ACM动态规划问题简易模板(C++可编译)

1、0-1背包

#include

#include

//背包问题

/*

测试数据：

输入：

8 23

8 4 5 1 6 6 7 3

7 8 3 3 4 9 6 2

输出：

1 0 1 0 1 0 1 1

*/

int num,c;

int v[10];

int w[10];

int m[10][30];//设m[i][j],则表示在前i个物品中，背包大小是j的情况下，背包所装东西的最大价值

void knapsack()

{

int n=num-1;

int jmax,i,j;

if(w[n]

else jmax=c;

for(i=0;i

m[n][i]=0;

for(i=w[n];i<=c;i++)

m[n][i]=v[n];

for(i=n-1;i>0;i--)

{

if(w[i]

else jmax=c;

for(j=0;j

m[i][j]=m[i+1][j];

for(j=w[i];j<=c;j++)

{

if(m[i+1][j]

m[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+v[i];

else

m[i][j]=m[i+1][j];

}

}

m[0][c]=m[1][c];

if(c>=w[0])

{

if(m[0][c]

m[0][c]=m[1][c-w[0]]+v[0];

}

}

void trackback(int *x)

{

int n=num-1;

int i;

for(i=0;i

{

if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0;

else

{

x[i]=1;

c=c-w[i];

}

}

if(m[n][c]>0) x[n]=1;

else x[n]=0;

}

int main()

{

int i,x[10],j;

scanf("%d %d",&num,&c);

for(i=0;i

scanf("%d",&v[i]);

for(i=0;i

scanf("%d",&w[i]);

knapsack();

for(i=0;i<=c;i++) printf("%3d",i);

printf("\n");

for(i=0;i

{

for(j=0;j<=c;j++)

printf("%3d",m[i][j]);

printf("\n");

}

trackback(x);

for(i=0;i

printf("%d ",x[i]);

printf("\n");

return 0;

}

2、KMP算法

#include

#include

using namespace std;

inline void BuildNext(const char* pattern, size_t length, unsigned int* next)

{

unsigned int i, t;

i = 1;

t = 0;

next[1] = 0;

while(i < length + 1)

{

while(t > 0 && pattern[i - 1] != pattern[t - 1])

{

t = next[t];

}

++t;

++i;

if(pattern[i - 1] == pattern[t - 1])

{

next[i] = next[t];

}

else

{

next[i] = t;

}

}

//pattern末尾的结束符控制，用于寻找目标字符串中的所有匹配结果用while(t > 0 && pattern[i - 1] != pattern[t - 1])

{

t = next[t];

}

++t;

++i;

next[i] = t;

}

unsigned int KMP(const char* text, size_t text_length, const char* pattern, size_t pattern_length, unsigned int* matches)

{

unsigned int i, j, n;

unsigned int next[pattern_length + 2];

BuildNext(pattern, pattern_length, next);

i = 0;

j = 1;

n = 0;

while(pattern_length + 1 - j <= text_length - i)

{

if(text[i] == pattern[j - 1])

{

++i;

++j;

//发现匹配结果，将匹配子串的位置，加入结果

if(j == pattern_length + 1)

{

matches[n++] = i - pattern_length;

j = next[j];

}

}

else

{

j = next[j];

if(j == 0)

{

++i;

++j;

}

}

//返回发现的匹配数

return n;

}

int main()

{

char a[20],b[20];

int n1,n2,n;

unsigned int match[100];

cin>>a;n1=strlen(a);//待匹配串

cin>>b;n2=strlen(b);//模板串

n=KMP(a,n1,b,n2,match);

cout<

for(int i=0;i

cout<

}

3、最大子段和

#include

#include

using namespace std;

int main(){

int T,n;

int a[50000];

int hd[50000],tl[50000];

scanf("%d",&T);

while(T--){

scanf("%d",&n);

int i,temp,max;;

for(i = 0;i < n;i++)

scanf("%d",&a[i]);

//hd[],left -> right

max = hd[0] = a[0];

for(i = 1;i < n;i++){

temp = a[i] + hd[i - 1];

hd[i] = temp > a[i] ? temp : a[i];

}

for(i = 1;i < n;i++){

hd[i] = max > hd[i] ? max : hd[i];

max = hd[i];

//tl[],right -> left

max = tl[n - 1] = a[n - 1];

for(i = n - 2;i >= 0;i--){

temp = a[i] + tl[i + 1];

tl[i] = temp > a[i] ? temp : a[i];

}

for(i = n - 2;i >= 0;i--){

tl[i] = max > tl[i] ? max : tl[i];

max = tl[i];

}

max = hd[0] + tl[1];

for(i = 1;i < n - 1;i++){

temp = hd[i] + tl[i + 1];

max = max > temp ? max : temp;

}

printf("%d\n",max);

}

return 0;

}

4、最长公共子序列（不严格连续）

#include

#include

#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]) {

int i, j;

for(i = 0; i <= m; i++)

c[i][0] = 0;

for(j = 1; j <= n; j++)

c[0][j] = 0;

for(i = 1; i<= m; i++)

{

for(j = 1; j <= n; j++)

{

if(x[i-1] == y[j-1])

{

c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

b[i][j] = 0;

}

else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])

{

c[i][j] = c[i-1][j];

b[i][j] = 1;

}

else

{

c[i][j] = c[i][j-1];

b[i][j] = -1;

}

}

}

}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j) {

if(i == 0 || j == 0)

return;

if(b[i][j] == 0)

{

PrintLCS(b, x, i-1, j-1);

printf("%c ", x[i-1]);

}

else if(b[i][j] == 1)

PrintLCS(b, x, i-1, j);

else

PrintLCS(b, x, i, j-1);

}

int main(int argc, char **argv)

{

char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};

char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};

int b[MAXLEN][MAXLEN];

int c[MAXLEN][MAXLEN];

int m, n;

m = strlen(x);

n = strlen(y);

LCSLength(x, y, m, n, c, b);

PrintLCS(b, x, m, n);

return 0;

}

5、最长公共子序列（不严格连续）

#include

#include

#include

using namespace std;

const int N = 505;

int num1[N],num2[N],f[N][N];

int main()

{

int t,n,m;

scanf("%d",&t);

while(t--)

{

scanf("%d",&n);

for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num1[i]);

scanf("%d",&m);

for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&num2[j]);

memset(f,0,sizeof(f));

int answer=0;

int ma;

for(int i=1;i<=n;i++)

{

ma=0;

for(int j=1;j<=m;j++)

{

f[i][j]=f[i-1][j];

if(num1[i]>num2[j]&&f[i-1][j]>ma)ma=f[i-1][j];

if(num1[i]==num2[j])f[i][j]=ma+1;

}

}

for(int j=0;j<=m;j++)answer=max(answer,f[n][j]);

printf("%d\n",answer);

if(t!=0)printf("\n");

}

return 0;

}

6、最大子矩阵和

#include

#include

using namespace std;

//求最大连续子矩阵和，动态规划，O(n^3) of time:

/*

输入

4

1 -4 3 -8

-3 5 2 -3

2 -1 8 1

-1 1 -2 -4

输出

14

*/

int max_sum(int n, int *arr)

{ //求单个序列的最大连续子串和

int result=0;

int b=0;

for(int i=0;i

{

if(b>0) b+=arr[i];

else b=arr[i];

if(b>result) result=b;

}

return result;

}

int max_sum2(int m, int n, int **arr)

{

int result=0;

int *b=new int[n];

for(int i=0;i

{

memset(b,0,sizeof(int)*n);

for(int j=i;j

{

for(int k=0;k

b[k]+=arr[j][k];//b[k]=arr[i][k]+arr[i+1][k]+...+arr[j][k]

//从例子来说，当i=1,j=2时，有b[k]=arr[1][k]+arr[2][k],这时取到max

int max=max_sum(n,b);

if(max>result) result=max;

}

}

delete b;

return result;

}

int main()

{

int N;

cin>>N;

int i,j;

int **arr=new int*[N];

for(i=0;i

{

arr[i]=new int[N];

for(j=0;j

cin>>arr[i][j];

}

cout<

for(i=0;i

delete arr[i];

delete arr;

return 0;

}

7、石子合并问题

#include

#include

using namespace std;

//石头合并问题PKU 1086 动态规划

/*

输入：

4

4 1 2 3

输出：

*/

#define MAX 1000000000

int a[202];//每个石头的重量

long f[202][202];//f[i][j]，第i个石头分到第j个石头合并的最小代价long sum[202][202];//sum[i][j],第i个石头到第j个石头的重量之和

void print(int num)

{

int i,j;

for(i=1;i<=num;i++)

{

for(j=1;j<=num;j++)

printf("%3d",f[i][j]);

cout<

}

cout<

}

void cal(int num)

{

int i,j,k,min,d;

for(i=1;i<=num;i++)

f[i][i]=0;//不合并时的代价

for(i=1;i

{

sum[i][i]=a[i];

for(j=i+1;j<=num;j++)

{

sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[j];

}

}

sum[num][num]=a[num];

for(d=1;d<=num-1;d++)

{

for(i=1;i<=num-d;i++)

{

j=i+d;

min=MAX;

//i..k为一堆石头，k+1,k+2...j为另一堆石头

//f[i][j]为f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]的最小值(i<=j

for(k=i;k

if(min>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]) min=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];

f[i][j]=min;

print(num);

}

}

}

int main()

{

int num,i;

scanf("%d",&num);

for(i=1;i<=num;i++)

cin>>a[i];

cal(num);

cout<

return 0;

}

8、最大乘积

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

//添加乘号得到最大乘积动态规划

#define NMAX 12

#define CMAX 7

__int64 f[NMAX][CMAX];//f[i][j],长度为i,用了j个乘号后的最大值char str[22];

void print(int num,int k)

{ //用于调试时打印f[][]

int i,j;

for(i=0;i

{

for(j=1;j<=k;j++)

printf("%6d",f[i][j]);

cout<

}

cout<

// system("pause");

}

int conv(int start,int num)

{ //在str[i]中，以start为起点，num为长度所表示的数字int sum,i;

sum=0;

for(i=1;i<=num;i++)

{

sum*=10;

sum+=str[start+i-1]-'0';

}

return sum;

}

void cal(int num,int chen)

{

int i,j,temp,k;

for(i=0;i

{ //初始化，不用乘号时的情况

f[i][0]=conv(0,i+1);

}

for(j=1;j<=chen;j++)

{

for(i=j;i

{

temp=0;

for(k=0;k

{

//a1,a2,a3..an用j个乘号连接

//看成是a1,a2...ak已经用j-1个乘号连接，

//然后再与后面的ak+1,ak+2..an组成的数用1个乘号连接

if(temp

temp=f[k][j-1]*conv(k+1,i-k);

}

f[i][j]=temp;//找到局部的最大乘积

}

// print(num,chen);

}

}

int main()

{

int num,chen;//num为字符串长度

while(scanf("%d%d",&num,&chen)!=EOF)

{

scanf("%s",&str);

cal(num,chen);

printf("%I64d\n",f[num-1][chen]);

}

return 0;

}

ACM经典算法及配套练习题

POJ上的一些水题(可用来练手和增加自信) (poj3299,poj2159,poj2739,poj1083,poj2262,poj1503,poj3006,p oj2255,poj3094) 初期: 一.基本算法: (1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586) (3)递归和分治法. (4)递推. (5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 二.图算法: (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra) (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240) (3)最小生成树算法(prim,kruskal) (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026) (4)拓扑排序(poj1094) (5)二分图的最大匹配(匈牙利算法) (poj3041,poj3020) (6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436) 三.数据结构. (1)串(poj1035,poj3080,poj1936) (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299) (3)简单并查集的应用. (4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash) (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503) (5)哈夫曼树(poj3253) (6)堆 (7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513) 四.简单搜索 (1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251) (2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414) (3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129) 五.动态规划 (1)背包问题. (poj1837,poj1276) (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149): 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533) 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159) 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题) 六.数学 (1)组合数学:

acm动态规划总结

动态规划题目总结(一) 对于一个有数字组成的二叉树，求由叶子到根的一条路径，使数字和最大，如： 7 38 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 这个是经典的动态规划，也是最最基础、最最简单的动态规划，典型的多段图。思路就是建立一个数组，由下向上动态规划，保存页子节点到当前节点的最大值，Java核心代码如下： for(int i=num-2;i>=0;i--){ for(int j=0;j<=i;j++){ //该句是整个动态规划的核心 number[i][j]=Math.max(number[i+1][j],number[i+1][j+1])+number[i][j]; } } Pku acm 1579 Function Run Fun 动态规划题目总结(二) Consider a three-parameter recursive function w(a, b, c): if a <= 0 or b <= 0 or c <= 0, then w(a, b, c) returns: 1 if a > 20 or b > 20 or c > 20, then w(a, b, c) returns: w(20, 20, 20) if a < b and b < c, then w(a, b, c) returns: w(a, b, c-1) + w(a, b-1, c-1) - w(a, b-1, c) otherwise it returns: w(a-1, b, c) + w(a-1, b-1, c) + w(a-1, b, c-1) - w(a-1, b-1, c-1) 这本身就是一个递归函数，要是按照函数本身写递归式，结果肯定是TLE，这里我开了一个三维数组，从w(0,0,0)开始递推，逐步产生到w(20,20,20)的值，复杂度O(n^3). 总结：这道题是很地道的DP，因为它的子问题实在是太多了，所以将问题的结果保存起来，刘汝佳《算法艺术和信息学竞赛》中115页讲到自底向上的递推，这个例子就非常典型。总体来说这个题目还是非常简单的，不过这个思想是地道的动态规划。 Pku acm 2081 Recaman's Sequence 动态规划题目总结(三) 一道很简单的动态规划，根据一个递推公式求一个序列，我选择顺序的求解，即自底向上的递推，一个int数组result根据前面的值依此求出序列的每一个结果，另外一个boolean数组flag[i]记录i是否已经出现在序列中，求result的时候用得着，这样就避免

ACM训练计划

ACM常用算法及练习 第一阶段：练经典常用算法，下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码，因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打出来. 1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord) 2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写) 3.大数（高精度）加减乘除 4.二分查找. (代码可在五行以内) 5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包. 6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简) 7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式. 8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握. 9. 任意进制间的转换 第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。 如： 1. 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖 2. 网络流，最小费用流。 3. 线段树. 4. 并查集。 5. 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp 6.博弈类算法。博弈树，二进制法等。 7.最大团，最大独立集。 8.判断点在多边形内。 9. 差分约束系统. 10. 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先. 相关的知识 图论 路径问题 0/1边权最短路径 BFS 非负边权最短路径（Dijkstra） 可以用Dijkstra解决问题的特征 负边权最短路径 Bellman-Ford Bellman-Ford的Yen-氏优化 差分约束系统 Floyd 广义路径问题 传递闭包 极小极大距离/ 极大极小距离

Euler Path / Tour 圈套圈算法 混合图的Euler Path / Tour Hamilton Path / Tour 特殊图的Hamilton Path / Tour 构造 生成树问题 最小生成树 第k小生成树 最优比率生成树 0/1分数规划 度限制生成树 连通性问题 强大的DFS算法 无向图连通性 割点 割边 二连通分支 有向图连通性 强连通分支 2-SAT 最小点基 有向无环图 拓扑排序 有向无环图与动态规划的关系 二分图匹配问题 一般图问题与二分图问题的转换思路 最大匹配 有向图的最小路径覆盖 0 / 1矩阵的最小覆盖 完备匹配 最优匹配 稳定婚姻 网络流问题 网络流模型的简单特征和与线性规划的关系最大流最小割定理 最大流问题 有上下界的最大流问题 循环流 最小费用最大流/ 最大费用最大流

Acm集训营培训心得

Acm集训营培训心得 参加暑期acm训练营的培训，让我收获了好多，感想也特别特别多，也学会了许多。所以特别感谢集训营中为我们上课的老师对我们做的培训。 经过特训营的培训，我了解到了许多关于acm的一系列知识。我感触特别深。作为ACM的新手，有兴趣而经验不足，然而有些热心的学者与老师多是向新手推荐书籍，如刘汝佳的算法竞赛入门经典，算法艺术与信息学竞赛及算法导论。不知这些是否是有针对ACM的系统教材，始终在这偌大的书籍中感到彷徨。但我觉得一方面它们倾向于理论证明、缺乏实战性，当时总是希望有位知识渊博的学者能带着我走。可这一切只是天方夜谭，更多的只能希冀在自己的身上。暑假集训从早上9点到下午5点，中间吃饭睡觉花掉3个小时左右，一天有6个小时上课时间，也许这段时间的确不是很长，每上五天课便会放假一天。看似好轻松，然而过于集中精力死盯这电脑屏幕，久而久之会有突如其来的疲倦。如果您想要从一个新手改造成一个合格的队员，你所感到的便是你的疯狂。引入ACM的历史，然后便是三道都是A+B，而且有样例程序培训，开始的第一节莫过于热身。这不仅能带给我们激情和勇气，同时看似基础性的东西却往往是胜败的关键点，使得我们不可松懈。接着便是从最简单的算法开始介绍，依次是：线性表，栈，队列，枚举法，递推法，递归法，分治法，树，搜索，图论的相关知识，并查集，动态规划，大数问题，字符串问

题。线性表，栈，队列：都有顺序结构和链式结构；栈和队列是在程序设计中被广泛使用的两种线性数据结构，它们的特点在于基本操作的特殊性，栈必须按"后进先出"的规则进行操作，而队列必须按"先进先出"的规则进行操作。和线性表相比，它们的插入和删除操作受更多的约束和限定，故又称为限定性的线性表结构。而这三者都是来自数据结构的知识，数据结构数据结构是介于数学、计算机硬件和计算机软件三者之间的一门核心课程。数据结构这一门课的内容不仅是一般程序设计（特别是非数值性程序设计）的基础，而且是设计和实现编译程序、操作系统、数据库系统及其他系统程序的重要基础。同时这门课程也是非常难学，需要我们花费更多的功夫。对于ACM的竞赛，更多的是注重于你对题目的灵活运用，采取比较简便的方法，所以便引入了枚举法，递推法，递归法，分治法，动态规划等技巧性较强的专门课程。复杂的ACM竞赛题往往蕴藏着精深的数学道理，需要的是数学知识的结合，学以灵活变通。就是这样才让人感觉到它是种让人从粗浅走向智慧，从蒙昧走向文明，从低级走向高级，从不完善走向完善的艰难历程。除了对这些学术上的专业注重，然而也需要学习英语知识，大多数的竞赛题目是英文，为了更加趋于国际化，英语也成为国际的交流语言，所以学习英语义不容辞，不可推卸。通过以上报告间隙，我结合自身学习实际，进行了客观的对比与反思。在今后的学生涯中，我要查漏补缺，通过学习来完善自身专业素养，努力为自己的梦想实践。

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么

ACM动态规划问题简易模板(C++可编译)

1、0-1背包 #include #include //背包问题 /* 测试数据： 输入： 8 23 8 4 5 1 6 6 7 3 7 8 3 3 4 9 6 2 输出： 1 0 1 0 1 0 1 1 */ int num,c; int v[10]; int w[10]; int m[10][30];//设m[i][j],则表示在前i个物品中，背包大小是j的情况下，背包所装东西的最大价值 void knapsack() { int n=num-1; int jmax,i,j; if(w[n]0;i--) { if(w[i]

} } m[0][c]=m[1][c]; if(c>=w[0]) { if(m[0][c]0) x[n]=1; else x[n]=0; } int main() { int i,x[10],j; scanf("%d %d",&num,&c); for(i=0;i

动态规划matlab仿真实例

动态规划在火力分配中的应用 1.问题描述 设有m个目标，目标价值(重要性和危害性)各不相同，用数值A K( K=1, 2, ..m )表示，计划用n枚导弹突袭，导弹击毁目标的概率P= ，其中是常数，取决于导弹的 特性与目标的性质；为向目标发射的导弹数，问题：做出方案使预期的突击效果最大。 2.问题建模 上述问题可以表述为 约束条件为 ( 为非负整数) 3.算法描述 下面通过一个实例说明：设目标数目为4 (m=4),导弹为5 (n=5), 和a K取值情况如下表所示：表1：A k，取值情况 将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为: 可能取值为0，1, 2，3, 4，5,将函数值带人如下表: 表2函数值

k=le ngth(x(1,:)) % x_is nan=~is nan( x); % t_vubm=i nf*on es(size(x)); % 判断决策级数 非空状态矩阵 性能指标中间矩阵 动态规划问题基本方程为： c =0 逐次向前推一级 K=4 K=3 K=2 K=1 ( 只需要求解的最大值然后反推回去就可以获得最优的分配方案 可取等号) 4. Matlab仿真求解 因为与取值为整数，可以采用动态规划的方法，获得的最大值, fun cti on[ p_opt,fval]=d yn prog(x,DecisFu n,SubObjFu n, Tra nsFu n,ObjFun) % 规划问题最小值函数对应的最优方 求解动态

f_opt=nan*ones(size(x)); % 总性能指标矩阵 d_opt=f_opt; % 每步决策矩阵 tmp1=find(x_isnan(:,k)); % 最后一步状态向量 tmp2=length(tmp1); % 最后一步状态个数for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k)); tmp3=length(u);% 决策变量 for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j)); if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub f_opt(i,k)=tmp; d_opt(i,k)=u(j); t_vubm(i,k)=tmp; end; end; end for ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii)); tmp20=length(tmp10); for i=1:tmp20 % 求出当前状态下所有可能的决策 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii)); tmp30=length(u) ; for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % tmp50=x(:,ii+1)- tmp40; % 找出下一状态在x tmp60=find(tmp50==0) ; if~isempty(tmp60) if nargin<6 % 矩阵不同需要修改 tmp00=tmp00+f_opt(tmp60(1),ii+1); % set the default object value else tmp00=feval(ObjFun,tmp00,f_opt(tmp60(1),ii+1)); end % 当前状态的性能指标 if tmp00<=t_vubm(i,ii) f_opt(i,ii)=tmp00; d_opt(i,ii)=u(j); t_vubm(i,ii)=tmp00; end; end; end; end; end fval=f_opt(:,1); tmp0 = find(~isnan(fval)); fval=fval(tmp0,1); p_opt=[];tmpx=[];tmpd=[];tmpf=[]; 单步性能指标 下一状态 矩阵的位置 nargin 的值，很重要

动态规划经典案例详解(背包问题)

动态规划经典案例详解之背包问题 【摘要】本文主要从动态规划经典案例——背包问题的动态规划设计思路出发，结合具体实例，对动态规划在程序设计中的典型应用以及衍生拓展进行详细分析。 【关键字】动态规划信息学奥赛0/1背包问题 动态规划并非一个算法，而是一种解题的思路，其核心思想是通过使用大量的存储空间把中间结果记录下来，大大减少重复计算的时间，从而提高的程序的执行效率，因为信息学奥林匹克复赛题目的解决程序一般是有时间限制的，对于某些用搜索必然耗费大量时间的题目，动态规划几乎是唯一的选择。但是动态规划并没有一个简单的模型可以套用，对于每个不同的题目都有对应的不同规划思路，我们只能通过对一些动态规划经典案例的学习来训练自己的动态规划思维能力，从而以不变应万变，应付各种复杂的程序设计，本文通过对动态规划经典案例之一的背包问题进行详细阐述，旨在让学生了解动态规划和搜索的不同设计思路以及动态规划的优越性。 【原型例题】 从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品i的重量为wi，价值为pi。求使物品价值最高的选取方法。 【输入文件】 第一行一个数c，为背包容量。 第二行一个数n，为物品数量 第三行n个数，以空格间隔，为n个物品的重量 第四行n个数，以空格间隔，为n个物品的价值 【输出文件】 能取得的最大价值。 【分析】 初看这类问题，第一个想到的会是贪心，但是贪心法却无法保证一定能得到最优解，看以下实例： 贪心准则1：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2,w=[100,10,10],p=[20,15,15],c=105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x=[1,0,0]，这种方案的总价值为20。而最优解为[0,1,1]，其总价值为30。 贪心准则2：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n=2,w=[10,20], p=[5,100],c=25。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x=[1,0],比最优解[0,1]要差。

ACM竞赛要掌握的知识

ACM竞赛要掌握的知识 图论 路径问题 最短路径 0/1边权最短路径 BFS 非负边权最短路径 Dijkstra 可以用Dijkstra解决的问题的特征 负边权最短路径 Bellman-Ford Bellman-Ford的Yen-氏优化 差分约束系统 Floyd 广义路径问题 传递闭包 极小极大距离/ 极大极小距离 Euler Path / Tour 圈套圈算法 混合图的Euler Path / Tour Hamilton Path / Tour 特殊图的Hamilton Path / Tour 构造 生成树问题 最小生成树 第k小生成树 最优比率生成树 0/1分数规划 度限制生成树 连通性问题 强大的DFS算法 无向图连通性 割点 割边 二连通分支 有向图连通性 强连通分支 2-SAT 最小点基 有向无环图 拓扑排序 有向无环图与动态规划的关系 二分图匹配问题 一般图问题与二分图问题的转换思路

最大匹配 有向图的最小路径覆盖 0 / 1矩阵的最小覆盖 完备匹配 最优匹配 网络流问题 网络流模型的简单特征和与线性规划的关系最大流最小割定理 最大流问题 有上下界的最大流问题 循环流 最小费用最大流/ 最大费用最大流 弦图的性质和判定 组合数学 解决组合数学问题时常用的思想 逼近 递推/ 动态规划 概率问题 Polya定理 计算几何/ 解析几何 计算几何的核心：*积/ 面积 解析几何的主力：复数 基本形 点 直线，线段 多边形 凸多边形/ 凸包 凸包算法的引进，卷包裹法 Graham扫描法 水平序的引进，共线凸包的补丁 完美凸包算法 相关判定 两直线相交 两线段相交 点在任意多边形内的判定 点在凸多边形内的判定 经典问题 最小外接圆 近似O(n)的最小外接圆算法 点集直径 旋转卡壳，对踵点

牛人的ACM-POJ的题型分类总结!

主流算法： ? 1.搜索//回溯 ? 2.DP（动态规划） ? 3.贪心 ? 4.图论//Dijkstra、最小生成树、网络流 ? 5.数论//解模线性方程 ? 6.计算几何//凸壳、同等安置矩形的并的面积与周长 ?7.组合数学//Polya定理 ?8.模拟 ?9.数据结构//并查集、堆 ?10.博弈论 1、排序 1423,1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380,1318, 1877, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379, 1002（需要字符处理，排序用快排即可） 1007（稳定的排序） 2159（题意较难懂） 2231 2371（简单排序） 2388（顺序统计算法） 2418（二叉排序树） 2、搜索、回溯、遍历 1022 1111 1118 1129 1190 1562 1564 1573 1655 2184 2225 2243 2312 2362 2378 2386 1010,1011,1018,1020,1054,1062,1256,1321,1363,1501， 1650,1659,1664,1753,2078,2083,2303,2310,2329 简单：1128,1166, 1176, 1231, 1256, 1270, 1321, 1543, 1606, 1664, 1731, 1742, 1745,1847, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426, 不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197, 2349, 推荐：1011,1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709, 1714,1753, 1771, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170,2288, 2331, 2339, 2340,1979（和迷宫类似）1980（对剪枝要求较高） 3、历法 1008 2080 （这种题要小心） 4、枚举 1012，1046， 1387， 1411， 2245， 2326， 2363， 2381，1054（剪枝要求较高），1650 （小数的精度问题） 5、数据结构的典型算法 容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395, 不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834, 推荐：1330, 1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, 1703, 1724, 1988, 2004, 2010, 2119, 2274, 1125(弗洛伊德算法) ，2421（图的最小生成树） 6、动态规划 1037 A decorative fence、 1050 To the Max、 1088 滑雪、 1125 Stockbroker Grapevine、 1141 Brackets Sequence、

动态规划典型例题

1、单调递增最长子序列 描述 求一个字符串的最长递增子序列的长度 如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4 输入 第一行一个整数0

2、最长公共子序列 描述 如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。 tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。 输入 第一行给出一个整数N(0

3、括号匹配 时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB 描述 给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。 如： []是匹配的 ([])[]是匹配的 ((]是不匹配的 ([)]是不匹配的 输入 第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10) 每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符， S的长度不超过100 输出 对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组 测试输出占一行 样例输入 4 [] ([])[] ((] ([)] 样例输出 3 2

动态规划matlab仿真实例

动态规划在火力分配中的应用。 1.问题描述 设有m个目标，目标价值（重要性和危害性）各不相同，用数值A K（K=1，2，..m）表示，计划用n枚导弹突袭，导弹击毁目标的概率P K=，其中是常数，取决于导弹的特性与目标的性质；为向目标发射的导弹数，问题：做出方案使预期的突击效果最大。 2.问题建模 上述问题可以表述为 约束条件为 （为非负整数） 3.算法描述 下面通过一个实例说明：设目标数目为4（m=4），导弹为5（n=5），和a K取值情况如下表所示： 表1：A k 取值情况 目标K 1 2 3 4 8 7 6 3 0.2 0.3 0.5 0.9 将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为：

可能取值为0，1，2，3，4，5，将函数值带人如下表： 表2 函数值 u 0 0 0 0 0 1 1.45 1.81 2.36 1.79 2 2.64 3.16 3.79 2.51 3 3.61 4.15 4.66 2.81 4 4.41 4.89 5.19 2.93 5 5.0 6 5.44 5.51 2.97 动态规划问题基本方程为： c =0 逐次向前推一级 K=4 K=3 K=2 K=1 （） 只需要求解的最大值然后反推回去就可以获得最优的分配方案

4.Matlab仿真求解 因为与取值为整数，可以采用动态规划的方法，获得的最大值，对应的

最优方案 function[p_opt,fval]=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) %求解动态规划问题最小值函数 k=length(x(1,:)) %判断决策级数 x_isnan=~isnan(x); % 非空状态矩阵 t_vubm=inf*ones(size(x)); % 性能指标中间矩阵 f_opt=nan*ones(size(x)); % 总性能指标矩阵 d_opt=f_opt; %每步决策矩阵 tmp1=find(x_isnan(:,k)); % 最后一步状态向量 tmp2=length(tmp1); % 最后一步状态个数 for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k)); tmp3=length(u);%决策变量 for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j)); if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub f_opt(i,k)=tmp; d_opt(i,k)=u(j); t_vubm(i,k)=tmp; end; end; end for ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii)); tmp20=length(tmp10); for i=1:tmp20 %求出当前状态下所有可能的决策 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii)); tmp30=length(u) ; for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策的最小性能指标 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 单步性能指标 tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j)); % 下一状态 tmp50=x(:,ii+1)-tmp40; % 找出下一状态在 x 矩阵的位置 tmp60=find(tmp50==0) ; if~isempty(tmp60) if nargin<6 %矩阵不同需要修改nargin的值，很重要 tmp00=tmp00+f_opt(tmp60(1),ii+1); % set the default object value else tmp00=feval(ObjFun,tmp00,f_opt(tmp60(1),ii+1)); end %当前状态的性能指标 if tmp00<=t_vubm(i,ii) f_opt(i,ii)=tmp00; d_opt(i,ii)=u(j);

动态规划习题讲解

第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。

DP类型各题总结-acm

最大连续子序列 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 11540 Accepted Submission(s): 4856 还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。 对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元 素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。 思路：一路加如果sum变成小于0了从当前位置重新新开始加（小于0的话就对整个段没有贡献了而且会使整个段的和变小） #include int main() { int n,i,a[10005],start,end,sum,max,sta,flag,cnt; while(1) { cnt=0; sum=0;max=-1;flag=1; scanf("%d",&n); if(n==0) return 0; for(i=0;i

(整理)ACM大量习题题库及建议培养计划.

//别人总结的，确实很多，但有信心就能学完！ 一.基本算法: (1)枚举.(poj1753,poj2965) (2)贪心.(poj1328,poj2109,poj2586) (3)递归和分治法. (4)递推. (5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 二.图算法: (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. (2)最短路径算法.(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra) (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240) (3)最小生成树算法.(prim,kruskal) (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026) (4)拓扑排序.(poj1094) (5)二分图的最大匹配(匈牙利算法).(poj3041,poj3020) (6)最大流的增广路算法(KM算法).(poj1459,poj3436) 三.数据结构. (1)串.(poj1035,poj3080,poj1936) (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排).(poj2388,poj2299) (3)简单并查集的应用. (4)哈希表和二分查找等高效查找法.(数的Hash,串的Hash) (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503) (5)哈夫曼树.(poj3253) (6)堆. (7)trie树(静态建树、动态建树).(poj2513) 四.简单搜索 (1)深度优先搜索.(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251) (2)广度优先搜索.(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414) (3)简单搜索技巧和剪枝.(poj2531,poj1416,poj2676,1129) 五.动态规划 (1)背包问题. (poj1837,poj1276) (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149): 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533) 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159) 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题) 六.数学 (1)组合数学: 1.加法原理和乘法原理. 2.排列组合. 3.递推关系. (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942) (2)数论.

动态规划算法原理与的应用

动态规划算法原理 及其应用研究 2012年5月20日摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了

动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一■ 个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten ）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部 关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhause）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划问世以来，在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径