S7-1200PLC编程与应用第三版_廖常初_课后习题答案
《S7-1200 PLC编程及应用》第 3 版习题答案 V2.0习题答案 V2.0 由本文件和14 个项目文件组成，几乎包含全部习题的答案。
第1 章
1．填空
1） CPU 1214C 最多可以扩展 _8_个信号模块、_3 个通信模块。信号模块安装在CPU 的右边，通信模块安装在CPU的左边。
2）CPU 1214C 有集成的14 点数字量输入、10 点数字量输出、2点模拟量输入， 6 点高速输出、4点高速输入。
3
）模拟量输入模块输入的-10 +10V
电压转换后对应的数字为
-27648
～
27648
。～
2． S7-1200的硬件主要由哪些部件组成？
答：主要由CPU模块、信号板、信号模块和通信模块组成。
3．信号模块是哪些模块的总称？
答：信号模块包括数字量输入模块和数字量输出模块，模拟量输入模块和模拟量输出模
块。
4．怎样设置才能在打开博途时用项目视图打开最近的项目？
答：执行菜单命令“选项”→“设置”，选中工作区左边浏览窗口的“常规”，勾选复选框“打开最近的项目” （见图 1-15）。
5．硬件组态有什么任务？
答：设备组态的任务就是在设备视图和网络视图中，生成一个与实际的硬件系统对应的虚
拟系统， PLC、HMI 和 PLC 各模块的型号、订货号和版本号，模块的安装位置和设备之间的
通信连接，都应与实际的硬件系统完全相同。此外还应设置模块的参数，即给参数赋值。
6．怎样设置保存项目的默认的文件夹？
答：执行菜单命令“选项”→“设置”，选中工作区左边浏览窗口的“常规”。选中“存储设置”区中的“默认存储位置” 。用“浏览”按钮设置保存项目和库的文件夹（见图1-15）。
7．怎样设置数字量输入点的上升沿中断功能？
答：选中设备视图或设备概览中的CPU 或有数字量输入的信号板，然后选中巡视窗口的“属性 > 常规 > 数字量输入”文件夹中的某个通道（见图 1-17）。用复选框启用通道的上升沿中
断和下降沿中断功能，设置产生中断事件时调用的硬件中断组织块。
8．怎样设置数字量输出点的替代值？答：
首先选中设备视图或设备概览中的CPU、数字量输出模块或信号板，用巡视窗口选
中“数字量输出” ，选择在 CPU 进入 STOP模式时使用替代值（见图1-18）。选中左边窗口的某个输出通道，用复选框设置其替代值。复选框内有“√”表示替代值为1，反之为 0（默认
的替代值）。
9．怎样设置时钟存储器字节？时钟存储器字节哪一位的时钟脉冲周期为500ms？
答：选中设备视图中的CPU，再选中巡视窗口的“属性>常规>系统和时钟存储器”
（见图1-21），用复选框启用时钟存储器字节和设置它的地址值。时钟存储器字节的第 3 位
的时钟脉冲周期为500ms。
10．使用系统存储器默认的地址MB1，哪一位是首次扫描位？
答： M1.0 是首次扫描位。
第 2 章
1．填空
1）数字量输入模块某一外部输入电路接通时，对应的过程映像输入位为 1 状态，梯
形图中对应的常开触点接通，常闭触点断开。
2）若梯形图中某一过程映像输出位Q 的线圈“断电”，对应的过程映像输出位为0 状态
，在写入输出模块阶段之后，继电器型输出模块对应的硬件继电器的线圈断电，其常开触点
断开，外部负载断电。
3）二进制数2#0100 0001 1000 0101 对应的十六进制数是16#4185，对应的十进制数是16773，绝对值与它相同的负数的补码是2#1011 1110 0111 1011。
4）二进制补码2#1111 1111 1010 0101 对应的十进制数为-91 。
5)Q4.2 是输出字节 QB4 的第 2 位。
6) MW 4 由 MB 4和MB 5 组成， MB 4是它的高位字节。
7) MD104 由 MW 104 和 MW 106组成，MB 107是它的最低位字节。
2． S7-1200 可以使用哪些编程语言？
答：可以使用梯形图（LAD ）、函数块图（ FDB ）和结构化控制语言（SCL ）。
3． S7-1200 的代码块包括哪些块？代码块有什么特点？
答： OB、 FB 、FC 统称为代码块，代码块包含程序。
4． RAM 与 FEPROM 各有什么特点？
答：芯片的电源消失后，RAM 存储的数据将会丢失，而EEPROM存储的数据不会丢失。RAM的价格便宜，工作频率比EEPROM高得多。
5．装载存储器和工作存储器各有什么作用？
答：装载存储器是非易失性的存储器，用于保存用户程序、数据和组态信息。工作存储
器是集成在 CPU 中的高速存取的 RAM ，CPU 将用户程序中与程序执行有关的部分复制到工作
存储器。 CPU 断电时，工作存储器中的内容将会丢失。
6．字符串的第一个字节和第二个字节存放的是什么？
答：字符串的第一个字节是字符串的最大字符长度，第二个字节是字符串当前有效字符
的个数。
7．数组元素的下标的下限值和上限值分别为 1 和 10，数组元素的数据类型为Word，写
出数组的数据类型表达式。
答：数组的数据类型表达式为Array[1..10] of Word 。
8．在符号名为Pump 的数据块中生成一个由50 个整数组成的一维数组，数组的符号名
为Press。此外生成一个由 Bool 变量 Start、 Stop 和 Int 变量 Speed 组成的结构，结构的符号名
为 Motor 。
解：数组和结构见下图。
9．在程序中怎样用符号地址表示第8 题中数组Press 的下标为15 的元素？怎样用符号地址表示第8 题的结构中的元素Start？
15 的元素：”Pump”. Press[15]，结构Motor中的
答：数据块 Pump 中数组 Press的下标为
元素 Start：”Pump”.Motor.Start。
10．在变量表中生成一个名为“双字”的变量，数据类型为DWord ，写出它的第23 位和第 3 号字节的符号名。
答：名为“双字”的变量第23 位：“双字”.x23，第 3 号字节：“双字”.b3。
11． I0.3:P 和 I0.3 有什么区别，为什么不能写外设输入点？
I0.3 外部的电路的状态。
答：I0.3:P 是外设输入，可以用它立即读取CPU的数字量输入
端
I0.3是 CPU内部的存储器中的过程映像输入位。在每次扫描循环开始时，CPU读
I0.3 的外
取
部输入电路的状态，并将它们存入过程映像输入区。
12．怎样将 Q4.5 的值立即写入到对应的输出模块？
答：用Q4.5 的常开触点控制Q4.5:P 的线圈。
13．怎样设置梯形图中触点的宽度和字符的大小？
答：用菜单命令“选项”→“设置”打开“设置”编辑器（见图2-23 ），选中工作区左边窗口中的“PLC 编程”文件夹，右边窗口“字体”区的“大小”选择框用来设置程序编
辑器中字体的大小。用“操作数域”的“最大宽度”设置操作数域水平方向可以输入的最大
字符数。
14．怎样切换程序中地址的显示方式？
答：单击程序编辑器工具栏上的按钮，用下拉式菜单选择只显示绝对地址、只显示符号
地址，或同时显示两种地址。单击工具栏上的按钮，可以在上述3种地址显示方式之间切换。
15．怎样设置块的“优化的块访问”属性？“优化的块访问”有什么特点？
答：用右键单击项目树中的某个全局数据块、 FB或 FC，选中快捷菜单中的“属性” ，再勾选打开的对话框的“属性”视图中的“优化的块访问”复选框。
设置后变量以优化的方式保存，可以提高存储区的利用率。只能用符号地址的方式访问
声明的变量。
16．什么是MAC地址和IP 地址？子网掩码有什么作用？
答： MAC地址是以太网接口设备的物理地址。通常由设备生产厂家将MAC地址写入EEPROM 或闪存芯片。在网络底层的物理传输过程中，通过MAC 地址来识别发送和接收数
据的主机。 MAC 地址是 48 位二进制数，分为 6 个字节，一般用十六进制数表示。
IP 地址由 32 位二进制数组成，是网际协议地址。IP 地址通常用十进制数表示，用小数
点分隔。
子网掩码由32 位二进制数组成，用于将IP 地址划分为子网地址和子网内节点的地址。
17．计算机与S7-1200 通信时，怎样设置网卡的IP 地址和子网掩码？
答：计算机网卡的IP 地址中前 3 个字节的子网地址应与PLC 的相同， IP 地址的第 4 个字节是子网内设备的地址，可以取0～255 中的某个值，但是不能与子网中其他设备的IP 地址重叠。
18．写出 S7-1200 CPU 默认的 IP 地址和子网掩码。
答： S7-1200 CPU 默认的 IP 地址和子网掩码分别为192.168.0.1 和 255.255.255.0。
19．怎样打开S7-PLCSIM和下载程序到S7-PLCSIM ？
答：选中项目树中的 PLC，单击工具栏上的“开始仿真”按钮， S7-PLCSIM被启动。如果出现“扩展的下载到设备”对话框，设置好“ PG/PC 接口的类型”为 PN/IE，“ PG/PC接口”为PLCSIM S7-1200/1500 ，用以太网接口下载程序。单击“开始搜索”按钮，“目标子网中的兼容设备”列表中显示出搜索到的仿真 CPU 的以太网接口的 IP 地址。单击“下载”按钮，开始下载。
20．程序状态监控有什么优点？什么情况应使用监控表？
答：使用程序状态监控，可以形象直观地看到梯形图中触点、线圈的状态和指令方框输
入、输出参数的当前值。
如果需要同时监控的变量不能在程序编辑器中同时显示，可以使用状态表监控功能。
21．修改变量和强制变量有什么区别？
答：修改变量功能将数值写入 PLC 中的变量，不能写入 I 区的地址。写入的数据可能因为程
序的运行被改写。
只能强制外设输入和外设输出。在执行用户程序之前，强制值被用于输入过程映像。在
处理程序时，使用的是输入点的强制值。在写外设输出点时，强制值被送给过程映像输出，
输出值被强制值覆盖。强制值在外设输出点出现，并且被用于过程。
变量被强制的值不会因为用户程序的执行而改变。被强制的变量只能读取，不能用写访
问来改变其强制值。
第3 章
本章程序在项目“ 3 章习题答案”中。
1．填空
1) RLO 是逻辑运算结果的简称。
2）接通延时定时器的I N 输入电路 _接通时开始定时，定时时间大于等于预设时间时，
输出 Q 变为 1 状态。IN输入电路断开时，当前时间值ET 被清3）在加计数器的复位输入R 为 0 状态，加计数脉冲输入信号0 ，输出 Q变为 0状态。CU 的上升沿，如果计
数器值 CV 小于允许的最大值，CV 加 1。CV 大于等于预设计数值 PV 时，输出 Q 为 1 状态。复位输入 R为1状态时， CV被清0 ，输出 Q变为 0状态。
4）每一位BCD 码用 4 位二进制数来表示，其取值范围为二进制数2#0000～ 2#1001。BCD 码 2#0000 0001 1000 0101 对应的十进制数是185。
5）如果方框指令的ENO 输出为深色， EN 输入端有能流流入且指令执行时出错，则ENO 端没有能流流出。
6）MB2 的值为 2#1011 0110，循环左移 2 位后为 2# 1101 1010 ，再左移 2 位后为 2# 0110 1000。
7）整数 MW4 的值为 2#1011 0110 1100 0010，右移 4 位后为 2# 1111 1011 0110 1100。
2．4 种边沿检测指令各有什么特点？
答：以上升沿检测为例，P 触点用于检测触点上面的地址的上升沿，并且直接输出上升
沿脉冲。其他 3 种指令都是用来检测RLO 的上升沿。 P 线圈用于检测能流的上升沿，并用线圈上面的地址来输出上升沿脉冲。其他 3 种指令都是直接输出检测结果。R_TRIG 指令用背景数据块保存上一次扫描循环CLK 端信号的状态，而P_TRIG 指令用边沿存储位来保存它。
3．用 TON 线圈指令实现图3-22 振荡电路的功能。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
4．在全局数据块中生成数据类型为 IEC_TIMER 的变量 T1，用它提供定时器的背景数据，
实现接通延时定时器的功能。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
5．在全局数据块中生成数据类型为IEC_CONTER的变量C1，用它提供计数器的背景
数据，实现加计数器的功能。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
6．在 MW2 等于 3592 或 MW4 大于 27369 时将 M6.6 置位，反之将 M6.6 复位。用比较指令设计出满足要求的程序。
程序见下图和项目“3章习题答案”。
7．监控表用什么数据格式显示BCD 码？
答：用十六进制格式16#。
8．AIW64 中 A/D 转换得到的数值0～ 27648 正比于温度值0～ 800 C。用整数运算指令编写程序，在I0.2 的上升沿，将IW64 输出的模拟值转换为对应的温度值（单位为0.1 C），存放在 MW30 中。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
9．频率变送器的量程为45～ 55Hz，被 IW96 转换为 0～ 27648 的整数。用“标准化”指
令和“缩放”指令编写程序，在 I0.2 的上升沿，将 AIW96 输出的模拟值转换为对应的浮点数频率值，单位为 Hz ，存放在 MD34 中。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
10．编写程序，在I0.5 的下降沿将MW50 ～ MW68 清零。
答案之一的程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
11．用 I1.0 控制接在 QB1 上的 8 个彩灯是否移位，每 2s 循环左移 1 位。用 IB0 设置彩灯的初始值，在 I1.1 的上升沿将 IB0 的值传送到 QB1，设计出梯形图程序。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
12．字节交换指令SWAP 为什么必须采用脉冲执行方式？
答：如果不采用脉冲执行方式，每个扫描周期都要执行一次交换指令，最终交换了多少
次是不确定的，如果交换了偶数次，实际上没有交换。
2 位BCD码后送给QB2 ，
13．编写程序，将MW10 中的电梯轿厢所在的楼层数转换为
通过两片译码驱动芯片和七段显示器显示楼层数（见图3-41）。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
14．半径（小于1000 的整数）在DB4.DBW2 中，取圆周率为 3.1416，用浮点数运算指令编写计算圆周长的程序，运算结果转换为整数，存放在DB4.DBW4中。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
15．以0.1 度为单位的整数格式的角度值在MW8中，在I0.5的上升沿，求出该角度的
正弦值，运算结果转换为以10 5为单位的双整数，存放在MD12中，设计出程序。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
16．编写程序，在 I0.3 的上升沿，用“与”运算指令将MW16 的最高 3 位清零，其余各位保持不变。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
17．编写程序，在 I0.4 的上升沿，用“或”运算指令将Q3.2～ Q3.4 变为 1，QB3 其余各位保持不变。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
18．按下起动按钮I0.0，Q0.5 控制的电机运行30s，然后自动断电，同时Q0.6 控制的制动电磁铁开始通电，10s 后自动断电。设计梯形图程序。
程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
19．编写程序， I0.2 为 1 状态时求出MW50 ～MW56中最小的整数，存放在MW58中。
答案之一的程序见下图和项目“ 3 章习题答案”。
20．系统时间和本地时间分别是什么时间？怎样设置本地时间的时区？
系统时间是格林尼治标准时间，本地时间是根据当地时区设置的本地标准时间。
选中设备视图中的 CPU，再选中巡视窗口的“属性 > 常规 > 时间”，可以设置本地时间的时区。
第4 章
1．填空
1）背景数据块中的数据是函数块的接口区中的参数和数据（不包括临时数据和常数）。
2）在梯形图中调用函数和函数块时，方框内是块的形参，方框外是对应的实参。方框的左
边是块的输入参数和输入 /输出参数，右边是块的 _输出参数。
3） S7-1200在起动时调用OB 100。
2．函数和函数块有什么区别？
答：函数块有背景数据块，函数没有背景数据块。只能在函数内部访问它的局部变量。
其他代码块或 HMI（人机界面）可以访问函数块的背景数据块中的变量。函数没有静态变量，函
数块有保存在背景数据块中的静态变量。函数块的局部变量有默认值（初始值），函数的局部变量没有默认值。函数块的输出参数值不仅与来自外部的输入参数有关，还与用静态数据保存的内部状态数据有关。
3．什么情况应使用函数块？
答：如果代码块有执行完后需要保存的数据，应使用函数块，而不是函数。
4．组织块与FB 和FC 有什么区别？
答：出现事件或故障时，由操作系统调用对应的组织块， FB 和 FC 是用户程序在代码块中调用的。组织块的输入参数是操作系统提供的启动信息。组织块没有输出参数、 InOut 参数和静态数据。
5．怎样实现多重背景？
答：首先生成函数块（例如FB1“电动机控制”），再生成 FB3，去掉 FB1 和 FB3“优化的块访问”属性。在FB3 的接口区生成数据类型为FB1 的静态变量“ 1 号电动机”和“ 2 号电动机”。在 FB3 中调用 FB1，选中调用选项对话框中的“多重背景DB”。选中列表中的“1号电动机”，用 FB3 的静态变量“ 1 号电动机”提供FB1 的背景数据。
6．在什么地方能找到硬件数据类型变量的值？
答： PLC变量表的“系统常量”选项卡列出了项目中的硬件数据类型变量的值。
硬件组态时硬件组件和中断事件属性中的“硬件标识符”就是对应的硬件数据类型变量
的值。
7．设计循环程序，求DB1 中 10 个浮点数数组元素的平均值。
程序见下图和项目“ 4 章习题 7-9”。
在 DB1 中创建数据类型为Array[1..10] of real 的数组“数组1”。
8．设计求圆周长的函数FC1。
程序见下图和项目“ 4 章习题 7-9”。
9．设计 FC2来计算以度为单位的温度测量值。
程序见下图和项目“ 4 章习题 7-9”。
10．用循环中断组织块OB30 ，每 2.8s 将 QW1 的值加 1。在 I0.2 的上升沿，将循环时间
修改为 1.5s。设计出主程序和答案见项目“ 4 章习题
OB30
10”。
的程序。
11．编写程序，用I0.2启动时间中断，在指定的日期时间将Q0.0置位。在I0.3的上升沿取消时间中断。
答案见项目“ 4 章习题 11”。组态时设置时区为北京。
12．编写程序，在I0.3 的下降沿时调用硬件中断组织块
的上升沿时调用硬件中断组织块OB41 ，将 MW10 减 1。
答案见项目“ 4 章习题 12”。
OB40 ，将MW10加 1。在I0.2
第5 章
1．简述划分步的原则。
答：一般情况下步是根据输出量的状态变化来划分的，在任何一步之内，各输出量的
ON/OFF 状态不变，但是相邻两步输出量总的状态是不同的。
2．简述转换实现的条件和转换实现时应完成的操作。
答：转换实现必须同时满足两个条件：
1）该转换所有的前级步都是活动步。
2）相应的转换条件得到满足。
转换实现时应完成以下两个操作：
1）使所有由有向连线与相应转换符号相连的后续步都变为活动步。2）使所有由有向连线与相应转换符号相连的前级步都变为不活动步。3．试设计满足图5- 30 所示波形的梯形图。
4．试设计满足图5- 31 所示波形的梯形图。
5．画出图 5- 32 所示波形对应的顺序功能图。
M1.0 M4.0
I0.2
M4.1
Q0.0 Q0.1
I0.0
M4.2
Q0.0 Q0.2
I0.1
M4.3
Q0.2
I0.3
6．冲床的顺序功能图 :
M1.0
初始化脉冲
M4.0
R Q0.0 松开
起动
I0.0 . I0.4 .
I0.3
M4.1
S Q0.0“T1”
夹紧
“T1”.Q
2s
M4.2
Q0.1
工件右行
I0.1
右限位
M4.3
Q0.3
冲头下行
I0.2 下限位
M4.4 Q0.4 冲头上行
I0.3 上限位
M4.5
Q0.2
工件左行
.
I0.4
左限位
7．小车运动的顺序功能图：
M1.0 M4.0
起动I0.2 .
I0.3
M4.1Q0.0右行
I0.1
M4.2Q0.1左行
I0.0
M4.3Q0.0
I0.1
M4.4Q0.1
I0.2
8．指出图 5- 35 的顺序功能图中的错误。
题 8 的答案：初始步应为双线框；最上面的转换旁边没有转换条件；步 M0.2 和 M0.0 之间无转换；转换 I0.0 与最上面的转换之间没有步，最上面的水平有向连线应放在最上面的转
换之下。输入 I0.5 不能作为动作；一般用输入、定时器和计数器的触点和它们的逻辑组合作
转换条件，不用输出位（ Q）作转换条件；步 M0.3 的后面没有转换和步，系统运行到步 M0.3 时会“死机”。
图5-35 题8的图
9．某组合机床动力头进给运动控制系统的顺序功能图：
图5-36 题9的图
M1.0
M4.0
起动I0.0
.
I0.1
M4.1Q0.0Q0.2
快进I0.2 中限位
M4.2
Q0.0
工进
I0.3 右限位
M4.3“ T1”暂停5s
“ T1” .Q
M4.4Q0.1Q0.2快退
I0.1左限位
10．图 5- 37 所示信号灯控制系统的顺序功能图，I0.0 为启动信号。
M1.0
M4.0Q0.0
I0.0
M4.1Q0.0 “T1”4s
“T1”.Q
M4.2Q0.1 “T2”6s
“T2”.Q
图5-37 题10的图M4.3Q0.1Q0.2
“T3”
5s “T3”.Q
11．设计出图5- 38 所示的顺序功能图的梯形图程序，定时器”T1”的预设值为5s。答案见项目“ 5 章习题 11”。
12．设计出图 5- 39 所示的顺序功能图的梯形图程序。
答案见项目“ 5 章习题 12”。
13．设计出题5- 6 中冲床控制系统的梯形图。
答案见项目“ 5 章习题 13”。
14．设计出题5- 7 中小车控制系统的梯形图。
答案见项目“ 5 章习题 14”。
15．设计出题5- 9 中动力头控制系统的梯形图。
答案见项目“ 5 章习题 15”。
16．设计出题5- 10 中信号灯控制系统的梯形图。
答案见项目“ 5 章习题 16”。
17．设计出图 5- 40 所示的顺序功能图的梯形图程序。
答案见项目“5章习题 17”。调试时应注意，在I3.5 为 0状态时，如果转换条件I0.3 满足，从步 M4.3 转换到 M4.4 以后，将会立刻转换到步M4.0 。
18．设计出图 5- 41 所示的顺序功能图的梯形图程序。
答案见项目“5章习题 18”。
第6 章
1．简述主从通信方式防止各站争用通信线采取的控制策略。
答：主从通信网络只有一个主站，其他的站都是从站。主站首先向某个从站发送请求帧
（轮询报文），该从站接收到后才能向主站返回响应帧。主站按事先设置好的轮询表的排列顺序
对从站进行周期性的查询，并分配总线的使用权。
2．简述以太网防止各站争用总线采取的控制策略。
答：发送站在发送报文之前，先监听一下总线是否空闲，如果空闲，则发送报文到总线
上。在发送报文开始的一段时间边发送边接收，把接收到的数据和本站发送的数据相比较，
若不相同则说明发生了冲突，立即停止发送报文，并发送一段简短的冲突标志，来通知总线
上的其他站点。
3．简述令牌总线防止各站争用总线采取的控制策略。
答：令牌网开始运行时，由指定的站产生一个空令牌沿逻辑环传送。要发送报文的站等
到令牌传给自己，判断为空令牌时才能发送报文。发送站写入要传送的信息，然后将载有报
文的令牌送入环网传输。令牌返回发送站时，如果报文已被接收站复制，发送站将令牌置为“空”，送上环网继续传送，以供其他站使用。
4．开放式用户通信有什么特点？指令TSEND_C 和 TRCV_C 有什么优点？
答：基于 CPU集成的 PN接口的开放式用户通信用程序建立和断开事件驱动的通信连接，
在运行期间也可以修改连接。指令 TSEND_C 和 TRCV_C 有建立和断开连接的功能，使用它们以后不需要调用TCON和 TDISCON指令。
5．简述开放式用户通信的组态和编程的过程。
答：生成两块CPU，设置 CPU 的 IP 地址和子网掩码。启用双方的
字节。在网络视图中用拖拽的方法建立双方的连接。
可以用指令TCON 来建立连接，用指令TDISCON 来断开连接。指令MB0 为时钟存储器TSEND 和 TRCV
用于通过 TCP 和 ISO-on-TCP 协议发送和接收数据；指令 TUSEND 和 TURCV 用于通过 UDP 协议发送和接收数据。
S7-1200/1500 还可以使用指令 TSEND_C 和 TRCV_C ，通过 TCP 和 ISO-on-TCP 协议发送和接收数据。
6． UDP 协议通信有什么特点？
答： UDP 协议的通信双方使用“TADDR_Param ”类型的数据块设置远程通信伙伴的
IP 地址和端口号，在程序运行过程中修改通信伙伴的IP 地址和端口号，可以和不同的伙伴
通信。
7．怎样建立S7 连接？
答：生成通信双方的PLC 站点，单击工具栏上的“连接”按钮，设置连接类型为“
连接”。用拖拽的方法建立两个CPU的 PN 接口之间的S7 连接。
8．客户机和服务器在S7 通信中各有什么作用？
S7
答：客户机是向服务器请求服务的设备，客户机调用储区。服务器是通信中的被动方，用户不用编写服务器的的操作系统完成的。GET/PUT 指令读、写服务器的存S7 通信程序， S7 通信是由服务器
9．S7-1200 作 S7 通信的服务器时，在安全属性方面需要做什么设置？
答：选中服务器设备视图中的CPU，再选中巡视窗口中的“属性> 常规> 保护”，在“连接机制”区勾选“允许从远程伙伴（ PLC 、HMI 、OPC、?）使用 PUT/GET 通信访问”复选框。
10．简述 S7-1200 作 PROFINET 的 IO 控制器的组态过程。
答：生成 S7-1200 站点，在网络视图中生成IO 设备，组态好它们的IP 地址。组态 IO 设备的设备名称。
右键单击 CPU 的 PN 接口，执行快捷菜单命令“添加IO系统”，生成PROFINET IO系统。
IO
单击 IO 设备方框内蓝色的“未分配”，再单击出现的小方框中的IO 控制器的PN 接口，设备被分配给该IO 控制器的 PN 接口。
11．怎样分配IO 设备的设备名称？
答：用以太网电缆连接好IO 控制器、 IO 设备和计算机的以太网接口。如果IO控制器和
IO 设备的故障LED 亮，用右键单击网络视图中的IO 设备，执行快捷菜单命令“分配设备名称”。单击打开的对话框中的“更新列表”按钮，分配和下载各IO 设备的设备名称。下载的
设备名称与组态的设备名称一致时，IO 设备上的错误LED 熄灭。
12．简述组态DP 智能从站的过程。
生成 DP 主站和智能从站S7-1200 的 CPU ，用拖拽的方法生成DP 主站系统。
选中 CM 1242-5 从站模块的DP 接口，然后选中下面的巡视窗口的“属性> 常规 >操作模式 > 智能从站通信”，双击右边窗口“传输区”列表中的 <新增 >, 在第一行生成“传输区_1”。选
中左边窗口中的“传输区 _1”，在右边窗口定义主站（伙伴）发送数据、智能从站（本
地）接收数据的 I 、Q 地址区。用同样的方法定义主站接收数据、智能从站发送数据的 I、 Q 地址区。
13．什么是偶校验？
答：偶校验用硬件保证发送方发送的每一个字符的数据位和奇偶校验位中“
1”的个数
为偶数。接收方对接收到的每一个字符的奇偶性进行校验，检查奇偶校验是否出错。
14．什么是半双工通信方式？
答：半双工方式用同一组线接收和发送数据，通信的双方在同一时刻只能发送数据或只
能接收数据。
15． Modbus 串行链路协议有什么特点？
答：Modbus 串行链路协议是一个主 -从协议，采用请求 -响应方式，总线上只有一个主站，主站发送带有从站地址的请求帧，具有该地址的从站接收到后发送响应帧进行应答。从站没
有收到来自主站的请求时，不会发送数据，从站之间也不会互相通信。
持
16．通过 USS 协议通信， S7-1200 最多可以控制多少台变频器？
答：每个 CPU 最多可以连接 3 个通信模块，建立 3 个 USS 网络。每个
16 个变频器，总共最多支持48 个变频器。
18． OB82 和 OB86 的作用是什么？ CPU 在什么时候调用它们？
USS 网络最多支答：具有诊断中断功能并启用了诊断中断的模块检测出其诊断状态发生变化（出现故障
或有组件要求维护、故障消失或没有组件需要维护），操作系统将会分别调用一次OB82 。
如果检测到DP 主站系统或PROFINET IO 系统发生故障、 DP 从站或 IO 设备发生故障，
故障出现和故障消失时，操作系统将分别调用一次OB86 。PROFINET 智能设备的部分子模块发生故障时，操作系统也会调用OB86 。
19． OB83 的作用是什么？
答：如果拔出或插入了已组态且未禁用的分布式I/O模块或子模块，操作系统将调用拔
出 /插入中断组织块OB83。
20．怎样用博途诊断有故障的IO设备和IO设备中的模块？
答：在线时双击项目树 CPU 文件夹中的“在线和诊断” ，在工作区打开“在线和诊断”视图。单击工具栏上的“在线”按钮，进入在线模式。可以用诊断缓冲区诊断故障。
在线模式下打开网络视图，可以看到 CPU 和 IO 设备上的故障符号。双击有故障的设备，
打开它的设备视图和设备概览，可以看到有故障的模块。双击故障模块，在“在
线和诊断”工作区打开它的诊断视图。可以查看它的“诊断状态”和进行“通道诊断”。
21．怎样设置CPU 的实时时钟的时间值？
答：打开“在线和诊断”视图后，选中工作区左边窗口中的“设置时间” ，可以在右边窗口设置 PLC的实时时钟。勾选复选框“从 PG/PC获取”，单击“应用”按钮， PLC的实时时
钟将会与计算机的实时时钟同步。未勾选该复选框时，可以手工设置CPU的日期和时间，设置好后单击“应用”按钮确认。
22．怎样用S7-1200 的 Web 服务器诊断故障？
答：选中 PLC的设备视图中的 CPU，再选中巡视窗口中的“ Web 服务器”。勾选“在此设备的所有模块上激活 Web 服务器”复选框。单击“用户管理”表格最下面一行的“新增
用户”，输入用户名和密码。单击“访问级别”列的按钮，用打开的对话框中的复选框
为该用户授予多个附加权限。
将上述组态和程序下载到CPU，连接PC 和CPU的以太网接口，打开IE浏览器。输入CPU 的 IP 地址，按回车键后出现CPU 的
功后就可以用Web 服务器诊断故障了。
Web 页面。在起始页面输入用户名和密码。登陆成
第7 章
1．什么是人机界面？它的英文缩写是什么？
答：人机界面是操作人员与控制系统之间进行对话和相互作用的专用设备。其英文缩写
为HMI 。
2．触摸屏有什么优点？
答：触摸屏使用直观方便，易于操作。画面上的按钮和指示灯可以取代相应的硬件元件，
减少 PLC 需要的 I/O 点数，降低系统的成本，提高设备的性能和附加价值。
3．人机界面的内部变量和外部变量各有什么特点？
外部变量是PLC 的存储单元的映像，其值随PLC 程序的执行而改变。人机界面和PLC 都可以访问外部变量。内部变量存贮在人机界面的存储器中，与PLC没有连接关系，只有人
机界面能访问内部变量。内部变量用名称来区分，没有地址。
4．组态时怎样建立PLC 与 HMI 之间的 HMI 连接？
HMI 答：生成PLC 和 HMI 站点，单击工具栏上的“连接”按钮，连接类型为默认的“
连接”。用拖拽的方法连接PLC和 HMI 的以太网接口，生成“HMI_ 连接 _1”。
5．在画面上组态一个指示灯，用来显示PLC 中 Q0.0 的状态。
6．在画面上组态两个按钮，分别用来将PLC 中的 Q0.0 置位和复位。
7．在画面上组态一个输出域，用 5 位整数显示PLC 中 MW10 的值。
8．在画面上组态一个输入/输出域，用 5 位整数格式修改PLC 中 MW10
的值。
5~8 题的答案见项目“7 章 5-8 题”。
9．怎样组态具有点动功能的按钮？
答：选中画面上的按钮后，选中巡视窗口的“属性>事件>
按下”，组态按下按钮时
置位某个位变量。用同样的方法设置在按钮释放时将同一位变量复位。
10． HMI有哪几种仿真调试的方法？各有什么特点？
PLC 的用户程序，模拟系统与实际系统的答：使用变量仿真器仿真的方法因为没有运行
性能有很大的差异。
集成仿真用 WinCC 的运行系统对 HMI 设备仿真，用 PLC 的仿真软件 S7-PLCSIM 对 PLC 仿真。不需要 HMI 设备和 PLC 的硬件，可以很好地模拟实际控制系统的功能。
连接硬件 PLC 的 HMI 仿真用计算机模拟 HMI 设备的功能。这种仿真的效果与实际系统基本
上相同。
11．怎样用 HMI 的控制面板设置它的PN 接口的 IP 地址？
答： HMI 通电后，单击装载对话框中的“ Control Panel”按钮，打开控制面板。双击控制面板
中的“ Network and Dial-up Connections ”（网络与拨号连接），打开网络连接对话框。双击网络
连接对话框中的 PN_X1图标，打开“'PN_X1' Settings”对话框，用单选框选中“ Specify
an IP address”，由用户设置 IP 地址。用屏幕键盘输入IP 地址和子网掩码。
12．为了实现S7-1200 CPU 与 HMI 的以太网通信，需要做哪些操作？
答：用 HMI 的控制面板设置HMI 的 IP 地址和子网掩码。
用“设置 PG/PC接口”对话框，设置应用程序访问点为实际使用的计算机网卡和通信协
议。设置计算机的以太网卡的IP地址。将程序和组态信息下载到PLC。将组态信息下载到HMI。用以太网电缆连接CPU和 HMI 的以太网接口。两台设备通电后，就可以验证通信是否成功了。
13．怎样实现PLC 和 HMI 的集成仿真调试？
答：在 Windows 7 的控制面板中打开“设置 PG/PC接口”对话框，单击选中“为使用的接
口分配参数”列表框中的“ S7-PLCSIM S7-1200/ S7-1500.TCPIP.1”，设置“应用程序访问点”
为“ S7ONLINE (STEP 7) -->S7-PLCSIM S7-1200/S7-1500.TCPIP.1”。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） A C D A B C D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 (G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(45-++=k k k G P k 。 六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 1 3 图G
图论及其应用答案电子科大
图论及其应用答案电子科 大 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
习题三： 证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e . 证明：充分性: e是G的割边，故G ?e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G中的u ,v不连通， 而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G ?e中不存在从 u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v是单图G的割点，则G ?v有两个连通分支。现任取x ,y ∈V (G ?v ), 如果x ,y 不在G ?v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G ?v的补图中连通。若x ,y在G ?v的同一分支中，则它们在G ?v的补图中邻接。所以，若v是G 的割点，则v不是补图的割点。 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}
图论及其应用
图和子图 图 图 G = (V, E)， 其中 V = {νv v v ,......,,21} V ---顶点集， ν---顶点数 E = {e e e 12,,......,ε} E ---边集， ε---边数 例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。 称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。 称顶点a 与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。 环（loop ，selfloop ）：如边 l 。 棱（link ）：如边ae 。 重边：如边p 及边q 。 简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：νε()(),()().G V G G E G ==。 习题 1.1.1 若G 为简单图，则 εν≤?? ?? ?2 。 1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。 同构 在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ? V （G)=V(H), E(G)=E(H)。 图G 同构于图F ? V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间各存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。 记为 G ?F 。 注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。 d e f G = (V, E) y z w c G =(V , E ) w c y z H =(V ?, E ?) ?a ? c ? y ? e ?z ? F=(V ??, E ??)
图论及其应用(精)
图论及其应用 学时：40 学分：2 课程属性：专业选修课开课单位：理学院 先修课程：高等代数后续课程：无 一、课程的性质 《图论及其应用》是数学与应用数学专业的专业选修课程。 二、教学目的 通过教学，使学生掌握图论及其算法的基本理论和基本技巧，初步掌握图论及其算法的基本应用手段、基本算法设计及编程，并能用所学理论解决一些应用问题。 三、教学内容 1.图的基本概念 2.图的连通性 3.树的基本性质及其应用 4.Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 5.平面图性质 6.匹配，求最大匹配算法及应用 7.图的染色及应用 8.极图理论 四、学时分配 章课程内容学时 1 图的基本概念 4 2 图的连通性 6 3 树的基本性质及其应用 6 4 Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 4 5 平面图性质 6 6 匹配，求最大匹配算法及应用 6
7 图的染色及应用 4 8 极图理论 4 合计40 五、教学方式 本课程采用多媒体课堂讲授，结合实际范例深入浅出讲解讨论。 六、考核方式 本课程考核采用平时与期末考核相结合的办法，特别注重平时的考核，作业采用简单练习、论文等形式，期末考试采用简单考题或论文形式。 七、教材及教学参考书 参考教材： [1] J.A.Bondy and U.S.R.Murty. Graph Theory with Applications, The Macmillan Press LTD,1976. [2] 蒋长浩．图论与网络流．北京：中国林业出版社，2000． 参考书目： [1] Bela Bollobas．Modern Graph Theory（现代图论，影印版）．北京：科学出版社，2001． [2] 殷剑宏、吴开亚．图论及其算法．合肥：中国科学技术大学出版社，2003． [3] 谢金星、邢文训．网络优化．北京：清华大学出版社．2000． [4] 程理民、吴江、张玉林．运筹学模型与方法教程．北京：清华大学出版社，2000． [5] 三味工作室．SPSS V10.0 for Windows 实用基础教程．北京：北京希望电子出版社2001． [６] 孙魁明、张海彤．Mathematica工具软件大全．北京：中国铁道出版社，1994． [７] 楼顺天、于卫、闫华梁．MATLAB程序设计语言．西安：西安电子科技大学出版社，1997．八、教学基本内容及要求 第一章图的基本概念 1．教学基本要求 掌握的图的基本概念、特殊图概念，了解最短路问题。 2．教学具体内容 图的基本概念，路和圈，最短路问题。
图论及其应用 答案电子科大
习题三： ● 证明：是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意及, G 中的路必含. 证明：充分性: 是的割边，故至少含有两个连通分支，设是其中一个连通分支的顶点集，是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为中的不连通，而在中与连通，所以在每一条路上，中的必含。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设中所有路均含有边，从而在中不存在从与到的路，这表明不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 ： 是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，由定理，中的u,v 位于同一个圈上，于是 中u 与边都位于同一个 圈上。 ： 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u ，边e ，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v ，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 ： 连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块,,,无环，12,x v y v ∈∈，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。 ● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图的割点。 证明：是单图的割点，则有两个连通分支。现任取, 如果不在的
同一分支中，令是与 处于不同分支的点，那么，与在的补图中连通。若在的同一分支中，则它们在的补图中邻接。所以，若是的割点，则不是补图的割点。 ● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给 出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）} ()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10} 2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）} ● 13.设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解： 通常. 整个图为，割点左边的图为的的子图， ，则. e H
图论的发展及其在现实生活中的几个应用
图论的发展及其在生活中的应用 数学与应用数学张佳丽 指导教师刘秀丽 摘要主要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。 关键词图论生活问题应用 Graph Theory Development and the Application in Life Mathematics and applied mathematics Zhang Jiali Tutor Liu Xiuli Abstract This paper mainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as: crossing river problem, traveling salesman problem, minimum spanning tree problem, four color problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It also researches several methods that are more widely applied in graph theory, for example: the method of most neighboring, the method of solving the minimum spanning tree，the method of the best route，and so on． Key words graph theory life problem application 引言 图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系．图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系．事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟．而且,图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰．由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要．图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用．随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。从20世纪50年代以后，由于计算机的迅速发展，有力地推动了图论的发展，加速了图论向各个学科的渗透，尤其是网络理论的建立，图论与线性规划、动态规划等优化理论和方法互相渗透。同时，计算机的发展使图论成为数学领域中发展最快的分支
图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)
学号：201321010808 姓名：马涛 习题1 4．证明图1-28中的两图是同构的 证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10) 容易证明，对?v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =???? ??2n 当且仅当G 是完全图。 证明 必要性 若G 为非完全图，则? v ∈V(G),有d(v)< n-1 ? ∑ d(v) < n(n-1) ? 2m 证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ? ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。 12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ?v in v ik 构成一个圈 。 17.证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。 习题2 证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。 证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1 、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当)1(21-=∑=n d n i i 。 证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足E d n i i 21 =∑=，E 为T 的边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以)1(21 -=?∑=n d n i i 证明：若e 是n K 的边，则3)2()(--=-n n n n e K τ。 若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生成树的总边数为：2)1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数 为： 32 2)1(2 1 )1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为： 332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ Kruskal 算法能否用来求： 1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的 证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )u i (1 i 10) 容易证明，对v i v j E((a)),有f(v i v j )u i u j E((b)) (1 i 10, 1j 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 2. （题6）设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =???? ??2n 当且仅当G 是 完全图。 证明 必要性 若G 为非完全图，则 v V(G),有d(v) n-1 d(v) n(n-1) 2m n(n-1) m n(n-1)/2=??? ? ??2n , 与已知矛盾！ 充分性 若G 为完全图，则 2m= d(v) =n(n-1) m= ??? ? ??2n 。 3. （题9）证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。 证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k V 1 =m = k V 2 V 1 = V 2 。 4. （题12）证明：若δ≥2，则G 包含圈。 图1-28 (a) v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u u 8 u u 10 (b) 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik v in v ik 构成一个圈 。 5. （题17）证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。 习题二 2、证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。 证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1 、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 5、证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当 )1(21 -=∑=n d n i i 。 证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足 E d n i i 21 =∑=，E 为T 的 边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以)1(21 -=? ∑=n d n i i 14、证明：若e 是n K 的边，则3 )2()(--=-n n n n e K τ。 若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生 成树的总边数为： 2 )1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数为： 32 2)1(2 1 )1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为： 332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ 16、Kruskal 算法能否用来求： （1）赋权连通图中的最大权值的树？ （2）赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？ 解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。 （2）可以，步骤如下： 习题一 1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的 证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10) 容易证明，对?v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 2. （题6）设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =???? ??2n 当且仅当G 是 完全图。 证明 必要性 若G 为非完全图，则? v ∈V(G),有d(v)< n-1 ? ∑ d(v) < n(n-1) ? 2m 证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ? ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。 4. （题12）证明：若δ≥2，则G 包含圈。 证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ?v in v ik 构成一个圈 。 5. （题17）证明：若G 不连通，则G 连通。 证明 对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。 习题二 2、证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。 证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1 、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 5、证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当 )1(21 -=∑=n d n i i 。 证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足 E d n i i 21 =∑=，E 为T 的边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以)1(21 -=? ∑=n d n i i 14、证明：若e 是n K 的边，则3 )2()(--=-n n n n e K τ。 若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生成树的总边数为：2 )1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数为： 32 2)1(2 1 )1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为： 332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ 16、Kruskal 算法能否用来求： （1）赋权连通图中的最大权值的树？ （2）赋权图中的最小权的最大森林？如果可以，怎样实现？ 第一章图和子图 §1.1 图和简单图 °图的概念： 一个图G是指一个有序三元组G=(V G,E G,ψG)。其中：V(G)是非空顶点集，E(G)是不与V(G)相交的边集，ψG:E(G)→V(G)×V(G)的函数，称为关联函数。 若e∈E(G)是一条边，而ψG e=u,v,则称e连接u和v; 顶点u 和v称为e的端点。 例1：G=(V G,E G,ψG)，其中： V G={v1,v2,v3,v4,v5} E G={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8} 而ψG定义为： ψG e1=v1,v2ψG e2=(v2,v3) ψG e3=v3,v3ψG e4=(v3,v4) ψG e5=v2,v4ψG e6=(v4,v5) ψG e7=v2,v5ψG e8=(v2,v5) (见图1.1) *我们现在讨论的是无向图，即边没有方向，顶点对u,v=(v,u)。我们还可以定义有向图。 例2：定义有向图D=(V D,E D,ψD)，其中： V D={a,b,c,d} E D={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7} ψD e1= 习题1 1. 证明在n阶连通图中 （1）至少有n-1条边。 （2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。 （3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。 证明(1) 若对v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ? m≥n>n-1,矛盾！ 若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。 当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。 设当n=k时，结论成立， 当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。 (2) 考虑v1→v2→?→v n的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G的边数大于n-1,因此存在v i,v j,使得v i adgv j,这样，v i→v i+1→?→v j并上v i v j构成一条闭通道；若该途径是一条非路，易知，图G有闭通道。 (3) 若不然，对v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ? m≥n>n-1,与已知矛盾！ 2.设G是n阶完全图，试问 （1）有多少条闭通道？ （2）包含G中某边e的闭通道有多少？ （3）任意两点间有多少条路？ 答(1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+…+(n-2)…1. 3.证明图1-27中的两图不同构： 图1-27 证明容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。 4.证明图1-28中的两图是同构的 图1-28 证明将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图 作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10) 容易证明，对v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 5. 证明：四个顶点的非同构简单图有11个。 证明 m=0 1 2 3 4 5 6 由于四个顶点的简单图至多6条边，因此上表已经穷举了所有情形，由上表知：四个顶点的非同构简单图有11个。 6. 设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =??? ? ??2n 当且仅当G 是完全图。 证明 必要性 若G 为非完全图，则 v ∈V(G),有d(v)< n-1 ? ∑ d(v) < n(n-1) ? 2m 习题三： ● 证明：e 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u ，v ）必含e . 证明：充分性: e 是G 的割边，故G ?e 至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G 中的u,v 不连通，而 在G 中u 与v 连通，所以e 在每一条(u,v)路上，G 中的(u,v)必含e 。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G 中所有(u,v)路均含有边e ，从而在G ?e 中不存在从u 与到v 的路，这表明G 不连通，所以e 是割边。 ● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e 都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G 的点u ，边e ，若u 在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u 不在e 上，由定理，e 的两点在同一个闭路上，在e 边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G 连通，若G 不是块，则G 中存在着割点u ，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u 在每一条(x,y)的路上，则与已知矛盾，G 是块。 ● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v 是单图G 的割点，则G ?v 有两个连通分支。现任取x,y ∈V(G ?v), 如果x,y 不在G ?v 的同一分支中，令u 是与x,y 处于不同分支的点，那么，x,与y 在G ?v 的补图中连通。若x,y 在G ?v 的同一分支中，则它们在G ?v 的补图中邻接。所以，若v 是G 的割点，则v 不是补图的割点。 ● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}图论及其应用1-3章习题答案
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