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Householder正交矩阵新观点

Householder 正交矩陣的新觀點

陳正宗郭世榮李慶鋒

國立臺灣海洋大學河海工程學系，基隆，台灣

摘要

文獻中有許多的方法可建立正交矩陣，Householder 利用鏡射導得正交對稱矩陣。本文提出奇數

階與偶數階Householder 矩陣，均可分別由e At 與e iBt 導得，其中A 為反對稱實矩陣，B 為對稱實矩陣，t 為某特定時間。本文並分別舉一階到五階的例子，說明Householder 矩陣均可由本文新觀點導得。

一. 前言

正交矩陣在工程應用及數學、力學理論推導中佔有非常重要的角色。在數學與力學上，正交矩陣是在不同觀察座標系統下線性代數中矩陣轉換的基礎，也是求解特徵值問題最有力的工具。在工程應用上，藉由尤拉角描述剛體運動的轉換矩陣也具正交性。因此如何有效率地建立正交矩陣族是我們所關心的[1-10]。

函數矩陣在生物、經濟及物理上常應用的到，陳[11]發展矩陣的餘式定理，有效的利用Cayley-Hamilton 定理來計算矩陣函數。在這篇文章中，我們將利用反對稱矩陣A ，透過矩陣函數e At

的方法[2,18-21]來建立奇數階的Householder 正交矩陣，及透過對稱矩陣B ，利用矩陣函數e iBt 的方法來建立偶數階的Householder 矩陣，並證明出Householder 矩陣均可以此矩陣函數表示之。亦即Householder 矩陣可以說是建立正交矩陣族方法中的一個特例而已。

二. Householder 矩陣回顧

如果v

~為一非零向量，存在一個n ?n 的矩陣，使得v

v v v

I H T T

~~~~2-=，此時H 稱為Householder

矩陣。從此定義中，我們可以發現許多有趣的性

質，例如：

(a) H T =H (對稱) (b) HH T =H T H=H 2=I ，其中I 為單位矩陣 (c) y y H H P y H ~)~(~~=→=

其中

~為任一向量，P ~

經由H 映射後之向量。

(d) 由(c)我們可從2?2的矩陣看出其映射關係：

v ~=???

? ??ααsin cos ,吾人可得到v v v v I H T T

v ~~~~2-=???

? ??---=αααα2cos 2sin 2sin 2cos ,其中v ~∈R 2.

H H

鏡射平面法向量v

~，H v (y ~)為鏡射面法向量 (x 1cos +x 2sin =0)

圖一：鏡射面與鏡射

三. 矩陣相似定理與矩陣餘式定理

3.1 矩陣相似定理

存在一個n 階方陣A ，特徵值分別為

λ1,λ2,…,λn ，其相對應的特徵向量分別為為φ1,φ2…,φn ，則A 與D 矩陣滿足相似關係，亦即

AC=CD ，若C -1存在，則可寫成 A=CDC -1 (1)

其中

???

??????=n D λλλ000

00000

021 (2)

{}n C φφφ 21= (3)

3.2 矩陣餘式定理

在實數餘式定理中，給定一函數f (x )，若除以x-a ，其餘式為f (a )，吾人可寫為

f (x )=(x-a )Q (x )+f (a ) (4)

其中Q (x )為商式，同理當除式為n 次式時，可表示為

f (x )=(a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x +a 0)Q (x )

+r n-1x n-1+…+r 1x+r 0 (5) 其中r n-1x n-1+…+r 1x+r 0為餘式。

若將實數改為方陣A ，則亦有相同的特性，即 f (A )=r n-1A n-1+…+r 1A+r 0I (6)

其中a n A n +a n-1A n-1+…+a 1A +a 0I =0，係由 Cayley- Hamilton 定理導得。亦即

a n A n +a n-1A n-1+…+a 1A +a 0I =0為A 之特徵方程式。而當A 方陣具有重根特徵值時，則由於方程式數目小於未定係數的數目。因此需將(5)式做微分處理，而n 次重根，就需做n 次微分，以此類推。

矩陣的餘式定理非常適合用在特徵值重根的情況，因無需要導得特徵向量即可求得矩陣函數。我們用以下的兩個例子來說明：

例1：E =??

???

?????300020102，利用矩陣的餘式定理，可導

得

e Et =(-6te 2t -3e 2t +4e 3t )I +(5te 2t +4e 2t -4e 3t )E

+(-te 2t -e 2t +e 3t )E 2 (7)

其中I =??????????100010001，E =????

?????300020102，E 2=??????????900040504

因此我們可得到

??????-=t t t

e e e e e e 322320

0 (8)

例2：E =????

?????λλ

，利用矩陣的餘式定理，可導得 e Et =

222222

)()21(E e t E e t t I e t t t t

t ?+?-+?+-λλλλλλ

(9)

其中 I =????????

??100010001，E =??

????????λλλ001001，E 2=????

?????22

2012λλλ

因此，我們可得到

t Et

e t

t t e λ?????

???????

=10

010212

(10)

四. 由3?3方陣導e At 與Householder 矩陣關係

令v ~=??

???????c b

a ，可導得3?3的Householder 矩陣v v v v I H T T ~~~~2-==????

???

??---------222

212222122221c cb ca bc b ba ac ab a

其中T v

~v ~=1。若令反對稱矩陣A =????

?????---000a b a c b c ，則A 的特徵

值為0,222c b a ++i ,-2

22c b a ++i ，若利用矩陣的餘式定理，則可得到

I A t

A t

e At ++-=)sin (

)cos 1(

ωωω (11)

其中ω=222c b a ++=1

(11)式即為Euler-Rodrigues 公式。因此當t =π時，則可得到

e A π=????

?????---122221222212222c cb ca bc b ba ac ab a =-H (12) 亦即存在一反對稱矩陣A ，使得-e A π=H 。

因此當v ~=??

???

?????c b a ，經由Householder 矩陣及-e A π的運算，可得到相同的結果。

五. 奇數階反對稱矩陣A 與e At 之關係

在奇數階反對稱A 中，我們可知AA T =-A 2，其中AA T 為一正定且對稱之矩陣，因此A 的特徵值具有純虛數且共軛之特性。因此我們在奇數階反對稱矩陣A 中，為滿足正交矩陣的特性，需選

擇一特徵值為0，滿足A v

~=0[10]。且剩餘之特徵值為純虛數，兩兩之間互為共軛。因此我們令A

矩

陣

的

特徵值分別為

0,β1i,-β1i,β2i,-β2i,…,βn i,-βn i ，其相對應之特徵向量

分別為{

}**22*

1,,...,,,,,n

n v φφφφφφ，其中v ~與**2

1,,...,

,,,n

n φφφφφφ兩兩互相正交，其證明的方式如下：

我們令A 之特徵值βn i,相對應的特徵向量分

別為q i p ~~

+，則 A (q i p ~~+)=i βn (q i p ~~+) (13)

由共軛關係知

A (q i p ~~+)=)

~~(q i p i n +β (14) 亦即

A (q i p ~~-)=-i βn (q i p ~~-) (15)

將(13)式前乘(q i p ~~

+)T 矩陣，可得 (q i p ~~+)T A (q i p ~~+)=i βn (q i p ~~+)T (q i p ~~+) (16) 經整理可得

(p ~

T A p ~-q ~T A q ~)+i (p ~T A q ~+q ~T A p ~) =βn [-(p ~

T q ~+q ~T p ~)+i (p ~T p ~-q ~T q ~)] (17) 由於p ~

T A p ~為一純量，令p ~T A p ~=η，其中η為實數，則

η=ηT (18)

(p ~

T A p ~)T =p ~T A T p ~=-p ~T A p ~ 故

η=-η

(19)

則由(18) 式及(19)式可得

p ~T A p ~=0 (20)

同理

~T A q ~=0 (21) 因此(17)式子中實部為0。

令p ~

T A q ~=ξ，q ~T A p ~=ζ，其中ξ,ζ皆為實數，則 ξT =ξ,ζT =ζ

(p ~

T A q ~)T =q ~T A T p ~=-q ~T A p ~=-ζ=ξT =ξ 故

ξ=-ζ (22)

即p ~

T A q ~=-q ~T A p ~ 代入(17)式子中，虛部亦為0，因此

p ~T p ~=q

~T q ~ (23) 又因

p ~T q ~=q ~T p ~ (24)

所以

p ~T q ~=q ~T p ~=0 (25)

令p ~

T p ~=1，則 p ~T p ~=q

~T q ~=1 (26) 因為A 2對稱，因此

A 2=ΦD A 2Φ-1=Φ D A

2ΦT (27) 故可得到

A Φ=ΦD A ，A=ΦD A Φ-1=ΦD A ΦT (28)

其中

D A =)

12()12(2211000000

00000000000000000000000000000000

0+?+??

???????

???

???---n n n n i i i i i i ββββββ

(29)

Φ={}

22*

11,,...,,,,,n n v φφφφφφ (30) ΦT =Φ-1

*22*

,,...,,,,,n

n v φφφφφφT

(31)

因此

e At =ΦD E Φ-1=ΦD E ΦT (32)

其中

D E =)

12()12(000000000000000000000000

00000000000000000002

+?+---??

???

?????

?????????????n n ti

ti ti ti ti ti

t n

e e e e e e e ββββββ

(33)

若β1=β2=…=βn =k ，t =π/k (其中k 為任意實數)，則可得

e At =e A π=ΦD x Φ-1=Φ{D 1+D 2}ΦT =-I +2vv T =-H (34)

其中

D x =D 1+D 2 (35)

D x =)12()12(100000001000000010000000100

000001000000010000000

1+?+??

??????

??????????????????------n n

(36) D 1=)

12()12(100000001000000010000000100000001000000010000000

1+?+??

??????

??????????????????-------n n

(37)

D 2=)

12()12(0000000000000000000000000000000000000000000000002+?+????????

?????

?????????????n n (38)

因此e A π=-H ，得證之。

由以上的證明，在奇數階反對稱方陣我們可得到一個結論：

由Householder 矩陣(v

v v v

I H T T

~~~~2-=)，其中

~為一向量，則存在一奇數階反實對稱方陣A ( A T =-A )，當t = 時，會使得e At =-H ，其中A 的

特徵值為0, ± i 。

因此我們可以說Householder 矩陣所建立的正交矩陣均可以以-e At 來表示，其中A 為奇數階反對稱矩陣。

六. 實對稱矩陣B 與

e iBt 之關係

若有一單位向量v

~使得B =v ~T

v ~，則B 為一對稱矩陣且其特徵值為1,0,0,…。特徵值為1

時的特徵向量即為v

~，由相似定理可知

iB=ψD B ψ-1=ψD B ψT (39)

其中實數特徵向量所組成的矩陣

ψ={}14

321-n v ????? (40)

ψ-1=ψT ={}T

n v 14321-????? (41)

當t =π 時，

e iBt =e iB π=ψD y ψT =ψ{D 3-D 4}ψT =I -2T v v

~~=H (42) 其中

D B =n

n i ?????????

?????

????????

?????000000000000000000000000000000000000000000000000 (43) D y =D 3-D 4 (44)

D y =n n ??????????????????????????

?-1000000010000000100000001000000010000000100000001 (45)

D 3=n

n ????????

???????????????????1000000010000000100000001000000010000000100000001 (46) D 4=n

n ???

?????

???

???000

0000000000000000000

0000000000000

0000000002 (47) 因此e iBt

t v v

i T e

~~=H ，得證之。

由以上的證明，可得到一個結論：

Householder 矩陣(v

v v v I H T T

~~~2-=)，必存在一

實對稱方陣B (B T =B )，當t = 時，使得e iBt =H 。其

中B =T

v v

~~，且特徵向量為1,0。

七. 由反對稱矩陣建立正交矩陣

我們發現奇數階反對稱矩陣可透過e At 的關

係，在t = 時，轉換為Householder 矩陣，因此

我們以5?5反對稱矩陣的例子來說明。

7.1 5?5反對稱矩陣與Householder 矩陣的關係

令??????????????????=e d c b a v ~，則Householder 矩陣可寫成

v v v

I H T T

~~~~25-=

????????-------------------------=2222

2212222221222222122222212222221e ed ec eb ea de d dc db da ce cd c cb ca be bd bc b ba ae ad ac ab a (48) 其中|v

~|=v ~T v ~=1。滿足e At =-H 的A 在5?5反對稱矩陣並不唯一，我們發現，其中有一個共通的模式，都是以反對稱矩陣中某個0為中心，以十字方式填入a,b,c,d,e ，再利用

A v

~=0，求出其餘項的值，其方式如下： 5?5反對稱矩陣

????

????????????----=0????0????0??

??001d

e b

c d e b c A (49) ????

???

???----=0??

??0????0?0??

e a

d e a c c A (50)

諸如此類，奇數階在5階以上的答案選擇性較多。

7.2 3?3反對稱矩陣與Householder 矩陣的關係 3?3反對稱矩陣就沒這麼多可選擇性的答案，原因是

v ~=??

???

?????c b a 時， ???

??????---------=-=2223212222122221~~~~2c cb ca bc b ba ac ab a v

v v v I H T T

以7.1的方法來決定A

A =??

?????--0??00b c b c ，如何滿足A v ~=0? 則僅有一種填法取-a ，即A =????

?????---000a b a c b c

我們由參數個數可以判定，在n 階時，v

~向量的自由度為n -1個，A 矩陣中未知個數自由度為

12)1(--n n 個，當v

~向量自由度個數與A 矩陣個數相等時，即12

)

1(1--=

-n n n 時，可得n =3，因此在3?3反對稱矩陣可以很漂亮的表示出通

式，而5?5反對稱矩陣無法表示出其漂亮的通式之原因，乃係於此。

八. 1階到5階的數值例子

8.1 反對稱實矩陣奇數階數值例子

(1) 1?1方陣

當1~1=v ，1

1111~~~~2v v v v I H T T -==-1。因此當A 1=[0]，t=π 時，t

A e

1=1=-H 1

(2) 3?3方陣

當??????????=8.006.0~3v ，????

??????---=-=28.0096.001096.0028.0~~~~23

3333v v v v I H T T

因此當A 3=??

??????--06.006.008.008.00，t=π 時，t A e 3=-H 3

(3) 5?5方陣

當???????

?????????=7.05.04.03.01.0~5

v ，

???

???--------------------=-=02.07.056.042.014.07.05.04.03.01.056.04.068.024.008.042.03.024.082.006.014.01.008.006.098.0~

~~~25

55v v v v I H T T A 5有許多選擇使得當t=π 時，t

A e 5=-H 5，舉三

例如下：

①

② ② ③

因此A 5的選擇並不唯一，均可使π

5A e =-H 5。

同理，可推到更高的奇數階Householder 矩陣。

8.2 對稱實矩陣數值例子 (1) 1?1方陣

當1~1=v ，1

11112v ~v ~v ~v ~I H T T -==-1

因此當B 1=[1]，且t=π 時，t

iB e 1=-1=H 1

(2) 2?2方陣

當??????=8.06.0~2v ， ??

????---=-=28.096.096.028.0~~~~222222v v v v I H T T 因此當B 2=?

????=64.048.048.036.0~~22T v v ，且t=π 時，t iB e 2=??

??---28.096.009628.0=H 2

(3) 3?3方陣

當????

??????=8.006.0~3v ， ????

??????---=-=28.0096.001096.0028.0~~~~23

3333v v v v I H T T 因此當B 3=??

??????=64.0048.000048.0036.0~~33T v v ，且t=π 時，t

iB e

3=??

?????---28.0096.001096.0028.0= H 3 (4) 4?4方陣

當?????

???????=7.05.05.01.0~

4v ，

????

???----------=-=02.07.07.014.07.05.05.01.07.05.05.01.014.01.01.098.0~

~~~24

44v v v v I H T T 因此當B 4=?????

???????=49.035

.035.007

.035.025.025.005.035.025.025.005.007.005.005.001.0~~44T v v ，且t=π時，t

iB e 4=?????

????

???----------02.07.07.014.07.05.05.01.07.05.05.01.014.01.01.098.0=H 4 (5) 5?5方陣當?????

?????????=7.05.04.03.01.0~5

v ，

???

?????--------------------=-=02.07.056

.042.014.07.05.04.03.01.056.04.068

.024.008.042.03.024.082.006.014.01.008

.006.098.0~~~~2555

55v v v v I H T T 因此當

???

????

????????==49.035.028.021.007.035.025.02.015.005.028.02.016.012.004.021.015.012.009.003.007.005.004.003.001

.0~~555T v v B

，

且t=π 時，t

iB e

=???

???

????

???--------------------02.07.056

.042.014.07.05.04.03.01.056.04.068.024.008.042.03.024.082.006.014.01.008.006.098.0=H

由以上反對稱方陣與實對稱矩陣的例子，吾

可利用反對稱方陣與實對稱矩陣，透過t =π，達

成Householder 矩陣的結果。

九. 結論本文發現，計算e At 時，當t =0時，會

對應回單位矩陣(I )，而當t =π時，則會對應

到Householder 矩陣。本文提出奇數階與偶

數階Householder 矩陣，均可分別由e A π與e iB π

導得，其中A 為奇數階反對稱實矩陣，B 為對稱實矩陣。本篇文章所導出的結果，可用以下列集合示意圖說明之

圖二 Householder 矩陣，正交矩陣與矩陣

函數關係圖

由以上結果，我們期望當t 不為0, π 之其他的值時，是否會出現一些更有幾何或物理意義的正交矩陣出現，將是以後研究的方向。

參考文獻

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誌謝

本文作者感謝88年度大專學生國科會計畫NSC-88-2815-C-019-003-E之計畫補助。

A New Point of View of Householder

Matrix

J. T. Chen, S. R. Kuo, and C. F. Lee Department of Harbor and River Engineering National Taiwan Ocean University

Keelung, Taiwan

ABSTRACT

It is well known that many approaches can obtain the orthogonal matrix. Householder employed the mirror mapping to derive the symmetric orthogonal matrix. The Householder matrices of odd and even orders are found to have the matrix forms of e At and e iBt, respectively, where A is an anti-symmetric matrix, B is a symmetric matrix and t is a specified time. One by one to five by five Householder matrices are constructed by the proposed formulation.