一元函数求导与多元函数偏导数的异同
一元函数求导与多元函数偏导数的异同
一元函数在可导处的导数就是函数在可导处的变化率（斜率），通俗点讲导数就是函数值在可导点处沿坐标轴（只有一个）方向增加或减少的快慢程度。拿y=f(x)来说，某点导数就是y值在该点沿x轴方向的变化率。
和一元函数一样，多元函数的偏导数是函数值沿各坐标轴（多个）方向的变化率（斜率），相对一元函数不同的是多元函数坐标轴有多个，n元函数就有n个偏导数（假设可导）。拿z=f（x,y）来说，函数z的偏导数就是：z值沿x轴方向的变化率，z值沿y轴方向的变化率(假设可导)
(注：多元函数可导意思是该函数沿各坐标轴的偏导数存在，但是沿其它方向（非坐标轴向）的导数（方向导数）不一定存在。只要多元函数的各偏导数存在，就说该多元函数可导，如果各方向导数都存在，就说该多元函数可微。可微条件更强)
计算方法:一元函数在连续可导处直接用初等函数求导公式求(最常用，最简便)
多元函数偏导数求法和一无函数一样，只是在求一个偏导数时，把其它自变量先看成常量。
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
一元函数微分与中值定理.
一元函数微分与中值定理 类型一：高阶导数问题 1、研究函数 1 0()0 x e x f x x -??≠=? =??的各次可微性（7P63） 当0x ≠时，归纳假设12 ()1()()x n n f x P e x - =，再利用导数定义归纳得出0点处 的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数 4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩） 用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22 x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专） 38、设41 x y x =-，求(2001).y （10P204 京13专） 将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设 y x = ，求()(0).n y （10P307 北建88）（曹庆梅） 转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式 2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f （10P342北京防化 92） 利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕） 65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）
一元函数(导数与积分)课堂训练题
填空题 1.下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+ →) 11(lim 0 B 、e x x x =+ ∞ →1 )11(lim C 、11sin lim =∞ →x x x D 、 11sin lim 0 =→x x x 2.不定积分=-? dx x 2 11 （ ） A 、2 11x - B 、 c x +-2 11 C 、x arcsin D 、 c x +arcsin 3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
多元函数求导法则
多元函数求导法则
理论与实验课教案首页 第17 次课授课时间2016年12月23日第3～5节课教案完成时间2016年12月16日 课程名 称高等数学 教 员 职 称 副教 授 专业层 次药学四年制 本科 年 级 201 6 授课方 式 理 论 学 时 3 授课题目（章，节） 第七章多元函数及其微分法§3.全微分§4.多元复合函数与隐函数的偏导数 基本教材、主要参考书和相关网站基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版 主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版 — 2 —
教学目标与要求： 了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法 教学内容与时间分配： 复习5分钟全微分概念5分钟 可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟 复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟 一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟 小结5分钟 — 3 —
教学重点与难点： 重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法 难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析 教学方法与手段： 教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。 教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。 教学组长审阅意见： 签名：年月日教研室主任审阅意见： 签名：年月日 — 4 —
理论与实验课教案续页 基本内容教学方法手段和时间分配 — 5 —
最新导数和微分的概念
导数和微分的概念
一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系
?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念
一元函数微分
第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
（C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C
一元函数的导数公式和微分
一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则
若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C
一元函数的导数及其应用作业手册答案
课时作业(十四) 1.D [解析] 依题意有f'(x )= 1x ·√2x -2×1 2 ×(2x )-12·lnx 2x ,故f' 1 2 = 2+ln2 1 =2+ln 2,故选D . 2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x ,所以f'(1)=-2+11 =-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A . 3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A . 4.B [解析] f'(x )=-sin x-f' π2 ,令x=π2,得f' π2 =-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12 ,所以l 的方程为 y=12 x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32 [解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-1 2 ,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-1 2 (x-1),将点(0,a )代入, 解得a=12 +1=32 . 6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D . 7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A . 8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A . 9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x =2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2 ,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三 角形面积S=12×e 2 ×2e =e 22 .故选B . 10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k= y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1 =x 02 +x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0 =3x 02,∴2x 02 -x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12 ,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0.故选C . 11.C [解析] y'=1+1x ,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C . 12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+ x 2-a x ,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3.
高等数学讲义-- 一元函数微分学
24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-
一元函数的导数与微分
一元函数的导数与微分 【大纲要求】 1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的几何意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分。 3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
【考试内容要点】 1.导数的定义：导数，左导数，右导数定义，导数存在定理 2.微分定义：可微定义，可导与可微的关系 3.导数与微分的几何意义与物理意义，曲线的切线和法线方程(从几何图形上看) 4.连续，可导与可微之间的关系 5.常见函数求导公式 6.求导法则 (1) 四则混合运算法则；(2) 复合函数求导法则；(3) 隐函数求导法； (4) 反函数求导法； (5) 对数求导法 7.高阶导数 ①高阶导数定义 ②莱布尼兹公式 ③常见函数的高阶导数
【题型与方法论】 题型2.1 导数与微分的概念 1.(01,3) 设0)0(=f 则)(x f 在0x =处可导?( B ) (A) 20cosh)1(lim h f h ?→存在 (B) h e f h h ) 1(lim 0?→存在 (C) 20 sinh) (lim h h f h ?→存在 (D) h h f h f h )()2(lim 0?→存在 解答： 首先，若()f x 在0x =可导，则0 0()(0)() (0)lim lim x x f x f f x f x x →→?′==存在。从这一点来看，只要)(x f 在x =0处可导，则A,B,C,D 四个极限都是存在的。事实上， 对选项A， 2 2222000001(1cosh)(1cosh)1cosh (1cosh)1cosh 12lim lim lim lim (0)lim (0)1cosh 1cosh 2h h h h h h f f f f f h h h h →→→→→?????′′====?? 对选项B， 00000(1)(1)1(1)1lim lim lim lim (0)lim (0)11h h h h h h h h h h h h f e f e e f e e h f f h e h e h h →→→→→??????′′====??? 对选项C， 3 2222000001(sinh)(sinh)sinh (sinh)sinh 6lim lim lim lim (0)lim 0sinh sinh h h h h h h f h f h h f h h f h h h h h h →→→→→?????′====?? 对选项D， 0000(2)()(2)(0)(0)()(2)(0)()(0) lim lim lim lim 2(0)(0)(0) h h h h f h f h f h f f f h f h f f h f h h h h f f f →→→→??+???==?′′′=?= 因此，(0)f ′若存在，各个极限都存在。 以下来看充分性。 再看A 选项，若2 (1cosh) lim h f h →?存在，
专题4 一元函数导数及其应用(原卷版)
专题4 一元函数导数及其应用 从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力. 预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等. 一、单选题 1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．． ，则m 的范围是（ ） A ．1 (,)3 +∞ B ．1 (,)3 -∞ C ．1 [,)?3 +∞ D ．1(,3 -∞ 2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+ C ．y x = D ．2y x =- 3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2 2 1212M x x y y =-+-，则( ) A ．M 的最小值为2 5 B ．M 的最小值为 45 C ．M 的最小值为8 5 D ．M 的最小值为12 5 4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数() ()()2 sin x x e e x f x x e ππ-+= -≤≤的图象大致为( )
一元函数微分历年试题
第二章一元函数微分学 历年试题 1. 利用导数的定义求函数在某点的导数值 1994——2012年共考了8次，考到的概率P=42.1% （1）（0119）设函数f(x)在x=0处可导，且.x ) 0(f )x 3(f lim ,1)0(f 0x -='→求 （2）（0222）设函数f(x)在x=1处可导，且.x ) 1(f )x 21(f lim ,1)1(f 0x -+='→求 （3）（0303）函数f(x)在x 0处可导，且h ) x (f )h 2x (f lim ,2)x (f 000h 0-+='→则= （ ） A.0 B.1 C.2 D. 4 （4）（0702）已知.x ) 1(f )x 21(f lim ,2)1(f 0x ）（则=?-?+='→? A.-2 B.0 C.2 D. 4 （5）（0802）已知f(x)在x=1处可导，且).( h ) 1(f )h 1(f lim ,3)1(f 0h =-+='→则 A.0 B.1 C.3 D. 6 2. 利用四则运算法则求函数的导数或在某点的导数值和微分 1994——2012年共考了19次，考到的概率P=100% （1）（0122）设函数.y ,1 x x cos y 2 '-= 则 （2）（0210）设函数.y ,x cos 11 y = '+= 则 （3）（0310）设函数.)0(f ,e x )x (f x ='=则 （4）（0419）设函数.y ,x ln x y '=求 （5）（0522）设函数.dy ,x cos x y 3求= （6）（0622）设函数.dy ,x sin x y 4求=
（7）（0705）设函数).( d y ),1x sin(y 2=-=求 A. dx )1x cos(2- B. dx )1x cos(2-- C. dx )1x cos(x 22- D. dx )1x cos(x 22-- （8）（0822）设函数.y ,3x sin x y 3'++=求 （9）（0903）设函数).( )1(f ,3x ln e )x (f x ='+=则 A.0 B.1 C. e D. 2e （10）（1022）设函数.dy ,x cos x y 3 则= （11）（1122）设函数.y ,x sin 1 x y '+= 求 （12）（1222）设函数.,cos )(?? ? ??'=2πf x x f 则=（ ） A.-1 B. 2 1 - C.0 D. 1 3. 复合函数的导数 1994——2012年共考了16次，考到的概率P=84.2% （1）（0107）设函数.dy ,x 1y 2=+=则 （2）（0109）设函数.)x (f ,x sin )x (f ='=则 （3）（0217）设函数.y x 1x y 2 '+= 求 （4）（0211）设函数.)x (f ,x ln )x 2(f = '=则 （5）（0223）设函数.dx dy ,(x)]g f[y .x sin )x (g ,e )x (f x 求且'=== （6）（0318）设函数.y ,x x y '+=求 （7）（0418）设函数).0(f ,x 2sin 1)x (f '+=求
第四节 多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．
高中数学复习：一元函数的导数
高中数学复习：一元函数的导数 一、单选题 1．设函数()f x x =，则()() 11lim x f x f x ?→∞ +?-=?（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1 2．已知函数32()23f x x x x =-+-，求(2)f '=( ) A ．1- B ．5 C ．4 D ．3 3．已知函数()()2x f x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．310x y -+= D ．310x y ++= 4．若函数()()32ln f x x a x =+-不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1, 2??-∞ ??? B ．[)2,+∞ C ．()0,∞+ D ．(),2-∞ 5．函数y =xlnx 的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e - B ．e C ．1- D ．1 7．函数334y x x =-+有（ ） A ．极大值6，极小值2 B ．极大值2，极小值6
C．极小值－1，极大值2 D．极小值2，极大值8 8．若函数 ln(1)2,0, ()1 ,0. x ax x f x x a x x +--> ? ? =? ++< ?? 的最大值为(1) f-，则实数a的取值范围为（）A．(,]e -∞B． 1 0, e ?? ? ?? C． 1 , e ?? +∞? ???D．[) ,e+∞ 二、多选题 9．下列函数中，既是奇函数又在区间() 0,1上单调递增的是（） A．3 24 y x x =+B．() sin y x x =+-C． 2 log y x =D．22 x x y- =- 10．直线 1 2 y x b =+能作为下列（）函数的图像的切线. A． 1 () f x x =B．4 () f x x =C．()sin f x x =D．()x f x e = 11．已知函数f（x）的定义域为R且导函数为() f x '，如图是函数() y xf x ' =的图像，则下列说法正确的有（） A．函数f（x）的减区间是（-∞，-2）B．函数f（x）的增区间是（-2，+∞） C．x=-2是函数的极小值点D．x=2是函数的极小值点 12．已知函数() y f x =的导函数() f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数得导 【字体：大中小】【打印】 数与微分 3、1 导数概念 ?一、问题得提出 １、切线问题?割线得极限位置——切线位置? ?如图,如果割线MＮ绕点Ｍ旋转而趋向极限位置MT,直线MＴ就称为曲线Ｃ在点M处得切线、 ? 极限位置即? 切线MT得斜率为?2、自由落体运动得瞬时速度问题 ?二、导数得定义 设函数y=f（x)在点得某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数ｙ取得增量;如果Δy与Δx之比当Δｘ→0时得极限存在,则称函数y=f(x)在点处可导，并称这个极限为函数y＝ｆ(ｘ）在点处得导数,记为即? 其它形式 关于导数得说明：
在点处得导数就是因变量在点处得变化率，它反映了因变量随自变量得变化而变化得快慢程度。?如果函数ｙ=f（x)在开区间I内得每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导。 对于任一,都对应着f(ｘ)得一个确定得导数值，这个函数叫做原来函数f(x）得导函数,记作???注意:??2、导函数(瞬时变化率)就是函数平均变化率得逼近函数、?导数定义例题: 例1、115页8?设函数f（x)在点x＝a可导,求: (1）?【答疑编号1103０10１：针对该题提问】 （2)?【答疑编号１10３0１02:针对该题提问】 三、单侧导数?１、左导数：? 2、右导数:? 函数f(x)在点处可导左导数与右导数都存在且相等、?例2、讨论函数f(x)=|ｘ|在x=0处得可导性。?【答疑编号１1030103:针对该题提问】?解
闭区间上可导得定义:如果ｆ(ｘ）在开区间(a，b）内可导,且及都存在,就说f(x)在闭区间[ａ，b]上可导、 由定义求导数 步骤:? ? 例3、求函数f(x)＝C(C为常数）得导数。 【答疑编号1１030１04:针对该题提问】 解 ??例４、设函数 【答疑编号11030１0５:针对该题提问】?解 ? 同理可以得到??? 例5、求
专题05 一元函数的导数及其应用(知识梳理)(学生版)
专题05 一元函数的导数及其应用（知识梳理） 一、基本概念 1、导数定义：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x x f x x f x f x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0|x x y ='，即x x f x x f x f x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 2、基本初等函数的八个必记导数公式 3(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '?+?'='?； (3)[] 2)()()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='(0)(≠x g ). 特别提示：)(])([x f C x f C '?='?，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 4、复合函数的导数 (1)复合函数定义：一般地对于两个函数)(x f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，就称这个函数为)(x f y =和)(x g u =的复合函数，记作)]([x g f y =. (2)复合函数求导法则：复合函数)]([x g f y =的导数和函数)(x f y =、)(x g u =的导数的关系为x u x u y y '?'='，即y 对 x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 例1-1．求函数23x y =在1=x 处的导数. 例1-2．求导：①c x f =)(；②x x f =)(；③2)(x x f =；④x x f 1)(= ；⑤x x f =)(. 变式1-1．若物体的运动方程是t t t s sin )(?=，则物体在2=t 时的瞬时速度为( ). A 、2sin 22cos + B 、2cos 2sin 2-
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