 设A 为对称正定矩阵，且其分解为W W LDL A T T ==，其中T L D W 2/1=，求证(a) ;])([)(222ωcond A cond =(b) .)()()(222ωωcond cond A cond T =32. 设??????=989999100A 计算A 的条件数。),2()(∞=v A cond v 33. 证明：如果A 是正交阵，则1)(2=A cond 。34. 设n n R B A ?∈,且?为上矩阵的算子范数，证明)()()(B cond A cond AB cond ≤。B 迭代法1. 设方程组

?????=+-=++--=++3103220241225321321321x x x x x x x x x (a)考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;(b)用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当4)()1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代终止．

2. 设??????=0200A , 证明:即使1||||||||1>=∞A A 级数 +++++k A A A I 2也收敛．

3. 证明对于任意选择的A, 序列 ,!41,!31,21,,432A A A A I 收敛于零．

４. 设方程组

???=+=+;;22221211212111b x a x a b x a x a );0,(1211≠a a 迭代公式为 ???????-=-=--);(1);(1)1(121222)(2)1(212111)(1k k k k x a b a x x a b a x ).,2,1( =k 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列}{)(k x 收敛的充要条件是.122112112<=a a a a r 5. 设方程组(a) ?????=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x

(b) ?????=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。6. 求证A A k k =∞→lim 的充要条件是对任何向量x ，都有.lim Ax x A k k =∞→7. 设b Ax =，其中A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。8. 设方程组???????????=+--=+--=--=--.214141;214141;214141;214141421321432431x x x x x x x x x x x x (a)求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵0B 的谱半径；(b)求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；(c)考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。9. 用SOR 方法解方程组（分别取松弛因子1.1,1,03.1===ωωω）?????-=+-=-+-=-.34;44;143232121x x x x x x x 精确解,)21,1,21(T x -=*要求当6)(105||||-∞*?<-k x x 时迭代终止，并且对每一个

ω值确定迭代次数。10. 用SOR 方法解方程组（取ω＝0.9），制定设备调试高中资料试卷方案。

?????=+-=++--=++.31032;2024;1225321321321x x x x x x x x x 要求当4)()1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代终止。11. 设有方程组b Ax =，其中A 为对称正定阵，迭代公式),()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω ),2,1,0( =k 试证明当

βω20<<时上述迭代法收敛（其中βλα≤≤<)(0A ）。12. 用高斯－塞德尔方法解b Ax =，用)1(+k i x 记)1(+k x 的第i 个分量，且∑∑=-=++--=n i j k i ij i j k j ij i k i

x a x a b r )(11)1()1(。(a)证明 i k i k i k i a r x x )1()()1(+++=；(b)如果*-=x x k k )()(ε

，其中*x 是方程组的精确解，求证：ii k i k i k i a r )1()()1(++-=εε其中 ∑∑=-=++-=n i j k i ij i j k j ij k i a a r )(11)1()1(εε。(c)设A 是对称的，二次型

),()()()()(k k k A Q εεε=证明 ∑=++-=-n j jj k j k k a r Q Q 12)1()()1()()()(εε。(d)由此推出，如果A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始

向量)0(x 是收敛的，则A 是正定阵。13. 设A 与B 为n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组,,221121b Az Bz b Bz Az =+=+其中n R d d z z ∈2121,,,。(a)找出下列迭代方法收敛的充要条件);0(,)(12)1(2)(21)1(1≥-=-=++m Bz b Az Bz b Az m m m m (b)找出下列迭代方法收敛的充要条件);0(,)1(12)1(2)(21)1(1≥-=-=+++m Bz b Az Bz b Az m m m m 比较两个方法的收敛速度。

14. 证明矩阵????

??????=111a a a a a a A 对于121<<-a 是正定的，而雅可比迭代只对2121<<-a 是收敛的。

15. 设

????????????--=7030121340203215A ，试说明A 为可约矩阵。16. 给定迭代过程，g Cx x k k +=+)()1(，其中),2,1,0( =∈?k R C n n ，试证明：如果C 的特征值),2,1(0)( ==i C i λ，则迭代过程最多迭代n 次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR 迭代法的框图。18. 设A 为不可约弱对角优势阵且10≤<ω，求证：解b Ax =的SOR 方法收敛。19. 设b Ax =，其中A 为非奇异阵。(a) 求证A A T 为对称正定阵；

(b) 求证222))(()(A cond A A cond T =。