匀速圆周运动

匀速圆周运动

1．描述圆周运动的物理量

1）线速度:是描述质点绕圆周运动快慢的物理量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的定义式为：

v=?l/?t．

2）角速度: 物理量,其定义式为：

w=?θ/?t 国际单位为Rad/s

3）周期和频率:周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量,用周期和频率计算线速度的公式为

v=2πr/T=2πrf,

用周期和频率计算角速度的公式

为w=2π/T=2πf.

4）向心加速度: 是描述质点线速度方向变化快慢的物理量, 向心加速度的方向指向圆心,其大小的定义式为

A=v^2/r或a=w^2r

5）向心力: 向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其作用效果是只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小,其大小可表示为

F=mv^2/r或F=mrw^2．

方向时刻与运动的方向垂直.它是根据效果命名的力.

说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力．如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力．

2．匀速圆周运动

1）定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等．在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等．

2）特点：在匀速圆周运动中, 线速度的大小不变, 线速度的方向时刻改变. 所以匀速圆周运动是一种变速运动．做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.

3．离心运动:

1）定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动．

2）特点：

（1）当F合=mrω^2的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做圆周运动.

（2）当F合

重点难点例析

一、描述匀速圆周运动的物理量之间的关系

共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。

【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关

系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三

轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比

分别为多少？

【解析】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR 得两轮角速度大小的关系

ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．

因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比

ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．因A轮边缘的线速度vA=ωARA=2ωBRB=2vB，

所以A、B、C三轮边缘线速度之比

vA∶vB∶vC=2∶1∶1．

根据向心加速度公式a=ω2

R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比

a:a222A:aBC=ωARA:ωBRB:ωCRC

=8∶4∶2=4∶2∶1．

【答案】2∶2∶1；2∶1∶1；4∶2∶1。

【点拨】在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系．同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比．在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带及和皮带相接触的两轮边缘上的各点线速度的大小相等．

●拓展

如图4-3-2所示，O1皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径．已知r2＝1.5r1，r3=2r1．A、B、C 分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是，角速度之比是，向心加速度之比是__________ ，周期之比是_________．

图4-3-2

【解析】由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故

vA=vB．

又由于v=ωr，则ωAr1.5r13

ω=B=r=

BrA12

由于B、C两轮固定在一起所以ωB=ωC．由v=ωr知

vBrB1.5rv==1=3 CrC2r14

所以有ωA:ωB:ωC

=3:2:2

vA:vB:vC=3:3:4

由于vv2aAA=vB，依a=R得

a=RB=3

BRA2

由于ωB=ω依a=ω2

R得aBRC，

a=B=3

CRC4

aA:aB:aC=9:6:8

再由T=2πω

知

T111

A:TB:TC=3:2:2

=2:3:3

【答案】3：3：4，3：2：2，9：6：8，2：3：3

二、关于离心运动的问题

物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线。半径不变时物体作圆周运动所需的向心力，是与角速度的平方（或线速度的平方）成正比的。若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心。若物体所受的向心力突然消失，即将沿着切线方向远离圆心而去。

【例2】物体做离心运动时，运动轨迹A．一定是直线B．一定是曲线

C．可能是直线，也可能是曲线D．可能是圆

【解析】一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的向心力突然消失时，物体将沿切线方向做直线运动，当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所需要的向心力大，物体做圆周运动的轨道半径会越来越大，物体的运动轨迹是曲线。【答案】C

●拓展

质量为M＝1000kg的汽车，在半径为R＝25m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0.4倍。为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围。（g=10m/s2）

【解析】汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有：

v2kMg≥MR

代入数据可求得：υ=10m/s。【答案】0～10m/s.

三、圆周运动中向心力的来源分析

向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源。需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力。物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）。

易错门诊

【例3】如图4-3-3所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体4-3-3

B相连，B与A质量相同.

物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.

【错解】当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力Fm ′指向圆心，则Fm ′＝mω

m2r ①

由于由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即Fm ′＝μFN＝μmg ②由①、②

解得：ωm=

要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足0＜ω

【错因】A物随盘一起做匀速圆周运动提供是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力，而拉力的大小始终等于B物的重力。

【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.

当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即

F＋Fm ′＝mω12r ①

由于B静止，故F＝mg②

由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即Fm ′＝μFN＝μmg③

由①、②、③解得ω1＝g(1+μ)/r；

当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为：

F－Fm ′＝mω22r④

由②、③、④得ω2＝g(1-)/r.

要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足

g(1-μ)/r≤ω≤g(1+μ)/r

答案

g(1-μ)/r≤ω≤g(1+μ)/r

【点悟】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况；明确哪些力提供了它需要的向心力.

课堂自主训练

1．质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（）A.线速度越大，周期一定越小B.角速度越大，周期一定越小C.转速越小，周期一定越小D.圆周半径越大，周期一定越小【解析】由关系式T=2πRv，可知A、D选项错误；由关系式T=2πω

可知B选项正确；由关系式

T=1n

可知C选项错误。【答案】B

2．关于向心力的说法正确的是（）

A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力

B.做圆周运动的物体除受其他力外，还要受到一个向心力的作用

C.向心力不改变圆周运动物体速度的大小

D.做圆周运动的物体其向心力是不变的

【解析】物体因为受到一个向心力的作用而做圆周运动，且这个向心力是根据力的效果命名的，并非是除其他力之外的一个新的概念的力。由于做圆周运动物体的向心力方向随时发生变化，因此做匀速圆周运动的物体所受的向心力虽然大小不变，但却是变力。向心力方向随时与速度方向垂直，因此它不改变物体的速度大小，正确答案是C。【答案】C

1、关于向心力，以下说法中不正确的是

A．是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力

B．向心力就是做圆周运动的物体所受的合力

C．向心力是线速度变化的原因

D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动

2、关于向心力，下列说法中正确的是( )

A．物体由于做圆周运动而产生了向心力

B．向心力不改变圆周运动物体的速度大小

C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的

D．做匀速圆周运动的物体其向心力为物体所受的合外力

3.一个质量为M的物体在水平转盘上，距离转轴的距离为r，当转盘的转速为n时，物体相对于转盘静止，如果转盘的转速增大时，物体仍然相对于转盘静止，则下列说法中正确的是( )

A．物体受到的弹力增大

B．物体受到的静摩擦力增大

C．物体受到的合外力不变

D．物体对转盘的压力减小

4.如图所示，质量为m的滑块从半径为R的光滑固定圆弧形轨道的a点滑到b点，下列说法中正确的是（）

A．它所受的合外力的大小是恒定的

B．向心力大小逐渐增大

C．向心力逐渐减小

D．向心加速度逐渐增大

5.用长短不同、材料相同的同样粗细的绳子各拴着一个质量相

同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则( )

A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断

B．两个小球以相同的角速度运动时，短绳易断

C．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断

D．以上说法都不对

6.如图所示的圆锥摆中，摆球A在水平面上作匀速圆周运动，关于A的受力况，下列说法中正确的是（）

A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用；

B．摆球A受拉力和向心力的作用；

C．摆球A受拉力和重力的作用；

D．摆球A受重力和向心力的作用。

7.如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘

上放置一小木块A它随圆盘一起做匀速圆周运动。则关于木块A的受力，下

列说法正确的是（）

A．木块A受重力、支持力和向心力

B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心

C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反

D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同

8．关于离心运动，下列说法中正确的是（）

A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动

B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做离心运动

C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动

D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做

离心运动

9.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的

质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台

旋转时，则（）

A．若A、B、C均未滑动，则C的向心加速度最大

B．若A、B、C均未滑动，则B的摩擦力最小

C．当圆台转速增大时，B比A先滑动

D．当圆台转速增大时，C比B先滑动

10.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（）

A．球A的线速度必定大于球B的线速度

B．球A的角速度必定小于球B的角速度

C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期

D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

11．如图所示的两轮以皮带传动，没有打滑，A、B、C

三点的位置关系如图，若r1>r2，O1C=r2，则三点的向

心加速度的关系为( )

A．aA=aB=aC

B．aC>aA>a]

C．aC

D．aC=aB>aA

12．下列关于向心力的说法中，正确的是( )

A．物体由于做圆周运动产生了一个向心力

B．做匀速圆周运动的物体，其向心力为其所受的合外力

C．做匀速圆周运动的物体，其向心力不变

D．向心加速度决定向心力的大小

13．有长短不同，材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么( )

A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断

B．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断

C．两个球以相同的周期运动时，短绳易断

D．不论如何，短绳易断

14．关于向心加速度，下列说法正确的是( )

A．它描述的是线速度方向变化的快慢B．它描述的是线速度大小变

化的快慢C．它描述的是向心力变化的快慢D．它描述的是转速的

快慢

17．如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化

的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点

的一条直线．由图线可知( )

A．质点P的线速度大小不变

B．质点P的角速度大小不变

C．质点Q的角速度随半径变化

D．质点Q的线速度大小不变

18．长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点。让其

在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所

示。当摆线L与竖直方向的夹角是时，求：

(1)线的拉力F；

(2)(2)小球运动的线速度的大小；

(3)(3)小球运动的角速度及周期。

19.如图所示，质量为m的小球用长为l的细绳悬于光滑的斜面上的O点，小球在这个倾角为θ的斜面内做圆周运动。若小球在最高点和最低点的速度分别是v1和v2，则绳子在这两个位置时的张力大小分别是多大？

20.如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一光滑的半圆形轨道，

轨道半公式为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，问：

（1）小球离开轨道落到距地面高为R/2处时，小球的水平位移是多少？（2）小球落地时速度为多大？

21.如图所示，位于竖直平面上的１／４圆弧光滑轨道，半径为R，

OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A距地面高度为H，质量为ｍ的小球从A静止释放，最后落在地面C点处，不计空气阻力。求：

小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大? (2)小球落地点C与B的水平距离S为多少? (3)比值Ｒ／Ｈ为多少时，小球落地点C与B水平距离S最远?该水平距离最大值是多少?

练习六匀速圆周运动的实例分析

1．物体做离心运动时，运动轨迹（）

2．A．一定是直线B．一定是曲线C．可能是直线，也可能是曲线D．可

能是圆

3如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴

在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分

别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )

A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零

B.B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零

C.C.若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零

D.若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力

5.如图所示，一球质量为m，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下L/2

处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间下列说法正确的是（）

A．小球的线速度突然加大

B．小球的向心加速度突然增小

C．小球的角速度突然增小

D．悬线拉力突然增大

6质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最

高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为( )

A．0

B．mg

C．3mg

D．5mg

7.有一轻质杆，长l=0.5m；一端固定一质量m=0.5kg的小球，轻杆绕另

一端在竖直面内做圆周运动。（1）当小球运动到最高点的速度大小为4m/s时，求小球对杆的作用力；（2）当小球运动到最低点时，球受杆的拉力为41N，求此时小球的速度大小。

练习七圆周运动综合

一、选择题

1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确的是( ) A．线速度大的角速度一定大B．线速度大的周期一定小C．角速度大的半径一定小D．角速度大的周期一定小

2．由上海飞往美国洛杉机矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小

和距离海面的高度均不变，则以下说法正确的是( )

A．飞机做的是匀速直线运动B．飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力D．飞机上的乘客对座椅的压力为零

3．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s，g取10 m/s，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )

A．1倍

B．2倍C．3倍D．4倍

4．火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( )

A．火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损B．火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损C．火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损D．以上三种说法都是错误的

5．质量为m 的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所的张力这差是：( )

A、6mg

B、5mg

C、2mg

D、条件不充分，不能确定。

6．一轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是：( )

A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零

B、小球过最高点时最小速度为(根号下gR)

C、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力

D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反

7质量相同的两个小球，分别用l和2l的细绳悬挂在天花板上。分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时：（）

A．两球运动的线速度相等B．两球运动的角速度相等

C．两球的向心加速度相等D．细绳对两球的拉力相等

10、下列说法正确的是

A．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动B．匀速圆周运动的速度保持不变

C．质点在做平抛运动时速度的变化率不变D．做匀速圆周运动的物体所受的合外力为零

11、长度为L=0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是v=2.0m/s，g取10m/s，则细杆此时受到

A．6.0N拉力

B．6.0压力

C．24N拉力

D．24N压力

12．如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释

放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )

A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

13、如图所示，半径为R，表面光滑的半圆柱体固定于

水平地面，其圆心在O点。位于竖直面内的曲线轨道

AB的底端水平，与半圆柱相切于圆柱面顶点B。质量为

m的小滑块沿轨道滑至B点时的速度大小为方向水平向右，滑块在水平地面上的落点为C （图中未画出），不计空气阻力，则

A．滑块将沿圆柱体表面始终做圆周运动滑至C点

B．滑块将从B点开始作平抛运动到达C点

C．OC之间的距离为

D．OC之间的距离为R

14．如图所示，可绕固定的竖直轴OO′转动的水平转

台上有一质量为m的物体A，它与转台表面之间的动

摩擦因数为μ.当物块A处在如图所示位置时，连接物

块A与竖直转轴之间的细线刚好被拉直．现令转台的转动角速度ω由零起逐渐增大，在细线断裂以前( )

A．细线对物块A的拉力不可能等于零

B．转台作用于物块A的摩擦力不可能等于零

C．转台作用于物块A的摩擦力有可能沿半径指向外侧

D．当物块A的向心加速度a＞μg时，细线对它的拉力F＝ma－μmg

二、计算题

15、如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L的细

绳，其一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，沿斜面做圆周

运动．试计算小球通过最高点A的最小速度．(g取10 m/s)

16、如图，长为L的细绳一端固定，另一端连接一质量为m

的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳

刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳

的拉力大小。

17、用长L=0．5米的细绳，一端拴一质量m=1千克的小球，另一端固定在离水平桌高h=O．3米的O点上，使小球在光滑桌面上做匀速圆周运动(如图所示)。

(1)如果运动速率v=1．2米／秒，求此时绳对球的拉力与球对桌面的压力;

(2)为使小球不离开桌面做圆周运动，它的速率不能超过多大?

18、竖直平面内有一半径为R的光滑半圆形固定轨道，其最低

点A和水平面相切．一质量为m的物块从最低点以某一速度冲

上轨道，到达最高点B时和半圆轨道之间的作用力的大小为mg

求：

（1）物块到达最高点B时速度的大小；

（2）物块从最高点B飞出后在水平面上的落点到轨道最低点A的距离．

19、如图，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放

置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过

最高点P时，对管壁的压力为0.5mg.求：

(1)小球从管口飞出时的速率．

(2)小球落地点到P点的水平距离

20、如图所示，光滑斜轨和光滑圆轨相连，固定在同一个

竖直面内。圆轨的半径为R，一个小球（大小可忽略不计）

从离水平面高h处由静止开始自由下滑，由斜轨进入圆轨。

⑴为了使小球在圆轨内运动的过程中始终不脱离圆轨，h应在什么范围内取值？

⑵若小球到达圆轨最高点时对圆轨的压力大小恰好等于自身重力大小两倍，那么小球开始下滑时的h是多大？

21、如图所示，ABCD为一竖直放置的光滑轨道，其中CD是半径为R的半圆形轨道，BC为水平轨道，长度恰为2R，将一小球于A点从静止释放，小球从D点平抛后恰好落在B点，求：

（1）小球到D点时的速度；

（2）小球在D点时对轨道的压力。