【重点推荐】新高中数学1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念学案 新人教A版必修1练习试卷
第1课时奇偶性的概念
学习目标：1.理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.掌握判断函数奇偶性的方法．
[自主预习·探新知]
函数的奇偶性
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示]定义域关于原点对称．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
B[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]
3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
C[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]
4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.
3[∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]
[合作探究·攻重难]
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3
＋x ；
(2)f (x )＝1－x 2
＋x 2
－1； (2)f (x )＝2x 2
＋2x
x ＋1
；
(4)f (x )＝????
?
x －1，x <0，0，x ＝0，
x ＋1，x >0.
[解] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )3
＋(－x )＝－(x 3
＋x )＝－f (x )， 因此函数f (x )是奇函数．
(2)由????
?
1－x 2
≥0，x 2
－1≥0
得x 2
＝1，即x ＝±1.
因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝????
?
－x －1，－x <0，0，－x ＝0，
－x ＋1，－x >0，
即f (－x )＝????
?
－x ＋，x >0，0，x ＝0，
－x －，x <0.
于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．
[跟踪训练]
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3
；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x
2；
④f (x )＝x ＋1x
；⑤f (x )＝x 2
，x ∈[－1,2].
②③ [对于①，f (－x )＝－x 3
＝－f (x )，则为奇函数； 对于②，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝
1－x
2
＝1
x
2＝f (x )，则为偶函数；
对于④，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝－x －1
x
＝－f (x )，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
奇偶函数的图象问题
已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图1-3-6所示．
图1-3-6
(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．
[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称． 由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
依据：奇函数求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题
[跟踪训练]
2．如图1-3-7是函数f (x )＝
1
x 2
＋1
在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据.
图1-3-7
[解] 因为f (x )＝
1x 2
＋1所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1－x 2
＋1
＝1
x 2
＋1
＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．
利用函数的奇偶性求值或求参数 [探究问题]
1．若函数y ＝f (x )是奇函数，且点(a ，f (a ))是y ＝f (x )图象上一点，点(－a ，－f (a ))是否在函数图象上？
提示：在．∵f (x )为奇函数，故－f (a )＝f (－a )，故点(－a ，－f (a ))一点在函数y ＝f (x )的图象上．
2．对于定义域内的任意x ，若f (－x )＋f (x )＝0，则函数f (x )是否具有奇偶性？若f (－x )－f (x )＝0呢？
提示：由f (－x )＋f (x )＝0得f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
由f (－x )－f (x )＝0得f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ? ??
??12的值为
( )
A.13 B ．98 C ．1
D ．无法确定
(2)已知f (x )＝x 7
－ax 5
＋bx 3
＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________. 思路探究：(1)f
x 是奇函数―→
定义域关于原点对称―→求a ，b ，c 的值―→计算f ? ????12
(2)令g x ＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ―→
判断g x 的奇偶性
―→计算g －
―→代入求得f
(1)B (2)7 [(1)由题意可知2b －5＋2b －3＝0，即b ＝2.又f (x )是奇函数，故f (－x )＋f (x )＝0，
所以2ax 2
＋2c ＝0对任意x 都成立，则a ＝c ＝0， ∴f ? ????12＝1
8
＋2×12＝18＋1＝98.
(2)令g (x )＝x 7
－ax 5
＋bx 3
＋cx ，则g (x )是奇函数，
∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2，又f (－3)＝－3，∴g (3)＝5. 又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7.]
定义域含参数：奇、偶函数x 的定义域为＋b ＝0求参数解析式含参数：根据－＝－f x 或－x ＝f x 列式，比较系数即可求解
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数f (x )＝|x |＋1是( )
【导学号：37102157】
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
B [∵f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．]
2．如图1-3-8，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )
图1-3-8
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．0
A [由图知f (1)＝12，f (2)＝3
2
，又f (x )为奇函数，
所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－1
2＝－2.故选A.]
3．下列说法中错误的个数为( ) ①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过坐标原点； ④偶函数的图象一定与y 轴相交. A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
C [由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f (x )＝1
x
，x ∈(－∞，0)∪(0，＋
∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x )＝1
x
2，x ∈(－∞，
0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以④说法错误．故选C.] 4．已知函数f (x )＝ax 2
＋2x 是奇函数，则实数a ＝______.
0 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，∴2ax 2
＝0对任意x ∈R 恒成立，所以a ＝0.] 5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图1-3-9所示．
图1-3-9
(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象． (2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间． (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合. [解] (1)由题意作出函数图象如图：
新人教部编版初高中精选试题
1.3.2__函数的奇偶性_(第一课时)
1.3.2 函数的奇偶性（第一课时）1、下列命题中，真命题是( ) A．函数y＝1 x 是奇函数，且在定义域内为减函数 B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数 C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数 D．函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数 2、奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6) ＋f(－3)的值为( ) A．10 B．－10 C．－15 D．15 3．f(x)＝x3＋1 x 的图象关于( ) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称D．y＝－x对称 4、函数f(x)＝x的奇偶性为( ) A．奇函数B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数5、下列函数为偶函数的是( ) A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋1 x C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝ |x| x2 6、设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 7、已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx( ) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数8、奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( ) A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f(1 a )) 9、f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时( ) A．f(x)≤2 B．f(x)≥2 C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R 10、如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________. 11、若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 12、下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f(x)＝0(x ∈R)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题是________． 13、①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；③f(x)＝3 x＋x；④f(x)＝ 1－x2 x . 以上函数中的奇函数是________．14、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) 1＋x 1－x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x x＜0 －x2＋x x＞0 . 15、判断函数f(x)＝ 1－x2 |x＋2|－2 的奇偶性．
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）
对称性、奇偶性和周期性的综合运用
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 称. . 推论1 . 推论2 . 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， . . . . 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称 1； 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称； y轴对称； 求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称. . 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 二．函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称． 推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点（a，0）中心对称. 三．函数的周期性 1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =；
奇偶性教案
1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和几何意义。难点：判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 （一）设疑导入、观图激趣：出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。
(新)高中数学奇偶性练习题及答案
函数的奇偶性与周期性 一、填空题 1．已知函数f(x)＝1＋m ex －1是奇函数，则m 的值为________． 解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m ex －1＝0， ∴2－ mex ex －1＋m ex －1＝0，∴2＋m ex －1 (1－ex)＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2 2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2)＝3 －22＝－1. 答案：－1 3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0?a －120＋1＝0?a ＝1 2. 经检验，当a ＝1 2 时，f(x)为奇函数． 解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －1 2－x ＋1＝－????a －12x ＋1. ∴2a ＝ 12x ＋1＋2x 1＋2x ＝1，∴a ＝1 2. 答案：1 2 4．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________. 解析：由a －1＝－2a 及f(－x)＝f(x)，可得a ＝1 3，b ＝0. 答案：13 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________． 解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集 为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}． 答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，
在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；
高一数学--奇偶性
高一数学第四讲 函数的奇偶性 一、知识要点： 1、函数奇偶性定义： 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。 (2) 利用图像判断函数奇偶性的方法： 图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数， （3）简单性质： 设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 二、基础练习： 1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？ 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x . 3.设函数若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2 -2x ，则在x<0上f (x )的表达式为 5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是 三、例题精讲： 题型1： 函数奇偶性的判定 例1. 判断下列函数的奇偶性： ① x x x x f -+-=11)1()(,②y =,③22 (0)()(0) x x x f x x x x ?+??④2 211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数： ① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。 必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --
奇偶性的典型例题
函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x
⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。 命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。 命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶 函数。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 （二）学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． （三）教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 （四）教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 （一）教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 一．教材分析 1 . 教材的地位与作用 内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节; 函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。 2 . 学情分析 已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识； 在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识； 高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高； 高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。 二．目的分析 教学目标知识与技能目标： ……理解函数奇偶性的概念 ……能利用定义判断函数的奇偶性 过程与方法目标： ……培养学生的类比，观察,归纳能力 ……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再 从具体到一般的研究方法 情感态度与价值观目标： ……对数学研究的科学方法有进一步的感受 ……体验数学研究严谨性，感受数学对称美 重点与难点 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断 难点：函数奇偶性概念的探究与理解 三．教法、学法 教法 借助多媒体和几何画板软件 以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式遵循研究函数性质的三步曲 学法 1.3.2 奇偶性 整体设计 教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明. 三维目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想. 重点难点 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 安排 1 教学过程 导入新课 思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面， 我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究. 思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x 2和y=x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图1-3-21所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 图1-3-21 ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=x 2 表1 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x| 表2 ③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？ ⑤函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)= x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思
北京四中高中数学 奇偶性基础知识讲解 新人教A版必修1
函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性教学设计优秀
高中数学人教版必修奇偶性教案(系列五)